Stirling公式的進一步拓展

張麗穎

(健雄職業技術學院軟件與服務外包學院，江蘇太倉215411)

詹姆斯·斯特林(James Stirling)于1730年給出了:n!～C·n(n+12)·e－n，并求出了近些年，Stirling公式還多次被推廣．其研究不斷地深入．

1999年，徐利治［1］給出了n!的二重級數表達式并推出其雙邊不等式為

2004年，匡繼昌［2］對Stirling公式做了進一步推演:

并指出，經常使用的n!近似估計式有:

文獻［3］、［5］、［6］也對 Stirling公式進行了論證:

在文獻［3］中還有如下結果為

在文獻［4］中有如下結果:

kk函數的最大值．

將Stirling公式再進一步拓展，以期得到等差數列乘積的數值逼近表達式．

1 等差數列乘積的數值逼近

首先把Stirling公式中的自然數乘積n!=1·2…n拓展為等差數列乘積:

1．1 等差數列乘積的表達式

定理1 設a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

其中:

證明:根據Euler-Marclaurin公式，又由f(x)=ln x的n階導數:

在［a，+∞)是絕對連續的，再取t=0，h=d，b=a+nd，又根據Bernoulli函數性質中的Bk(0)=)，Bernoulli數中的 B2k+1=0，則取 r為某一奇數，有Br(0)=0．可得:

分別對(2)中的3個表達式變形得:

即證:

由于μ1(n)含有積分式，需要簡化，有下面結果．可以作為當等差數列乘積的近似表達式的一個誤差估計．

證明:

將(10)，(11)代入(9)得:

同理，依次可以推得i個不等式，最后一個為:

將(12)(13)等i個不等式相加得:

由(7)，對(14)中k相加，得:

1．2 相關推論

為了將定理1的公式變成另一簡潔形式．有下面推論1．

推論1 設a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

推論2 設a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

證明:在定理1，2．2 中，對于:

由定理2推導過程的(15)，r=5，下式:

推論3設a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

有關a，d可取整數之外的其它任意正數，比如是小數或無理數，會得到大量代數式，其例子不再列舉．

因此，定理1推廣了n!估計式，拓展了Stirling公式的應用范圍．

2 數值逼近表達式的實例檢驗

對于推論3的數值逼近的精度，采用數學軟件:MATHEMATICA8．0，編寫程序檢驗精確度．取:數值原值表達式:

相對誤差:H1=(A-B1)/A，H2=(A-B2)/A．

表1 數值逼近表達式B1中變量n對精度的影響

表1說明數值逼近表達式B1中，隨變量n的增大，相對誤差在增大，基本達到1/10000．

表2 數值逼近表達式B2中變量n對精度的影響

表2說明數值逼近表達式B2中，隨變量n的增大，相對誤差在增大，基本達到1/1014．

3 結 論

定理1中給出的等差數列乘積的數值逼近表達式，拓展了Stirling公式．在適用范圍方面是最寬泛的一個結果．

定理2中給出的等差數列乘積的數值逼近表達式的誤差估計表達式，是經過較細致嚴密的縮放，因此數值精度在理論上有一個較優的估計．

通過計算機編程驗證，舉出實例說明文中結論可靠實用．對于如何精簡近似表達式、提高數值逼近精度、推導其它類型數列乘積的數值逼近表達式將是繼續探索的方向．

Stirling公式在數學分析、數論、概率論及相關領域有著諸多的重要應用，二項分布和超幾何分布的計算問題都可歸結為階乘的計算問題，在產品抽樣驗收與(n，c)方案中有具體應用．在數學物理方程、計算數學、工程數學應用中的方程問題，通過運用本結論給出的近似表達更為簡潔．另外，在代數式推導過程中也有一定的重要應用．按照文中思路，對冪指數列的數值逼近等具有推廣借鑒意義．

［1］ L．C．Hsu，LUOXiaonan．OnaTwo-sideInequalityInvolvingStirlingformula［J］．JournalofMathematicalresearchandexposition．1999，19(3)．

［2］ 匡繼昌．常用不等式［M］．3版，濟南:山東科技出版社．2004．

［3］ 楊必成．關于階乘的一些新不等式［J］．廣東教育學院學報，2002(2):1-4．

［4］ 謝子填．Stirling公式的一個推廣［J］．數學實踐與認識，2006(6):331-333．

［5］ Stirling＇sFormula［DB/OL］．http://www．sosmath．com/calculus/sequence/stirling/stirling．html

［6］ Problem2-Stirling＇sFormula．1999，19(3)［EB/OL］．http://web．yl．is．s．u-tokyo．ac．jp/～ affeldt/examination/examination/node97．html．