限制李超代數環面秩的一個重要性質

高孝成，姚 艷

(黑河學院數學系，黑龍江黑河164300)

李超代數是在李代數的基礎上發展起來的一個代數學分支，而李代數這一概念是由挪威數學家M．S．Lie在19世紀后期研究連續變換群時引進的．拓撲學中的李超代數通常是特征p域上的李超代數(即模李超代數)，尤其是有限域上李超代數［1］．目前，模李代數與非模李超代數都已經有相對完整的結構理論．在1977年，李超代數理論的奠基人之一，著名的數學家V．G．Kac在有限維、特征零情形，給出了單李超代數的完全分類，1998年，Kac又完成了特征零代數閉域上無限維單的線性緊致李超代數的分類［2］，無限維線性緊致李超代數也有完全分類［3］;典型模李代數和代數群的表示［4］，特征零典型李超代數、另外李超代數的表示也都取得了長足的發展．這樣自然要考慮到素特征域上的有限維單李超代數(模李超代數)的情況，即模李超代數的分類問題．

限制李代數的概念在模李代數理論中起著非常重要的作用，有限維模李代數的分類和表示首先是基于限制李代數上的［5-6］．因此，將模李代數限制理論平行推廣到模李超代數中是十分必要的，見文獻［7-10］．首先，每個模李超代數都可以嵌入到它的一個包絡中，從而利用映射研究結構問題．其次，容易證明模李超代數的任何有限維不可約表示均具有唯一性特征．這樣，我們可以象模李代數情形一樣對表示問題進行深入細致的研究．對于模李代數而言，環面、環面秩是限制理論中非常重要的概念，將它們推廣到限制李超代數中進行研究，對于限制李超代數理論的作用也是基礎性的．本文中，Z表示整數集，沒有特殊說明時，F表示特征為素數p＞2的域．

1 預備知識

在一般的域F上:

定義1．1 設A是域F上的線性空間，A稱作F上的代數，如果除了數乘和A的加法運算外，A還有一個乘法運算(用xy表示x與y的乘積，?x，y∈A)，并且滿足以下條件:

(i)x(y+z)=xy+xz，(y+z)x=yx+zx，

(ii)λ(xy)=(λx)y=x(λy)，?x，y，z∈A，?λ∈F．

如果代數A是F上的有限維線性空間，則稱A為F上的有限維代數．

如果代數A的乘法滿足結合律，則稱A為結合代數;如果代數A的乘法滿足交換律，則稱A為交換代數．

如果代數A的乘法滿足以下條件:

(i)x2=0，?x∈ A，

(ii)x(yz)+y(zx)+z(xy)=0，?x，y，z∈A，(Jacobi等式)，

則稱A為李代數．

定義 1．2［11］設 L=L0－⊕ L1－是域 F 上的一個Z2－階化代數，L中的乘法用方括號［，］表示，對于L中任意齊次元素a，b，c，若以下條件被滿足:

(1)［a，b］ = － (－ 1)|a||b|［a，b］ (超反對稱)

(2)(－ 1)|a||c|［a，［b，c］］+(－ 1)|a||b|［b，［c，a］］ +(－ 1)|b||c|［c，［a，b］］ =0 (超Jacobi-恒等式)

則稱L是一個李超代數．

在素特征的域F上:

其中Si(a，b)是由如下公式唯一確定的:

p－1

定義1．4 設(L，［p］)與(L'，［p］')是兩個限制李超代數，φ:L→ L'是李超代數同態．若φ|L－

0:→是一個李代數限制同態，則稱φ是限制李超代數(L，［p］)到(L'，［p］')的限制同態(p－同態)．

(1)一個包含限制李超代數(G，［p］)和一個李超代數的單同態l:L→G的(G，［P］，l)叫做L的一個限制包絡，

(2)L的一個限制包絡(G，［p］)叫做泛限制包絡，如果下面的泛性質成立:對于每一個限制李超代數(H，［p］')和每一個李超代數同態f:L→H，剛好存在一個限制同態 g:(G，［p］)→ (H，［p］')，使得g?l=f限制包絡也稱為p－包絡．

為了計算的方便，給出以下引理:

引理1．1 設限制李超代數(L，［p］)的子代數為K，K［p］為包含K的(L，［p］)的最小的p－ 子代數，則有

其中，αi∈ F，ki∈ ? ，xi∈ K0－，y ∈ K1－，y ∈是由生成的的限制李子代數．

在李超代數中，也有類似李代數限制包絡的結論．

引理1．2 每一個有限維李超代數都有一個有限維的限制包絡．

2 環面秩

下面，設L是有限維李超代數．

定義2．1 設T是限制李超代數(L，［p］)的一個子代數，若滿足:

(1)T是L的Abel p-子代數，

(3)對于任意x∈T，x為L的p－半單元，即存在 αi∈F，使得

則稱T為L的一個環面．

定義2．2 設K是李超代數L的子代數，(G，［p］，l)為 L 的 p － 包絡，K［p］=(l(K))［p］，T 是K［p］/K［p］∩ C(G)的環面，稱

為K在L中的環面秩，tr(L):=tr(L，L)為L的絕對環面秩．

注記2．1設H與K是有限維李超代數L的子代數，且H?K，則

(1)L的p－包絡選取不影響子代數K或H在L中的環面秩，

(2)tr(H)≤tr(K)

(3)tr(H，K)≤tr(H，L)≤tr(K，L)

(4)不考慮中心的影響，環面秩最大的環面即為維數最大的環面．

3 結 論

定理3．1 設H，K分別是有限維限制李超代數(L，［p］)的子代數，且 H ? K．

若 tr(H，L)=tr(L)，則 tr(H，K)=tr(K)．

證明:根據引理1．1，可設L［p］為L的有限維p－ 包絡．由引理1．2，

取 H［p］/(H［p］∩ C(L［p］))的 p－理想:

易見，

方便起見，對于有限維李超代數L，記mt(L)為L的環面的最大維數，即

mt(L):=max{dim T|T為L的環面}

則

從而，

即

這樣，

由(6)，

應用(5)可得，

最后，由(4)與(7)，知 tr(H，K)=tr(K)．結論得證．

本文將環面、環面秩概念推廣到限制李超代數中進行研究，給出了限制李超代數環面秩的一個重要性質，為限制李代數的研究奠定了理論基礎．

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