彈簧振動周期研究

邱偉

摘 要：該文先通過對彈簧質量被忽略和不被忽略兩種情況的研究得出彈簧周期的理論公式，再通過實驗（彈簧質量小于振子質量）計算出m前的系數約為0.3～0.35，與理論值相符。實際彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動，它只有在其他級別（n>1）的振動可以忽略的情況下，才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質量與彈簧振子質量的比值。

關鍵詞：彈簧質量 彈簧振子 周期

中圖分類號：I206.7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0207-04

在彈簧質量不可以忽略時對彈簧振子周期的影響，有大批人士從不同角度加以研究[1-10]，他們將彈簧視作質量均勻的介質，或利用波動方程[1-2]，或將彈簧看作一系列離散化的小的彈簧振子進行研究[6-7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情況下都得出彈簧振子周期T=，k為彈簧勁度系數，M為彈簧振子質量，m為彈簧質量，附加到彈簧振子的m/3叫彈簧的有效質量。我們是否也可以猜測彈簧振子的振動模式存在差異？各種模式的振動頻率之間也都不成有理數的倍數關系[8]？文獻[9]對彈簧質量m/3修正的問題存在異議，有的認為1/3僅僅是0.346的近似值。文獻[3]采用最優化及多元線性回歸，并根據實驗數據得。文獻[4]依據能量分析方法得出有效質量應該介于m/3～m/2之間，同時引入有效彈性常量介于之間。文獻[1，2，7]指出存在無窮多的振子，其滿足。本文分別探究了不考慮彈簧質量時，和考慮彈簧質量時，這兩種情況下產生的差異以及影響，同時還進一步分析了實際彈簧振子周期和理論值得差異，更完善的研究了彈簧振子的振動規律。

1 未考慮彈簧質量（理想彈簧）的彈簧振子周期

如圖1所示，當未考慮彈簧質量時，彈簧的原長為，末端系一個質量為振動物體。假設水平面是光滑的，沒有摩擦，彈簧和振動物體在放在水平面上，物體受到的力是回復力，物體做往復的周期性運動。其運動過程中忽略空氣摩擦阻力的影響。在下圖中：①圖彈簧未伸長，靜止在水平面上，物體受力。②圖彈簧向右運動，彈簧伸長x，物體受力為。③圖彈簧未伸長靜止在水平面上，物體受力。④圖彈簧向左運動，被壓縮x，物體受力。其中負號（-）表示物體受力與運動方向相反。選彈簧運動的一個周期為研究條件。在一個周期中，如果彈簧所受的力超過了彈簧的最大的承受力，彈簧將受到損壞，將失去它的周期性能。因此在做研究時，要保證彈簧所受的力在正常范圍內，這也是保證研究結果能正確的一個先決條件。對于物體，當彈簧所受的力在正常范圍內時，由牛頓第一定律可知，式⑴其中為彈簧的勁度系數。我們將⑴式轉化一下，用除⑴式，設，和都一定時，對于彈簧振子來說，為常數，所以⑴式可以改寫為式⑵，⑵式為二階常系數線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個解為，第二個解為。則⑵式的通解為：令則通解變為，

，為初相，A為振幅。又根據正弦函數的周期性得：和的運動形式完全一樣。而和即在t時刻和時刻，振子的運動是一樣的。所以是振動周期，用T來表示T=因為所以，⑶，⑶式就是在不考慮彈簧質量的情況下得出的彈簧振子周期公式（圖1）。

2 考慮彈簧質量后彈簧振子的周期

如圖2所示，假設彈簧質量為，彈簧的自然長度為，物體任然在水平面上振動。彈簧是均勻的其質量也是均勻分布的。假設任一點到點的距離為s，（0≤s≤l）。

假設到d之間有一個彈簧元，它的質量是：如果彈簧振子產生了一個的位移，dM也將發生一個位移。如果把dM的位移和的位移相比，很容易得到dM的位移遠小于的結果（其中的位移對應的是整個彈簧的伸長量，dM的位移只是對應彈簧中任一點到o點的伸長量）。又因為0≤s≤l，所以dM的位移必然小于的位移。為了簡單合理的計算出dM的位移，我們假定彈簧各部分所發生的位移與它們到固定點o的距離成正比。則dM發生的位移當時，，即為位移；當時，，即為固定點所在位置；顯然是符合的。下面我們計算dM這一小段彈簧元的動能：將上式兩邊

積分，右邊只對積分，其余看作常數，便可使彈簧在任意給定時刻的總動能為：其系統的總

能量為：

即：式⑷，式，為彈簧振子的彈性勢能。⑷式和忽略彈簧質量時的能量表達式一樣。未考慮彈簧質量時，系統的能量表達式為：式⑸，而其微分式為：周期是：對比分析，我們可以得到，考慮彈簧質量后的運動微分式：式⑹，將除⑹式兩邊，并設，k和都一定時，對于彈簧振子來說，為常數，所以⑴式可以改寫為式⑺，⑺式為二階常系數線性齊次微分方程，其特征根為解特征根方程得到：第一個解為，第二個解為。

⑺式的通解為： 令則通解變即

，為初相，A為振幅。又根據正弦函數的周期性得：和的運動形式完全樣，而和即在t時刻和時刻振子的運動是一樣的。振動周期因為所以因此式⑻即式⑼由此得出考慮了彈簧質量后的彈簧振子周期公式。其值大于未考慮彈簧質量時的周期。這個公式我們也可以看成是在的基礎上加上后得出來的周期公式。

3 雷利法進一步論證

前面已經求證出不忽略彈簧質量時的振子周期公式，為了使結論具有更可靠性，我們可以利用雷利法再次論證一下，驗證一下結果是否同樣。我們把彈簧看作是均勻的彈性桿，同時只有縱向振動。設彈簧長為L，橫截面積為S，其質量為m，在振幅不怎么大的情況下，其密度可以表示為當有外力時，彈簧受力，

伸長，可以算的勁度系數：。又根據楊氏模量E的定義：，將式帶入式可以得到，。彈性桿做縱向運動時，其波動方程可以表示為，如（圖3）：

E為楊氏模量，為彈簧密度，x為彈簧上一點到原點y的位移。根據前面的密度表達式，可以將波動方程化為：其中現在考慮邊界條件，當彈簧沒有位移時得到一個邊界條件⑴由于M的運動由彈簧的彈性力決定，依據牛頓第二定律： 消

去E后可以得到另外一個邊界條件：⑵時，，采用

分離變量法可以解滿足以上兩個邊界條件的波動方程。令，將波動方程化，它們

等于一個與和無關的常數。即：，可以

將這個方程化為兩方程。①和②解①和②得和

，將和帶入波動方程可以解根據邊界條

件⑴得，

進而推出

再根據邊界條件⑵

帶入式，依據此式得到：，其中，又可以化為這是一個超越方程，可以用如（圖4）求解。

圖中標出的是的前三個解，假如<，用級數展開的右邊解。在時。

取前面兩項得

，從這個式子我們可以得到，，進而，所以彈簧振子周期為，得出的結果和前面討論的一樣。下表是對不同的值，式所引起的誤差（表1）。

4 實際彈簧振子的周期

如果彈簧的長度比較長，而且質量和彈簧振子的質量相差不多。在這種情況下，對彈簧的周期性研究變得更復雜了。此時，彈簧的變化并非是呈線性變化，要解決實際彈簧振子的周期可以借助彈簧的縱波解來輔助研究。根據縱波的傳播方程，我們可以得到考慮彈簧質量時運動方程實際上是由多個簡諧振動合成的，其運動方程如下：其中，，

，n=1，2，3，4，5……是超越方程的根，是彈簧的原長，M是彈簧振子的質量，m是彈簧的質量。由此結論，可以得出彈簧振子的運動并不是總是簡諧運動，它只有在其他級別（n>1）的振動可以忽略的情況下，才能將彈簧的運動看作簡諧運動。其他情況的振動的強弱取決于彈簧質量與彈簧振子質量的比值。例如，可以求得第一級振動的振幅是第二級的約5000倍，更遠大于第三極等更高級的振動，所以這時彈簧振子的運動可近似看作簡諧運動，此時彈簧振子的周期為彈簧的質量折算為彈簧振子的等效質量0.3 m。當時，第一級的振動的振幅是第二級的約80倍，第一級振動還是遠大于其他級振動，因此，還可以當做簡諧運動，此時周期為即，彈簧的質量折算為彈簧振子的等效質量為0.35 m。

5 討論

為了驗證實際中的彈簧振子周期m的系數通常是否約為0.30～0.35，我們通過實驗可以證得。我們做了一個豎直振動實驗，如下圖的力傳感器：M=20 g，取為彈簧振子質量，k=2 N/m，取為彈簧的勁度系數（表1、2）。

在（圖5）中，將力傳感器系于彈簧上。傳感器將根據彈簧上下振動的振幅，測得力后，將數據傳給計算機。經過計算機計算后，得到彈簧振子的周期。

在上面的兩個表中，在彈簧質量和勁度系數不變的情況下，我們測得了實驗周期的最小值和最大值。根據周期公式其中n為m的系數。將實驗測得的兩表中的周期T，彈簧振子質量M，彈簧質量m，勁度系數k，代入公式，計算后分別得出表一的n約為0.294，表二中n約為0.346。雖然實驗過程中存在一些誤差，但這些誤差是不可避免的。我們可以看出n的值非常接近0.3和0.35。這說明我們的理論推論是正確的。

6 結語

對于彈簧振子的周期研究，當不考慮彈簧的質量時得出的周期公式②當計及彈簧質量時的周期公式是 。第一種情況只有在M很大遠遠超過m時，m可以忽略時才可以使用。而第二種情況則是在M和m相差不大，m不可以忽略的情況下使用，我們可以把這種情況看作是在M的基礎上加上m/3。當然這兩種情況都把空氣摩擦、材料因素等次要因素都忽略了。在實際中，在彈簧質量不可忽略的情況下彈簧振子周期公式中m前的系數n約在0.30～0.35之間而不是1/3。這是因為實驗時存在空氣摩擦阻力等因素的影響而不同。

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