變式，凸顯數學本質

朱玉如

皮亞杰的認知發生論表明，處于具體運算階段（7-11歲）的兒童，思維帶有很大的具體形象性，他們缺乏抽象思維，理解概念在很大程度上離不開具體事物的直觀支撐。他們對具體事物感受到一定的數量，感受到一定的程度，抽象思維就悄悄開始了。但是，他們對具體事物的感受不是多多益善的，學習素材的性質和提供學習素材的策略會對兒童的學習產生重要的影響。變式是指變換肯定例證的非本質屬性，變更觀察事物的角度與方法，在事物的不同表現形式和不同情境中，突出事物的本質特征和本質要素，讓學生在變式中思辨，剔除非本質屬性，聚焦本質特征。變式按其教學組織形式的不同可分為概念性變式、過程性變式和反例性變式（非概念變式）三類。

1.運用概念性變式，幫助學生初步理解概念。

概念性變式，就是在概念由具體到抽象過渡的過程中，不僅提供肯定例證的一般形式，而且提供變更非本質特征的變式，幫助學生從多個角度感受事物的本質特征，摒棄非本質特征，理解概念。例如：教學“軸對稱圖形”，把一張長方形紙對折，通過觀察和簡短的討論，使學生初步理解對折后能完全重合的圖形是軸對稱圖形。接著——

師（出示）：下列圖形是不是軸對稱圖形？

■

① ② ③ ④

（學生一一判斷，都是軸對稱圖形。）

師：這些圖形的形狀各不相同，為什么都是軸對稱圖形？

生：因為它們對折后都能完全重合。

師：是的，不管是什么樣的圖形，只要對折后能完全重合，就是軸對稱圖形。

2.運用過程性變式，使學生逐步理解概念的本質。

心理學研究表明，兒童對概念的學習是一個有層次的數學活動過程，這種層次性可以表現為一系列的認知臺階。過程性變式，就是在概念學習的過程中，通過變式例證有層次地推進，使學生積累認知經驗，逐步理解概念的本質。例如：教學“三角形的高”，教師先提供了三角形的高的標準圖形，告訴學生：從三角形的頂點到對邊垂直的線段，叫做三角形的高。但考慮到“標準圖形的強烈刺激往往容易使其相應的非本質特征也得到強化”，而易把“水平線垂直”也作為概念的本質特征。所以，教師接著變換概念的非本質特征，呈現變式圖形，讓學生認識到不管線段如何垂直或其位置、方向如何，只要是從三角形的一個頂點到對邊垂直的線段就是三角形的高。后來，教師又意識到學生對三角形的高的認識還只局限在三角形內部，理解還是見一知一的，因此，教師又要求學生畫出鈍角三角形ABC中AB邊上的高。當學生探索著畫出AB邊上的高CD后（如上圖），發現這條“垂直的線段”雖在三角形外部，但它仍是從C點到對邊AB的垂線，是三角形AB邊上的高。通過這樣有層次的變式圖形的推進，學生終于認識到無論三角形是什么形狀、位置如何、方向怎樣，只要是從三角形的頂點到對邊垂直的線段就是三角形的高。

3.運用反例性變式，使學生更準確地理解概念的本質。

反例性變式，就是變換事物肯定例證的本質屬性，使它質變為他事物，提供有利于辨別的信息，讓學生在對比思辨中從反面逆射、反思、突出事物的本質屬性。運用反例性變式要注意時機，一般在正確的知識形成以后與概念性變式結合運用，例如：教學“認識方程”，通過用天平稱水杯的重量，有層次地揭示物體的重量與未知重量之間的相等關系，使學生初步理解方程的意義——含有未知數的等式。接著，教師讓學生判斷：①5x+32=47②x-14>7③2y+24④35+65=100⑤6（a+2）=42哪些是方程？為什么？學生在表示②③④式不是方程并說明理由的過程中，便逆射、反思、突出了方程是含有未知數的等式的意義。有時，根據教學的需要，反例也可在開始學習新知時和“正例”一并提供，歸謬激正，突出概念的本質特征。

變式沒有太多的理論訴求，它與巴班斯基的“教學過程最優化”理論無關，與維果茨基的“最近發展區”理論無涉，一題多解、一題多變更不是變式。運用變式只是一種提供形成概念所需具體材料的策略，一種有利于凸顯數學本質的有效策略?！?/p>

（作者單位：江蘇省南通市實驗小學）