誤差理論簡(jiǎn)史

尹霖+張金鳳+趙云飛+范海英

摘 要：誤差理論是測(cè)量不確定評(píng)定和一切實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關(guān)鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類(lèi)號(hào)：P2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開(kāi)始，人們?cè)陂L(zhǎng)期的觀測(cè)中很早就意識(shí)到測(cè)量不可避免會(huì)產(chǎn)生誤差；而由于真值=測(cè)量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認(rèn)識(shí)自然使得人們開(kāi)始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會(huì)發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實(shí)是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學(xué)及實(shí)驗(yàn)科學(xué)的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時(shí)，討論了這個(gè)問(wèn)題： “薩：……首先我問(wèn)你，天文學(xué)家們用他們的儀器觀測(cè)并測(cè)算諸如新星在地平線(xiàn)上的仰角時(shí)，是否會(huì)測(cè)算得過(guò)頭一點(diǎn)，或測(cè)算得不夠一點(diǎn)；這就是說(shuō)，有時(shí)候把角度推算得比正確的角度高些，有時(shí)候低些？還是推算的錯(cuò)誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過(guò)頭了一點(diǎn)；或者總是不夠，而永遠(yuǎn)不會(huì)過(guò)頭？辛：毫無(wú)疑問(wèn)，過(guò)與不及的兩種傾向都同樣地存在。”“薩：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測(cè)算上的誤差決不能從計(jì)算結(jié)果上來(lái)決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實(shí)際測(cè)量出的度和分的數(shù)目來(lái)定……”雖然伽利略當(dāng)時(shí)并沒(méi)有明確提出“隨機(jī)”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實(shí)際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機(jī)誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測(cè)值都可以有誤差，其來(lái)源可歸因于觀測(cè)者、儀器工具以及觀測(cè)條件；觀測(cè)誤差對(duì)稱(chēng)地分布在0的兩側(cè)；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對(duì)早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)的另一個(gè)人是英國(guó)數(shù)學(xué)家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫(xiě)的一封信《在應(yīng)用天文學(xué)中取若干個(gè)觀測(cè)值的平均的好處》中提出。在信里，他構(gòu)造了一個(gè)離散的誤差分布：假定在一次測(cè)量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個(gè)值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測(cè)量的誤差（絕對(duì)值）不超過(guò)1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過(guò)2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見(jiàn)，他又計(jì)算出6次測(cè)量的平均值的誤差（即6個(gè)誤差的平均）不超過(guò)1的概率是0.725，不超過(guò)2的是0.967——易見(jiàn)平均值的估計(jì)優(yōu)于單個(gè)值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學(xué)上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點(diǎn)是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個(gè)將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來(lái)的人——后面可以看到這一點(diǎn)的意義十分重大，因?yàn)檎麄€(gè)誤差理論就是建立在概率論基礎(chǔ)上的。

誤差理論發(fā)展的下一個(gè)階段就是隨機(jī)誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》一書(shū)，在此書(shū)末尾他寫(xiě)了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題（data combination），即：當(dāng)對(duì)同一目標(biāo)的若干次觀測(cè)結(jié)果不同時(shí)，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)觀測(cè)目標(biāo)的真值進(jìn)行估計(jì)？（雖然人們一直采取算術(shù)平均值的方法來(lái)處理這一問(wèn)題，但并無(wú)理論根據(jù)——辛普森對(duì)此進(jìn)行了嘗試，但他所構(gòu)造的誤差分布是錯(cuò)誤的）最終，高斯在書(shū)中介紹了他用來(lái)預(yù)測(cè)行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時(shí)以出人意料的方法找到了隨機(jī)誤差的分布——正態(tài)分布。

設(shè)隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值為 ，真值為 ，則對(duì)應(yīng)的 個(gè)隨機(jī)誤差為 。由于觀測(cè)是相互獨(dú)立的，因而這些誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率為 ，對(duì)真值 的最佳估計(jì)應(yīng)使L極大（極大似然估計(jì)——由高斯首先提出，1912年被英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認(rèn)為算數(shù)平均值 就是最佳估計(jì)——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達(dá)式。

雖然正態(tài)分布的表達(dá)式最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機(jī)誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過(guò)后來(lái)凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認(rèn)識(shí)和正態(tài)分布的應(yīng)用廣泛滲透到了社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和遺傳學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，故我們?cè)谟懻搶?duì)與正態(tài)分布的貢獻(xiàn)時(shí)更多的將其歸因于高斯，并稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布，有人認(rèn)為整個(gè)19世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)就是正態(tài)分布應(yīng)用的擴(kuò)展。

誤差理論發(fā)展的第四個(gè)階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機(jī)誤差正態(tài)分布的理論基礎(chǔ)。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達(dá)式的法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項(xiàng)分布的極限情況時(shí)首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達(dá)式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來(lái)另外一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎(chǔ)的中心極限定理則是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，記 ，如果 滿(mǎn)足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機(jī)變量是由大量獨(dú)立的隨機(jī)變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個(gè)隨機(jī)因素對(duì)總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的總和所形成的隨機(jī)變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機(jī)）誤差實(shí)際上是測(cè)量各要素的不完美所引起的各（隨機(jī)）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、視角、光線(xiàn)明暗、讀數(shù)時(shí)的判斷等等很多因素引起的各個(gè)隨機(jī)誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機(jī)誤差（ ）滿(mǎn)足正態(tài)分布！中心極限定理被稱(chēng)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因?yàn)樗葟恼娼忉尯妥C明了為什么隨機(jī)誤差滿(mǎn)足正態(tài)分布，同時(shí)也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿(mǎn)足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導(dǎo)。

誤差理論發(fā)展的最后一個(gè)階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎(chǔ)上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颍ˋndrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標(biāo)志的。因?yàn)楝F(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機(jī)誤差所滿(mǎn)足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿(mǎn)足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎(chǔ)正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機(jī)變量——通過(guò)研究隨機(jī)變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來(lái)研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測(cè)誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計(jì)與信息論壇.2006.11endprint

摘 要：誤差理論是測(cè)量不確定評(píng)定和一切實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關(guān)鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類(lèi)號(hào)：P2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開(kāi)始，人們?cè)陂L(zhǎng)期的觀測(cè)中很早就意識(shí)到測(cè)量不可避免會(huì)產(chǎn)生誤差；而由于真值=測(cè)量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認(rèn)識(shí)自然使得人們開(kāi)始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會(huì)發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實(shí)是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學(xué)及實(shí)驗(yàn)科學(xué)的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時(shí)，討論了這個(gè)問(wèn)題： “薩：……首先我問(wèn)你，天文學(xué)家們用他們的儀器觀測(cè)并測(cè)算諸如新星在地平線(xiàn)上的仰角時(shí)，是否會(huì)測(cè)算得過(guò)頭一點(diǎn)，或測(cè)算得不夠一點(diǎn)；這就是說(shuō)，有時(shí)候把角度推算得比正確的角度高些，有時(shí)候低些？還是推算的錯(cuò)誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過(guò)頭了一點(diǎn)；或者總是不夠，而永遠(yuǎn)不會(huì)過(guò)頭？辛：毫無(wú)疑問(wèn)，過(guò)與不及的兩種傾向都同樣地存在。”“薩：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測(cè)算上的誤差決不能從計(jì)算結(jié)果上來(lái)決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實(shí)際測(cè)量出的度和分的數(shù)目來(lái)定……”雖然伽利略當(dāng)時(shí)并沒(méi)有明確提出“隨機(jī)”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實(shí)際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機(jī)誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測(cè)值都可以有誤差，其來(lái)源可歸因于觀測(cè)者、儀器工具以及觀測(cè)條件；觀測(cè)誤差對(duì)稱(chēng)地分布在0的兩側(cè)；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對(duì)早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)的另一個(gè)人是英國(guó)數(shù)學(xué)家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫(xiě)的一封信《在應(yīng)用天文學(xué)中取若干個(gè)觀測(cè)值的平均的好處》中提出。在信里，他構(gòu)造了一個(gè)離散的誤差分布：假定在一次測(cè)量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個(gè)值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測(cè)量的誤差（絕對(duì)值）不超過(guò)1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過(guò)2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見(jiàn)，他又計(jì)算出6次測(cè)量的平均值的誤差（即6個(gè)誤差的平均）不超過(guò)1的概率是0.725，不超過(guò)2的是0.967——易見(jiàn)平均值的估計(jì)優(yōu)于單個(gè)值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學(xué)上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點(diǎn)是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個(gè)將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來(lái)的人——后面可以看到這一點(diǎn)的意義十分重大，因?yàn)檎麄€(gè)誤差理論就是建立在概率論基礎(chǔ)上的。

誤差理論發(fā)展的下一個(gè)階段就是隨機(jī)誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》一書(shū)，在此書(shū)末尾他寫(xiě)了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題（data combination），即：當(dāng)對(duì)同一目標(biāo)的若干次觀測(cè)結(jié)果不同時(shí)，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)觀測(cè)目標(biāo)的真值進(jìn)行估計(jì)？（雖然人們一直采取算術(shù)平均值的方法來(lái)處理這一問(wèn)題，但并無(wú)理論根據(jù)——辛普森對(duì)此進(jìn)行了嘗試，但他所構(gòu)造的誤差分布是錯(cuò)誤的）最終，高斯在書(shū)中介紹了他用來(lái)預(yù)測(cè)行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時(shí)以出人意料的方法找到了隨機(jī)誤差的分布——正態(tài)分布。

設(shè)隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值為 ，真值為 ，則對(duì)應(yīng)的 個(gè)隨機(jī)誤差為 。由于觀測(cè)是相互獨(dú)立的，因而這些誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率為 ，對(duì)真值 的最佳估計(jì)應(yīng)使L極大（極大似然估計(jì)——由高斯首先提出，1912年被英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認(rèn)為算數(shù)平均值 就是最佳估計(jì)——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達(dá)式。

雖然正態(tài)分布的表達(dá)式最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機(jī)誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過(guò)后來(lái)凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認(rèn)識(shí)和正態(tài)分布的應(yīng)用廣泛滲透到了社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和遺傳學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，故我們?cè)谟懻搶?duì)與正態(tài)分布的貢獻(xiàn)時(shí)更多的將其歸因于高斯，并稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布，有人認(rèn)為整個(gè)19世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)就是正態(tài)分布應(yīng)用的擴(kuò)展。

誤差理論發(fā)展的第四個(gè)階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機(jī)誤差正態(tài)分布的理論基礎(chǔ)。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達(dá)式的法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項(xiàng)分布的極限情況時(shí)首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達(dá)式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來(lái)另外一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎(chǔ)的中心極限定理則是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，記 ，如果 滿(mǎn)足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機(jī)變量是由大量獨(dú)立的隨機(jī)變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個(gè)隨機(jī)因素對(duì)總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的總和所形成的隨機(jī)變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機(jī)）誤差實(shí)際上是測(cè)量各要素的不完美所引起的各（隨機(jī)）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、視角、光線(xiàn)明暗、讀數(shù)時(shí)的判斷等等很多因素引起的各個(gè)隨機(jī)誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機(jī)誤差（ ）滿(mǎn)足正態(tài)分布！中心極限定理被稱(chēng)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因?yàn)樗葟恼娼忉尯妥C明了為什么隨機(jī)誤差滿(mǎn)足正態(tài)分布，同時(shí)也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿(mǎn)足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導(dǎo)。

誤差理論發(fā)展的最后一個(gè)階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎(chǔ)上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颍ˋndrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標(biāo)志的。因?yàn)楝F(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機(jī)誤差所滿(mǎn)足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿(mǎn)足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎(chǔ)正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機(jī)變量——通過(guò)研究隨機(jī)變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來(lái)研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測(cè)誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計(jì)與信息論壇.2006.11endprint

摘 要：誤差理論是測(cè)量不確定評(píng)定和一切實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關(guān)鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類(lèi)號(hào)：P2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開(kāi)始，人們?cè)陂L(zhǎng)期的觀測(cè)中很早就意識(shí)到測(cè)量不可避免會(huì)產(chǎn)生誤差；而由于真值=測(cè)量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認(rèn)識(shí)自然使得人們開(kāi)始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會(huì)發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實(shí)是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學(xué)及實(shí)驗(yàn)科學(xué)的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時(shí)，討論了這個(gè)問(wèn)題： “薩：……首先我問(wèn)你，天文學(xué)家們用他們的儀器觀測(cè)并測(cè)算諸如新星在地平線(xiàn)上的仰角時(shí)，是否會(huì)測(cè)算得過(guò)頭一點(diǎn)，或測(cè)算得不夠一點(diǎn)；這就是說(shuō)，有時(shí)候把角度推算得比正確的角度高些，有時(shí)候低些？還是推算的錯(cuò)誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過(guò)頭了一點(diǎn)；或者總是不夠，而永遠(yuǎn)不會(huì)過(guò)頭？辛：毫無(wú)疑問(wèn)，過(guò)與不及的兩種傾向都同樣地存在。”“薩：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測(cè)算上的誤差決不能從計(jì)算結(jié)果上來(lái)決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實(shí)際測(cè)量出的度和分的數(shù)目來(lái)定……”雖然伽利略當(dāng)時(shí)并沒(méi)有明確提出“隨機(jī)”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實(shí)際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機(jī)誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測(cè)值都可以有誤差，其來(lái)源可歸因于觀測(cè)者、儀器工具以及觀測(cè)條件；觀測(cè)誤差對(duì)稱(chēng)地分布在0的兩側(cè)；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對(duì)早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)的另一個(gè)人是英國(guó)數(shù)學(xué)家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫(xiě)的一封信《在應(yīng)用天文學(xué)中取若干個(gè)觀測(cè)值的平均的好處》中提出。在信里，他構(gòu)造了一個(gè)離散的誤差分布：假定在一次測(cè)量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個(gè)值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測(cè)量的誤差（絕對(duì)值）不超過(guò)1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過(guò)2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見(jiàn)，他又計(jì)算出6次測(cè)量的平均值的誤差（即6個(gè)誤差的平均）不超過(guò)1的概率是0.725，不超過(guò)2的是0.967——易見(jiàn)平均值的估計(jì)優(yōu)于單個(gè)值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學(xué)上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點(diǎn)是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個(gè)將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來(lái)的人——后面可以看到這一點(diǎn)的意義十分重大，因?yàn)檎麄€(gè)誤差理論就是建立在概率論基礎(chǔ)上的。

誤差理論發(fā)展的下一個(gè)階段就是隨機(jī)誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運(yùn)動(dòng)的理論》一書(shū)，在此書(shū)末尾他寫(xiě)了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題（data combination），即：當(dāng)對(duì)同一目標(biāo)的若干次觀測(cè)結(jié)果不同時(shí)，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)觀測(cè)目標(biāo)的真值進(jìn)行估計(jì)？（雖然人們一直采取算術(shù)平均值的方法來(lái)處理這一問(wèn)題，但并無(wú)理論根據(jù)——辛普森對(duì)此進(jìn)行了嘗試，但他所構(gòu)造的誤差分布是錯(cuò)誤的）最終，高斯在書(shū)中介紹了他用來(lái)預(yù)測(cè)行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時(shí)以出人意料的方法找到了隨機(jī)誤差的分布——正態(tài)分布。

設(shè)隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值為 ，真值為 ，則對(duì)應(yīng)的 個(gè)隨機(jī)誤差為 。由于觀測(cè)是相互獨(dú)立的，因而這些誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率為 ，對(duì)真值 的最佳估計(jì)應(yīng)使L極大（極大似然估計(jì)——由高斯首先提出，1912年被英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認(rèn)為算數(shù)平均值 就是最佳估計(jì)——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達(dá)式。

雖然正態(tài)分布的表達(dá)式最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機(jī)誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過(guò)后來(lái)凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認(rèn)識(shí)和正態(tài)分布的應(yīng)用廣泛滲透到了社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和遺傳學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，故我們?cè)谟懻搶?duì)與正態(tài)分布的貢獻(xiàn)時(shí)更多的將其歸因于高斯，并稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布，有人認(rèn)為整個(gè)19世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)就是正態(tài)分布應(yīng)用的擴(kuò)展。

誤差理論發(fā)展的第四個(gè)階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機(jī)誤差正態(tài)分布的理論基礎(chǔ)。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達(dá)式的法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項(xiàng)分布的極限情況時(shí)首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達(dá)式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來(lái)另外一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎(chǔ)的中心極限定理則是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，記 ，如果 滿(mǎn)足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機(jī)變量是由大量獨(dú)立的隨機(jī)變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個(gè)隨機(jī)因素對(duì)總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的總和所形成的隨機(jī)變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機(jī)）誤差實(shí)際上是測(cè)量各要素的不完美所引起的各（隨機(jī)）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機(jī)誤差（ ）、視角、光線(xiàn)明暗、讀數(shù)時(shí)的判斷等等很多因素引起的各個(gè)隨機(jī)誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機(jī)誤差（ ）滿(mǎn)足正態(tài)分布！中心極限定理被稱(chēng)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因?yàn)樗葟恼娼忉尯妥C明了為什么隨機(jī)誤差滿(mǎn)足正態(tài)分布，同時(shí)也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿(mǎn)足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導(dǎo)。

誤差理論發(fā)展的最后一個(gè)階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎(chǔ)上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颍ˋndrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標(biāo)志的。因?yàn)楝F(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機(jī)誤差所滿(mǎn)足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿(mǎn)足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎(chǔ)正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機(jī)變量——通過(guò)研究隨機(jī)變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來(lái)研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 《關(guān)于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對(duì)話(huà)》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測(cè)誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計(jì)與信息論壇.2006.11endprint