用初等變換法判斷實二次型的類型

段桂花

摘要：利用初等變換法，將實二次型的矩陣化為對角矩陣，即得到實二次型的一個標準形，從而就可以判斷實二次型的類型。

關鍵詞：初等變換法；正定；實二次型；實對稱矩陣

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個重點。對于具體的實二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對于抽象的實二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計算量大，且不容易計算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

1初等合同變換的定義及結論

1、定義1 對于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實對稱矩陣經過初等合同變換后仍然是實對稱矩陣，且任意實對稱矩陣都可以經過若干次初等合同變換化為對角矩陣。

2、定理：設矩陣 是實二次型 的矩陣，若矩陣 經過一些初等合同變換化為對角矩陣 ，則

（1）當 時，該實二次型為正定二次型；

（2）當 時，該實二次型為負定二次型；

（3）當 時，該實二次型為半正定二次型；

（4）當 時，該實二次型為半負定二次型；

（5）當 中有正數也有負數時，該實二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實二次型類型的應用

例1、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例2、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例3、判斷實二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實二次型的類型比較簡單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

參考文獻

[1]高等代數.張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數-導教、導學、導考.徐仲等編.西安：西北工業大學出版社，2004.3.

[4]高等代數輔導與習題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等變換法，將實二次型的矩陣化為對角矩陣，即得到實二次型的一個標準形，從而就可以判斷實二次型的類型。

關鍵詞：初等變換法；正定；實二次型；實對稱矩陣

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個重點。對于具體的實二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對于抽象的實二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計算量大，且不容易計算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

1初等合同變換的定義及結論

1、定義1 對于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實對稱矩陣經過初等合同變換后仍然是實對稱矩陣，且任意實對稱矩陣都可以經過若干次初等合同變換化為對角矩陣。

2、定理：設矩陣 是實二次型 的矩陣，若矩陣 經過一些初等合同變換化為對角矩陣 ，則

（1）當 時，該實二次型為正定二次型；

（2）當 時，該實二次型為負定二次型；

（3）當 時，該實二次型為半正定二次型；

（4）當 時，該實二次型為半負定二次型；

（5）當 中有正數也有負數時，該實二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實二次型類型的應用

例1、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例2、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例3、判斷實二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實二次型的類型比較簡單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

參考文獻

[1]高等代數.張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數-導教、導學、導考.徐仲等編.西安：西北工業大學出版社，2004.3.

[4]高等代數輔導與習題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學出版社，2004.3.endprint

摘要：利用初等變換法，將實二次型的矩陣化為對角矩陣，即得到實二次型的一個標準形，從而就可以判斷實二次型的類型。

關鍵詞：初等變換法；正定；實二次型；實對稱矩陣

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號1672-3791（2014）02（b）-0000-00

正定二次型與正定矩陣的判定與證明是二次型的一個重點。對于具體的實二次型，一般采用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對于抽象的實二次型，往往采用定義及特征值法等判定其正定性。但以上方法計算量大，且不容易計算。本文介紹一種新的方法——初等變換法來判斷實二次型的類型。該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

1初等合同變換的定義及結論

1、定義1 對于矩陣 ，稱以下三種初等變換為 的初等合同變換：

（1）、交換 的第 行與第 行的位置得 ，緊接著交換 的第 列與第 列的位置；

（2）、 的第 行乘以非零數 得 ，緊接著 的第 列乘以非零數 ；

（3）、 的第 行的 倍加到第 行得 ，緊接著 的第 列的 倍加到第 列上；

由定義知，任意的實對稱矩陣經過初等合同變換后仍然是實對稱矩陣，且任意實對稱矩陣都可以經過若干次初等合同變換化為對角矩陣。

2、定理：設矩陣 是實二次型 的矩陣，若矩陣 經過一些初等合同變換化為對角矩陣 ，則

（1）當 時，該實二次型為正定二次型；

（2）當 時，該實二次型為負定二次型；

（3）當 時，該實二次型為半正定二次型；

（4）當 時，該實二次型為半負定二次型；

（5）當 中有正數也有負數時，該實二次型為不定二次型。

2用初等變換法判斷實二次型類型的應用

例1、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例2、判斷實二次型 的類型。

解：

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為不定二次型。

例3、判斷實二次型 的類型化。

解：該二次型的矩陣為

將該二次型的矩陣A 進行初等合同變換：

于是該二次型的一個標準形對應的對角矩陣的主對角線上的元素 由上面的定理知，該實二次型為正定二次型。

總之，用初等合同變換法判斷實二次型的類型比較簡單，該方法只涉及矩陣的初等變換，所以步驟單一、運算量小、易于掌握，最有效、最實用。

參考文獻

[1]高等代數.張禾瑞，郝鈵新編，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6

[2]高等代數，北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.

[3]高等代數-導教、導學、導考.徐仲等編.西安：西北工業大學出版社，2004.3.

[4]高等代數輔導與習題解答.黃光谷等編.武漢：華中科技大學出版社，2004.3.endprint