利用數值微分公式計算曲面面積

夏軍劍++劉俊峰++張新巍

摘 要：重積分的數值算法比較多見，但針對曲面積分的數值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結合三點數值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數值計算公式，并推導給出了復化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進行仿真，通過實驗數據驗證，結果證明本文的方法比傳統的方法具有更高的精度和計算效率，程序結構更簡單，易于編制和調試，更具實用性。不足之處就是與傳統算法的精度在數量級上一致。

關鍵詞：曲面面積 數值計算 數值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數值計算方法有很多，但是在實際應用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻[1][2]模型的建立是基于多網格化下小區域內曲面積近似等于平面面積，因此計算結果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數值微分公式，建立一個新的計算表面積的數值計算公式—— “四點”插值算法。

1 單元構造和數值計算公式

已知曲面函數為，則考慮曲面在矩形區域內的表面積。對區域進行分割，首先考慮如圖1網格單元區域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導數的連續性有：

，

于是

由三點數值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點數值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復化公式

計算矩形區域內函數的表面積，在格網化區域計算表面積。首先對區域進行劃分，把目標區域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點。

4 算例分析

例：曲面函數在矩形區域內的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網格下：

“四點”插值算法節點數：

三角形法需要的節點數：

數值計算結果如表1。

5 結語

通過實驗的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應用研究[J].西南農業學報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業大學信息科學與工程學院，2007（3）.

[3] 同濟大學.微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數值分析[M].endprint

摘 要：重積分的數值算法比較多見，但針對曲面積分的數值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結合三點數值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數值計算公式，并推導給出了復化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進行仿真，通過實驗數據驗證，結果證明本文的方法比傳統的方法具有更高的精度和計算效率，程序結構更簡單，易于編制和調試，更具實用性。不足之處就是與傳統算法的精度在數量級上一致。

關鍵詞：曲面面積 數值計算 數值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數值計算方法有很多，但是在實際應用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻[1][2]模型的建立是基于多網格化下小區域內曲面積近似等于平面面積，因此計算結果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數值微分公式，建立一個新的計算表面積的數值計算公式—— “四點”插值算法。

1 單元構造和數值計算公式

已知曲面函數為，則考慮曲面在矩形區域內的表面積。對區域進行分割，首先考慮如圖1網格單元區域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導數的連續性有：

，

于是

由三點數值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點數值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復化公式

計算矩形區域內函數的表面積，在格網化區域計算表面積。首先對區域進行劃分，把目標區域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點。

4 算例分析

例：曲面函數在矩形區域內的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網格下：

“四點”插值算法節點數：

三角形法需要的節點數：

數值計算結果如表1。

5 結語

通過實驗的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應用研究[J].西南農業學報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業大學信息科學與工程學院，2007（3）.

[3] 同濟大學.微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數值分析[M].endprint

摘 要：重積分的數值算法比較多見，但針對曲面積分的數值算法幾乎沒有。本文利用積分中值定理，并結合三點數值微分計算公式建立了一種高效的計算曲面表面積的數值計算公式，并推導給出了復化計算公式，最后利用matlab軟件舉例進行仿真，通過實驗數據驗證，結果證明本文的方法比傳統的方法具有更高的精度和計算效率，程序結構更簡單，易于編制和調試，更具實用性。不足之處就是與傳統算法的精度在數量級上一致。

關鍵詞：曲面面積 數值計算 數值微分 積分

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重積分的數值計算方法有很多，但是在實際應用中，曲面面積的很重要，而曲面面積計算的數值方法卻不多，目前還沒有找到一種高效、精確的計算其表面積方法。文獻[1][2]模型的建立是基于多網格化下小區域內曲面積近似等于平面面積，因此計算結果存在一定誤差，且計算精度不易分析。為了減小誤差，提高精度，我們建立利用積分中值定理和數值微分公式，建立一個新的計算表面積的數值計算公式—— “四點”插值算法。

1 單元構造和數值計算公式

已知曲面函數為，則考慮曲面在矩形區域內的表面積。對區域進行分割，首先考慮如圖1網格單元區域：

利用積分中值定理[3]

則

若，充分小，則由偏導數的連續性有：

，

于是

由三點數值微分公式[4]

，

于是

2 誤差估計

其中

由三點數值微分公式[4]

，其中

由二階泰勒展開：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 復化公式

計算矩形區域內函數的表面積，在格網化區域計算表面積。首先對區域進行劃分，把目標區域劃分成個方格，則有：

，

取如圖2的方格，則在每個方格上應用表面積的近似計算公式，只需計算4個信息點。

4 算例分析

例：曲面函數在矩形區域內的表面積。

其表面積計算的精確值為：

在相同的分割網格下：

“四點”插值算法節點數：

三角形法需要的節點數：

數值計算結果如表1。

5 結語

通過實驗的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面積的算法誤差和傳統的“三角形法”誤差雖然都是，但本文方法的誤差是“三角形法”的，計算時間是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息點少，精度較好，運算速度快，具有較大的實用價值。

參考文獻

[1] 陳吉龍，武偉，劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應用研究[J].西南農業學報，2008，21（5）.

[2] 魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究[J].沈陽：沈陽工業大學信息科學與工程學院，2007（3）.

[3] 同濟大學.微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 數值分析[M].endprint