預應力對基座振動特性的影響分析

李銘

摘 要：設備安裝引起的預應力會影響基座的振動特性。基座主要由梁板結構組成，該文首先從理論推導出發分析了預應力對簡支梁、板固有頻率及導納的影響，并驗證了有限元方法計算預應力結構振動特性的準確性；然后利用有限元方法計算了預應力對加筋板結構振動特性的影響，最后分別計算分析了設備安裝對剛性臺架上的淡水泵基座以及對實艇浮筏基座振動特性的影響。結果表明預加載荷對梁板結構低頻振動特性影響較為顯著；設備安裝對剛性臺架上的淡水泵基座低頻導納峰值頻率處的影響較為明顯，尤其是跨點導納；設備安裝對實艇浮筏基座導納的影響可以忽略。

關鍵詞：預應力 梁板結構 基座 固有頻率 導納 有限元

中圖分類號：U661.44 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（a）-0103-04

Analysis of pre-stress influence on base vibration characteristic

LI Ming

（Equipment Department of Naval North Sea Fleet，Qingdao 266000，China）

Abstract：The pre-stress induced by installed machine will affect vibration characteristic of base. The base is mostly composed by beams and plates， the pre-stress influence on natural frequency and admittance of simply supported beam and plate is analyzed by theoretical derivation firstly， then the validity of using FEM to calculating pre-stressed structure vibration characteristic is confirmed， after that the pre-stress influence on stiffened plate is analyzed by FEM. The effect of installed machine on vibration characteristic of fresh water pump base fixed on rigid bench and floating raft base fixed on submarine is analyzed finally. The conclusion is that the effects of pre-stress on beam-plate assembly cant be neglected， especially when the frequency is low； The pre-stress effect on fresh water pump base is evident in the frequency of peak value， especially for the transmission admittance and pre-stress effect on the floating raft base can be neglected.

Key words：pre-stress beam-plate assembly base natural frequency admittance FEM

在進行設備振動傳遞、振源特性等方面的研究時，設備安裝基座的機械導納（速度導納或加速度導納）是重要參數，一般忽略設備安裝導致的預應力對基座剛度的影響，以裸基座導納代替實際條件下的基座導納[1]，這對計算分析帶來多大誤差是值得考慮的問題。此外實際測量設備安裝條件下的基座導納時會因設備質量塊的存在影響真實激勵力的計算，有限元在計算基座中低頻導納時有其優勢[2]，該文亦利用有限元方法計算基座導納。

國內外已有不少學者對預應力作用下梁、板結構的振動和穩定性問題進行了研究。Bokaian為了便于工程應用，給出了各種傳統邊界條件下軸壓和軸拉等截面梁頻率隨軸向載荷的變化曲線圖[3]。呂中榮計算了預應力對預應力梁振動特性的影響，指出預應力主要影響低階模態，并且對位移響應的影響比對速度和加速度響應的影響大；預應力越大，其對振動響應的影響就越明顯[4]。姜勁楓分析了預應力對梁、板彎曲振動固有頻率的影響，指出影響大小與預應力、約束方式和計算的模態階次有關[5]。Matsunaga采用二維高階剪切理論，研究了含預應力厚板的動力學特性和穩定性問題，并對不同長厚比的彈性厚板在不同階次的位移近似下得到的結果進行了比較[6]。

基座主要由梁板結構組成，該文在借鑒前人研究成果基礎上從理論推導出發分析了預應力對梁、板振動特性（固有頻率和機械導納）的影響，并結合有限元方法計算了預應力作用下加筋板的振動特性，最后分析了安裝設備對基座振動特性的影響，相關結論可為基座導納工程測量提供參考。

1 梁、板結構的基本理論

該文以簡支梁和簡支板為研究對象，以經典的Bernouli-Euler梁理論、Poisson-Kirchhoff薄板理論作為理論基礎，定性分析預應力對梁、板振動的影響[7]。

1.1 Bernouli-Euler梁理論

梁的變形主要是彎曲變形，忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉動慣量的影響，在預應力作用時（見圖1）基本運動方程為：

（1）

分別為變形量、彈性模量、轉動慣量，梁密度、橫截面面積以及外載荷。endprint

1.2 Poisson-Kirchhoff薄板理論

Poisson-Kirchhoff薄板理論是最為常用的板理論，能滿足工程與應用精度要求，在單向預應力作用時（見圖2）基本運動方程為：

（2）

，為板厚，為泊松比，拉普拉斯算子。

2 預應力對梁、板固有頻率的影響

2.1 預應力對梁彎曲振動固有頻率的影響

考慮預應力時梁的振型方程為：

（3）

對簡支梁而言，無預應力時的階自振頻率，影響系數，臨界壓力，為梁的長度。

梁基本參數如下：kg/m3，， Pa，

，為截面寬度，為截面高度，，梁材料損耗因子為0.01。可得不同預加載荷下梁的固有頻率，見表1。

2.2 預應力對板彎曲振動固有頻率的影響

討論單向均布壓力作用下簡支矩形板的自由振動即基本運動方程，則方程（2）變為：

（4）

相應的振型方程為：

（5）

，設滿足邊界條件的振型解為：，

，代入振型方程，因，可得固有頻率解：。其中為無平面力頻率，為臨界壓力，平面力修正系數。

板基本參數如下： kg/m3，Pa，m，長m、寬m，材料損耗因子為0.01。可得不同預應力下板的固有頻率，見表2。

由表1和表2的計算結果可知，在預加壓力的作用下，梁、板的固有頻率降低，壓力越大影響越明顯，并且低階模態對預加載荷更為敏感。

3 預應力對梁、板導納影響

在計算預應力對簡支梁和簡支板固有頻率的影響之后，進一步分析預應力對簡支梁、板導納的影響，可以更為深入的了解預應力作用下梁板結構的振動特性。

3.1 預應力對簡支梁導納特性的影響

由模態疊加法可得簡支梁在外載荷作用下加速度導納：，其中振型。以2.1節簡支梁為研究對象，取，計算處的原點導納，見圖3。

3.2 預應力對簡支板阻抗特性的影響

由模態疊加法得簡支板在外載荷作用下加速度導納：。以2.2節簡支板為研究對象，計算激勵點原點導納，見圖4。

由圖3、圖4可知，梁、板的原點導納曲線的峰值頻率在預加壓力的影響下向低頻區移動，并且對應的峰值并不相同，導納值在峰值頻率附近差別加大，其余頻段影響較小；在預應力影響下板導納曲線的峰值頻率增加，因無預應力導納曲線的峰值頻率與階模態頻率相對應，對方板而言階模態頻率與模態頻率相同，但在預應力的影響下二者不再相同，因此會多出一個峰值頻率；由預應力下簡支板頻率公式可知當即方向的半波數少于向的半波數時預應力對模態頻率的影響降低，圖4中曲線中的205 Hz，410 Hz兩個峰值頻率對應（1，2）階和（1.3）階模態頻率，其向低頻的偏移量較其它峰值頻率點要小很多。

此外，由簡支梁、板導納公式可知，在頻域內利用位移導納和加速度導納評價預應力對梁板結構振動特性的影響是等價的。

由上述分析得到了簡支梁、板在預應力作用下的基本振動特性，為更好的了解預應力對板梁組合結構的影響，下文利用有限元方法分析預應力作用下加筋板的振動特性。

4 有限元方法驗證

首先驗證有限元方法計算預應力結構振動特性的可行性和準確性，以2.2節中簡支板為計算對象，固有頻率和原點導納（激勵點為（0.1，0.1）的對比見表3和圖5。

由表3和圖5可知固有頻率的計算值與理論解基本一致；預應力作用下的導納曲線除在第一個峰值和谷值頻率處有5 dB的誤差，整個計算頻域內吻合較好，從而驗證了有限元方法的準確性。

5 預應力對加筋板振動的影響

加筋板尺寸：平板長m、寬 m，厚 m，兩根方形梁作為縱向加強筋將平板沿向平均分為3部分，材料損耗因子為0.01，梁截面尺寸為 m2，加筋板四邊簡支，有限元模型見圖6。加筋板臨界壓力的精確解較難得到，同時為方便與相同尺寸的平板比較，此處取為平板臨界壓力。預應力沿方向，激勵點為，利用有限元方法得到不同預應力下加筋板的固有頻率及導納曲線，分別見表4及圖7。

由表4和圖7可知，在方向預加壓力作用下加筋板固有頻率降低，但由于縱肋的加強作用預應力對加筋板的影響較平板減弱；導納曲線的部分峰值向低頻偏移，主要原因為對平板而言當振動在方向的半波數小于方向的半波數時預應力效應降低，同時縱肋主要增強板的第一彈性主向即方向的剛度，因此當時預應力對該階模態頻率的影響很小，導納曲線上與之對應的峰值頻率基本不變。

6 設備安裝對基座導納的影響

為深入分析設備安裝引起的預加載荷對艦艇基座振動特性的影響，分別計算了淡水泵基座以及實艇浮筏基座的導納特性。前者為簡單板梁組合結構，通過螺栓固定于剛性平板上，模擬基座的剛性臺架試驗；后者主要是分析實艇測試條件下設備安裝對基座導納的影響。

6.1 淡水泵基座導納計算

淡水泵基座的有限元模型見圖8，淡水泵與基座的連接簡化為點連接，設備重1.6 t，a，b，c，d為水泵與基座的連接點。

首先計算了裸基座和設備安裝時基座的固有頻率，見表5；然后計算了安裝點a的原點導納和a到c的跨點導納，見圖9。

由表5可知，在淡水泵安裝條件下基座的固有頻率有所下降，尤其是低階模態。由圖9可知淡水泵基座的原點導納和跨點導納曲線在設備安裝條件下峰值頻率向低頻偏移，在峰值頻率附近差別較為明顯尤其是跨點導納，其余頻率處影響較小。因此當淡水泵基座安裝在剛性臺架上測量其導納時，要考慮設備安裝引起的預應力對其導納的影響。

6.2 實艇浮筏基座的導納計算

以實艇浮筏基座為研究對象，有限元模型見圖10。筏架與設備總重7.8 t，筏架通過6個隔振器與基座聯結，視為點接觸，圖10中a-f即為連接點。endprint

首先對裸基座和設備安裝條件兩種情況進行模態分析，見表6。結果表明基座低階模態主要表現為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預加載荷對模態的影響很小。

進一步計算點b原點導納和點b到點f的跨點導納，見圖11。

由圖11中可知設備安裝對實艇基座的導納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結構，如肘板、環肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現為整體模態，預應力對高階模態的影響又很小，因此在實艇測量基座導納時可以不考慮設備安裝帶來的預加載荷對其造成的影響。

7 結語

該文研究表明預應力會影響梁板結構的振動特性，影響程度取決與預應力大小、分析頻段；對加筋板結構而言還取決與筋的布置形式及預應力方向。設備安裝引起的預應力對剛性臺架上的淡水泵基座導納的影響較為明顯，尤其是跨點導納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很小；設備安裝對實艇浮筏基座導納的影響很小，可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。設備安裝對基座導納影響的大小主要取決與基座剛度和預加載荷大小，對加強結構如加強筋、肘板較多的基座預加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設備安裝對剛性臺架上的基座導納的影響可以根據實際情況確定，當預應力的數量級與基座的臨界壓力數量級相同或接近時就要考慮設備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。

參考文獻

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[5] 姜勁楓，王柏生.預應力梁、板彎曲振動固有頻率的研究[J].工程力學， 1996（A2）：439-443.

[6] Matsunaga H.Free vibration and stability of thick elastic plates subjected to in-plane forces[Jl. International journal of solid and structure，1994，31（22）：3113-3124.

[7] Werner S.vibration of shells and plates[M].New York：Marcel Dekker Inc，2005.endprint

首先對裸基座和設備安裝條件兩種情況進行模態分析，見表6。結果表明基座低階模態主要表現為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預加載荷對模態的影響很小。

進一步計算點b原點導納和點b到點f的跨點導納，見圖11。

由圖11中可知設備安裝對實艇基座的導納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結構，如肘板、環肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現為整體模態，預應力對高階模態的影響又很小，因此在實艇測量基座導納時可以不考慮設備安裝帶來的預加載荷對其造成的影響。

7 結語

該文研究表明預應力會影響梁板結構的振動特性，影響程度取決與預應力大小、分析頻段；對加筋板結構而言還取決與筋的布置形式及預應力方向。設備安裝引起的預應力對剛性臺架上的淡水泵基座導納的影響較為明顯，尤其是跨點導納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很小；設備安裝對實艇浮筏基座導納的影響很小，可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。設備安裝對基座導納影響的大小主要取決與基座剛度和預加載荷大小，對加強結構如加強筋、肘板較多的基座預加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設備安裝對剛性臺架上的基座導納的影響可以根據實際情況確定，當預應力的數量級與基座的臨界壓力數量級相同或接近時就要考慮設備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。

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首先對裸基座和設備安裝條件兩種情況進行模態分析，見表6。結果表明基座低階模態主要表現為殼體的整體振動，垂直作用于基座板平面的預加載荷對模態的影響很小。

進一步計算點b原點導納和點b到點f的跨點導納，見圖11。

由圖11中可知設備安裝對實艇基座的導納特性基本沒有影響。在工程實際中基座和艦艇均有不同形式的加強結構，如肘板、環肋等，并且安裝與實艇的基座在中低頻主要表現為整體模態，預應力對高階模態的影響又很小，因此在實艇測量基座導納時可以不考慮設備安裝帶來的預加載荷對其造成的影響。

7 結語

該文研究表明預應力會影響梁板結構的振動特性，影響程度取決與預應力大小、分析頻段；對加筋板結構而言還取決與筋的布置形式及預應力方向。設備安裝引起的預應力對剛性臺架上的淡水泵基座導納的影響較為明顯，尤其是跨點導納，影響頻段集中在峰值頻率附近，其余頻段影響很小；設備安裝對實艇浮筏基座導納的影響很小，可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。設備安裝對基座導納影響的大小主要取決與基座剛度和預加載荷大小，對加強結構如加強筋、肘板較多的基座預加載荷對其振動特性的影響會降低，因此在工程實際中是否需要考慮設備安裝對剛性臺架上的基座導納的影響可以根據實際情況確定，當預應力的數量級與基座的臨界壓力數量級相同或接近時就要考慮設備安裝的影響，否則亦可以用裸基座導納代替設備安裝條件下的基座導納。

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