基于分形理論的路基填石料粒徑優劣分析

2014-11-09 12:44:54吳安澤

山西建筑 2014年24期

吳安澤

(重慶交通大學交通運輸學院，重慶 400074)

0 引言

具有自相似性和標度不變性的系統稱為分形系統，隨著分形理論的產生和發展，逐步的形成了分形幾何學。分形理論作為一門新興的橫斷學科，是非線性科學的前沿和重要分支。在物理化學、材料學科、地質勘探、信息科學等研究領域中十分活躍，是研究自然界和非線性系統中出現的不光滑和不規則幾何形貌及復雜物理現象的有力工具，數學基礎是分形幾何［1］。同其他數學概念一樣，分形是從客觀存在的形和數的關系中抽象出來的。自然界中廣泛的存在分形。

分形維數簡稱分維，是描述分形的數量特征的主要參數，其用于研究形態不規則的事物，度量復雜形體的不規則性。分形形體中的自相似性可以是完全相同，也可以是統計意義上的自相似性［2］。作為分形中的參量，分形維數最早由 Hausdorff提出，以Hausdorff度為基礎，維數可以是非整數及分維。隨著分形理論的逐步發展，其越來越多的用于巖土工程碎石填料的分析中。

1 碎石料的分形特征

在爆破力和碾壓作用下，巖石形狀雖然不完全相同，但經統計發現都至少存在一個近似的三角形面。巖石的破碎過程類似于Koch曲線。先將直線段三等分，然后將中間部分用等邊三角形代替，依次重復以上兩步便會形成Koch曲線。Koch曲線雖在直線段的細部發生變化，然而整體形狀卻具有相似性。碎石顆粒的破碎過程可以用Koch曲線形象的描述。在這個過程中產生的小石塊同原來的大石塊相似，因此填料的破碎具有分形特征。

2 粒徑分布函數的分形表示

對于填石路基填料，設其填料的顆粒直徑為δ，定義粒徑不大于δ的填料個數為N(δ)，可得到分形為:

其中，δmax為填料的最大粒徑;NZ為填料的總數目。

填料的粒徑分布函數F(δ)定義為:

則:

其分維數D可以表征顆粒的相對粗細，D值越大，說明小于給定直徑大小的顆粒越多，對應顆粒整體越細［3］。

3 填石料的分形

填料粒徑分布為分形，則其相應的質量、孔隙率、毛體積等也是空間意義上的分形。其拓撲維數為3，因此根據分形的定義可以得到毛體積的分形表達式為:

其中，V(δ)為粒徑不大于δ的填料顆粒的毛體積;V0為所有填料的毛體積。

對上式求導:

定義粒徑小于δ填料的質量M(δ)，則有:

由式(5)，式(6)得:

其中，M(δ)為粒徑不大于δ的填料的質量;ρ為填料的表觀密度。

定義填料的質量分布函數:

其中，P(δ)為篩孔為δ的質量通過百分率;MZ為填料的總質量，即 M(δmax)。

由式(7)和式(8)可得:

當 δ=δmax時:

當最小的粒徑δmin=0時，下式成立:

此即為質量通過率表示的填料級配分形表達式。

對式(11)取對數得:

如果在雙對數坐標lgP與lgδ函數圖中存在直線段，就表明填料顆粒分布具有分形結構，lgP與lgδ的關系用數學方法回歸是一次方程，故lgP與lgδ存在直線關系，利用EXCEL中的最小二乘法對已知數據進行最佳直線擬合，求出通過百分率lgP與孔尺寸lgδ之間的最佳擬合直線斜率為K，則D=3－K，不同的D值對應不同的級配組成［4］。

4 分形維數和碎石料級配的關系

分維數的大小與粒徑級配曲線的特征值有關，也與lg［M(d)/M］－lgδ曲線斜率有關。該曲線斜率b越大，分維數D越小［5］。

根據不均勻系數Cu=d60/d10和曲率系數可推算得分維數D與不均勻系數Cu和曲率系數Cc的以下關系式:

根據土工試驗規程，當粗粒土的級配同時滿足:Cu≥5和Cc=1～3時為級配良好。由JTG F10-2006公路路基施工技術規范，不均勻系數范圍限定在10～15之間，由式(13)和式(14)計算出當D滿足1.887～2.631范圍時，顆粒級配良好。因此，當填料的粒度分布分維數滿足D在以上范圍時，其級配為良好級配。只需計算分維值，就可以判定級配優良性。根據分維數與不均勻系數和曲率的關系可以知道，D值越大，顆粒大小越不均勻，工程性質越好;D值越小，顆粒大小均勻，工程性質越差。

5 試驗結果分析

由室內填料篩分試驗，得出三種試樣通過各篩孔的質量占總質量的百分比。篩下累計百分含量如表1所示。

表1 碎石篩下百分含量

假定:

則可作出三種填料SA，SB，SC的分形結構圖如圖1～圖3所示。

對所做曲線經過線性擬合得到直線段，直線的斜率即為b。SA料的斜率 b=0.775 8，SB料的斜率 b=0.816 1，SC料的斜率b=0.837 9。根據分維數與斜率的關系D=3－K得出三種填料的分維數分別如表2所示。

表2 分維數計算

從圖1～圖3各組填料的分維結構、表1的數據分析可以看出分維數D全部滿足1.887～2.631的范圍，SA的填料分維數值最大，數值擬合計算得到的分維值與篩分試驗所得的不均勻系數這兩個指標有很好的統一性及不均勻性，不均勻系數越大，分維值就越大，填料粒徑分布越好。在擬合分維值時，除了SB組填料外，相關系數都在0.98以上，說明變量之間的線性相關程度很高及擬合結果有很高的可信度。