數(shù)列極限的幾何解釋及其應(yīng)用

張府柱

摘 要：數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學(xué)習(xí)和實(shí)際問題的解決中卻有著不可忽視的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限 幾何意義 證明 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿在整個(gè)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。學(xué)生有熟練掌握極限理論是學(xué)好數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的前提條件，在以往的教學(xué)中，數(shù)列極限的幾何解釋通常不能引起學(xué)生的重視。就其原因，一是數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數(shù)列極限一節(jié)的結(jié)束；另一方面它的應(yīng)用較少，很難引起學(xué)生的注意。因此，在對(duì)一些用到數(shù)列極限的幾何解釋解決的問題時(shí)無從下手。本文將闡述數(shù)列極限的幾何解釋的若干應(yīng)用，希望引起學(xué)習(xí)者的重視。

1 數(shù)列極限的幾何解釋

數(shù)列以為極限的定義是：對(duì)于每一個(gè)事先給定的，存在正整數(shù)，使得對(duì)滿足條件的每個(gè)自然數(shù)，成立不等式。其幾何解釋是：

數(shù)列收斂：數(shù)列從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定的鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。

數(shù)列發(fā)散：對(duì)于數(shù)軸上的每個(gè)，都存在一個(gè)鄰域，在中有無窮多限項(xiàng)落在這個(gè)鄰域之外。

它們其實(shí)就是數(shù)列收斂與發(fā)散的幾何定義，應(yīng)該引起學(xué)生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應(yīng)用。

2 在理論學(xué)習(xí)中的意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)極限的性質(zhì)時(shí)總感到困惑，認(rèn)為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時(shí)，先設(shè)有兩個(gè)不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個(gè)問題，我們先看它的幾何意義：數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)，同時(shí)有數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。因?yàn)椋忠ＷC這兩個(gè)鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點(diǎn)距離的一半嗎？數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始不可能同時(shí)進(jìn)入兩個(gè)不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號(hào)性，若數(shù)列收斂，且，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖1所示，取，在區(qū)間外只有有限個(gè)點(diǎn)，記最大的下標(biāo)為，則只要時(shí)，就落在鄰域內(nèi)，顯然大于。

又如有序性， 設(shè)，。若，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應(yīng)用

例1 證明數(shù)列增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)，不改變其斂散性。

證：設(shè)收斂，則

，使得，在外只有的有限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍然只有的有限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其收斂性。

如果發(fā)散，則，，使得在外有的無限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍有的無限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其發(fā)散性.

注：本題多次布置給學(xué)生作為練習(xí)題，學(xué)生的反映是無從下手，就此反映了學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的不重視。

例2 證明：數(shù)列發(fā)散。

證：因?yàn)橛蔁o窮多個(gè)和無窮多個(gè)組成，所以任何一個(gè)長(zhǎng)度小于的區(qū)間不可能同時(shí)覆蓋和。即，取，則必有無限多項(xiàng)在之外。

注：本例中，可取中任何一個(gè)數(shù)，作為存在性的說明，只需一個(gè)就可以了，此處取的是。

例3設(shè)黎曼函數(shù)

證明黎曼函數(shù)滿足。

證：，當(dāng)或

時(shí)，，所以。

當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于求有理點(diǎn)列的極限。對(duì)，取，如圖3所示：

在直線上方的點(diǎn)只有有限個(gè)，即在外只有有限個(gè)點(diǎn)，故有理點(diǎn)列以極限。用數(shù)學(xué)語言敘述如下：

由于的點(diǎn)只有有限個(gè)，設(shè)它們?yōu)椋灾恍枞?/p>

則使得，從而。

綜上所述，故。

關(guān)于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，一般都有數(shù)和形兩個(gè)方面的陳述。作為數(shù)上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補(bǔ)充，不能厚此薄彼。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint

摘 要：數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學(xué)習(xí)和實(shí)際問題的解決中卻有著不可忽視的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限 幾何意義 證明 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿在整個(gè)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。學(xué)生有熟練掌握極限理論是學(xué)好數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的前提條件，在以往的教學(xué)中，數(shù)列極限的幾何解釋通常不能引起學(xué)生的重視。就其原因，一是數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數(shù)列極限一節(jié)的結(jié)束；另一方面它的應(yīng)用較少，很難引起學(xué)生的注意。因此，在對(duì)一些用到數(shù)列極限的幾何解釋解決的問題時(shí)無從下手。本文將闡述數(shù)列極限的幾何解釋的若干應(yīng)用，希望引起學(xué)習(xí)者的重視。

1 數(shù)列極限的幾何解釋

數(shù)列以為極限的定義是：對(duì)于每一個(gè)事先給定的，存在正整數(shù)，使得對(duì)滿足條件的每個(gè)自然數(shù)，成立不等式。其幾何解釋是：

數(shù)列收斂：數(shù)列從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定的鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。

數(shù)列發(fā)散：對(duì)于數(shù)軸上的每個(gè)，都存在一個(gè)鄰域，在中有無窮多限項(xiàng)落在這個(gè)鄰域之外。

它們其實(shí)就是數(shù)列收斂與發(fā)散的幾何定義，應(yīng)該引起學(xué)生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應(yīng)用。

2 在理論學(xué)習(xí)中的意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)極限的性質(zhì)時(shí)總感到困惑，認(rèn)為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時(shí)，先設(shè)有兩個(gè)不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個(gè)問題，我們先看它的幾何意義：數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)，同時(shí)有數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。因?yàn)椋忠ＷC這兩個(gè)鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點(diǎn)距離的一半嗎？數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始不可能同時(shí)進(jìn)入兩個(gè)不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號(hào)性，若數(shù)列收斂，且，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖1所示，取，在區(qū)間外只有有限個(gè)點(diǎn)，記最大的下標(biāo)為，則只要時(shí)，就落在鄰域內(nèi)，顯然大于。

又如有序性， 設(shè)，。若，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應(yīng)用

例1 證明數(shù)列增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)，不改變其斂散性。

證：設(shè)收斂，則

，使得，在外只有的有限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍然只有的有限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其收斂性。

如果發(fā)散，則，，使得在外有的無限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍有的無限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其發(fā)散性.

注：本題多次布置給學(xué)生作為練習(xí)題，學(xué)生的反映是無從下手，就此反映了學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的不重視。

例2 證明：數(shù)列發(fā)散。

證：因?yàn)橛蔁o窮多個(gè)和無窮多個(gè)組成，所以任何一個(gè)長(zhǎng)度小于的區(qū)間不可能同時(shí)覆蓋和。即，取，則必有無限多項(xiàng)在之外。

注：本例中，可取中任何一個(gè)數(shù)，作為存在性的說明，只需一個(gè)就可以了，此處取的是。

例3設(shè)黎曼函數(shù)

證明黎曼函數(shù)滿足。

證：，當(dāng)或

時(shí)，，所以。

當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于求有理點(diǎn)列的極限。對(duì)，取，如圖3所示：

在直線上方的點(diǎn)只有有限個(gè)，即在外只有有限個(gè)點(diǎn)，故有理點(diǎn)列以極限。用數(shù)學(xué)語言敘述如下：

由于的點(diǎn)只有有限個(gè)，設(shè)它們?yōu)椋灾恍枞?/p>

則使得，從而。

綜上所述，故。

關(guān)于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，一般都有數(shù)和形兩個(gè)方面的陳述。作為數(shù)上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補(bǔ)充，不能厚此薄彼。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint

摘 要：數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學(xué)習(xí)和實(shí)際問題的解決中卻有著不可忽視的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限 幾何意義 證明 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿在整個(gè)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。學(xué)生有熟練掌握極限理論是學(xué)好數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的前提條件，在以往的教學(xué)中，數(shù)列極限的幾何解釋通常不能引起學(xué)生的重視。就其原因，一是數(shù)列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數(shù)列極限一節(jié)的結(jié)束；另一方面它的應(yīng)用較少，很難引起學(xué)生的注意。因此，在對(duì)一些用到數(shù)列極限的幾何解釋解決的問題時(shí)無從下手。本文將闡述數(shù)列極限的幾何解釋的若干應(yīng)用，希望引起學(xué)習(xí)者的重視。

1 數(shù)列極限的幾何解釋

數(shù)列以為極限的定義是：對(duì)于每一個(gè)事先給定的，存在正整數(shù)，使得對(duì)滿足條件的每個(gè)自然數(shù)，成立不等式。其幾何解釋是：

數(shù)列收斂：數(shù)列從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定的鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。

數(shù)列發(fā)散：對(duì)于數(shù)軸上的每個(gè)，都存在一個(gè)鄰域，在中有無窮多限項(xiàng)落在這個(gè)鄰域之外。

它們其實(shí)就是數(shù)列收斂與發(fā)散的幾何定義，應(yīng)該引起學(xué)生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應(yīng)用。

2 在理論學(xué)習(xí)中的意義

學(xué)生在學(xué)習(xí)極限的性質(zhì)時(shí)總感到困惑，認(rèn)為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時(shí)，先設(shè)有兩個(gè)不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個(gè)問題，我們先看它的幾何意義：數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)，同時(shí)有數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始將進(jìn)入的任何事先給定有鄰域，在這個(gè)鄰域以外最多只有有限項(xiàng)。因?yàn)椋忠ＷC這兩個(gè)鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點(diǎn)距離的一半嗎？數(shù)列的項(xiàng)從某項(xiàng)開始不可能同時(shí)進(jìn)入兩個(gè)不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號(hào)性，若數(shù)列收斂，且，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖1所示，取，在區(qū)間外只有有限個(gè)點(diǎn)，記最大的下標(biāo)為，則只要時(shí)，就落在鄰域內(nèi)，顯然大于。

又如有序性， 設(shè)，。若，則當(dāng)時(shí)，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應(yīng)用

例1 證明數(shù)列增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)，不改變其斂散性。

證：設(shè)收斂，則

，使得，在外只有的有限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍然只有的有限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其收斂性。

如果發(fā)散，則，，使得在外有的無限項(xiàng)。

所以，增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)后，在外仍有的無限項(xiàng)，故增加有限項(xiàng)或減少有限項(xiàng)不改變其發(fā)散性.

注：本題多次布置給學(xué)生作為練習(xí)題，學(xué)生的反映是無從下手，就此反映了學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的不重視。

例2 證明：數(shù)列發(fā)散。

證：因?yàn)橛蔁o窮多個(gè)和無窮多個(gè)組成，所以任何一個(gè)長(zhǎng)度小于的區(qū)間不可能同時(shí)覆蓋和。即，取，則必有無限多項(xiàng)在之外。

注：本例中，可取中任何一個(gè)數(shù)，作為存在性的說明，只需一個(gè)就可以了，此處取的是。

例3設(shè)黎曼函數(shù)

證明黎曼函數(shù)滿足。

證：，當(dāng)或

時(shí)，，所以。

當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于求有理點(diǎn)列的極限。對(duì)，取，如圖3所示：

在直線上方的點(diǎn)只有有限個(gè)，即在外只有有限個(gè)點(diǎn)，故有理點(diǎn)列以極限。用數(shù)學(xué)語言敘述如下：

由于的點(diǎn)只有有限個(gè)，設(shè)它們?yōu)椋灾恍枞?/p>

則使得，從而。

綜上所述，故。

關(guān)于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，一般都有數(shù)和形兩個(gè)方面的陳述。作為數(shù)上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補(bǔ)充，不能厚此薄彼。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint