一種基于錐優化的DG優化配置快速計算方法

趙金利 于瑩瑩 李 鵬 孫充勃 張 楠 郭小龍 張 飛

（1. 天津大學智能電網教育部重點實驗室 天津 300072 2. 廣東電網公司 廣州 510000）

1 引言

在能源需求與環境保護的雙重壓力下，學術界和工業界已將更多希望寄托于分布式發電相關的研究與解決方案[1]。隨著相關政策的推出、實施以及技術水平的不斷進步，分布式發電技術目前已得到廣泛應用。然而，分布式電源類型豐富、形式多樣（如風力發電、光伏發電、燃料電池、微型燃氣輪機和內燃機等[2-4]），且其運行特性依據其結構組成、控制模式和技術特點而不同。因此，分布式電源的并網運行對配電系統的安全性、供電可靠性、經濟性及電能質量等具有重要影響，而這與分布式電源的接入位置和容量配置緊密相關[4,5]。因此，對分布式電源進行合理的規劃，不僅能充分發揮分布式電源的作用和經濟效益，還可有效減少分布式電源接入所帶來的問題和風險。

分布式電源優化配置問題是指在滿足給定的投資及系統運行等約束條件下，對DG的選址和容量進行優化，使其效益最大化。國內外學者從不同角度對DG優化配置問題的計算模型和求解方法進行了研究。文獻[6]利用電壓靈敏度方法選擇DG接入位置，提出一種DG優化配置方法來提高電壓穩定域，并考慮了負荷和DG的隨機特性。文獻[7]以系統無功損耗最小為目標，采用粒子群算法對DG進行優化配置來增強系統的帶載能力，提高系統電壓穩定性。文獻[8]利用蒙特卡羅法考慮負荷和DG的隨機特性，力圖實現DG接入給供電公司和客戶帶來的效益最大化。

DG優化問題求解的速度和準確度是目前的研究重點之一。求解算法分為數學微分優化技術[6]、啟發式算法[10]、人工智能優化方法[12]等。數學微分優化技術一般僅能實現單個分布式電源的優化配置，啟發式算法及人工智能優化方法需調用大量潮流結果來驗證DG配置方案的合理性[10-14]，尤其當配電網規模較大時，其計算壓力將更為突出，并且解的最優性往往取決于初始點和控制參數的選擇。為此，本文選取錐優化方法來求解DG優化配置問題。該方法可實現優化問題和潮流計算問題的統一求解，大大提高了計算速度，且利用嚴格的數學理論進行建模，保證了解的最優性。

本文首先從分布式電源優化配置的基本模型出發，考慮了配電系統自身的運行要求和分布式電源的接入限制等約束。然后，以錐優化的標準形式為指導，通過變量替換和形式變換實現了優化配置模型向錐約束的轉化，建立了分布式電源優化定容的錐優化模型。最后，在IEEE 33節點算例上，分別針對不同的DG接入情況，對錐優化模型轉化方法的正確性和計算效率進行測試，并與模式搜索法（Pattern Search，PS）和模擬退火法（Simulated Annealing，SA）進行比較，同時對優化結果進行分析。

2 分布式電源優化定容問題

本文基于現有的DG優化配置模型[6-14,18-21]，從配電系統經濟運行的角度出發，建立相應的數學模型。

2.1 目標函數

分布式電源優化配置問題通常根據不同的應用背景選取相應的目標函數，如系統有功損耗最小[9]、系統無功損耗最小[7]、提高電壓穩定裕度[6]、環境效益最大等[4]，由于網絡損耗的改善情況能有效反應DG安裝前后的節能效益和能源利用率，可更好的與電力系統運行的經濟性聯系起來，因此本文選取系統有功損耗最小化為目標函數，可表示為

式中，n為系統節點數；Pi為節點i處注入的有功功率之和，可用式（2）表示。

2.2 約束條件

約束條件包括系統潮流約束、運行電壓水平約束、支路電流限制、DG容量約束、滲透率約束、DG無功出力限制及功率因數限制[6-14,18-21]，具體公式如下。

系統潮流約束

運行電壓水平約束

支路電流限制

式中，N(i)為節點i的相鄰節點的集合；Vi、Vj、θij分別為節點 i、j的電壓幅值和相角差；Gii、Bii、Gij、Bij分別為節點導納矩陣中的自電導、自電納、互電導和互電納；PDGi、PLDi分別為節點i上分布式電源注入的有功功率、負荷注入的有功功率；Qi為節點i處注入的無功功率之和；QDGi、QLDi分別為節點 i上分布式電源注入的無功功率、負荷注入的無功功率；Vmax、Vmin分別為系統i電壓幅值的上、下限；Iij為支路ij的電流幅值；Iijmax為支路ij的電流幅值上限；SDGimax為節點 i處分布式電源接入容量的上限；λ為滲透率水平系數；SLD為系統總負荷；pfDGi為節點 i處分布式電源的功率因數；pfmax、pfmin分別為系統中各分布式電源功率因數的上、下限。

式（1）～式（9）構成了以分布式電源出力PDGi、QDGi為決策變量的DG優化定容問題的基本模型。

3 錐優化算法的應用

錐優化是線性優化的一種推廣[15]，因凸錐所具有的優美的幾何結構和特殊的處理方式，使其不僅能在有效時間內實現問題的求解，還能保證所求解的最優性。在電力系統領域中，錐優化已成功應用于傳統配網重構[16]及系統運行狀態[17]的求解等。

在傳統DG優化配置求解方法中，數學微分優化技術的計算量較小，但一般僅能實現單個DG的優化配置。啟發式算法和人工智能算法主要通過調用潮流結果來反復修正DG的接入容量，往往需要足夠多的計算次數才能尋得較好的解[10]。與之相比，錐優化算法在求解DG優化配置問題時，能夠同時滿足快速收斂和最優求解的要求。

3.1 錐優化的標準形式

錐優化是線性空間中凸錐上的數學規劃，它是線性規劃與非線性規劃的推廣。錐優化問題可描述為在有限個非空尖凸錐的笛卡爾乘積與仿射子空間的交集上求一個線性目標函數最小的問題，即在非空尖凸錐導入偏序下，線性等式、線性不等式約束條件下的線性目標函數的問題，其標準形式如下

min{cTx|Ax=b, x≥K0} （10）

式中，K為有限個非空尖凸錐的笛卡爾乘積，一般用旋轉錐表示，如式（12）；x為n維決策變量。

錐優化方法對優化問題的數學模型有嚴格要求，錐優化的目標函數必須是決策變量x的線性函數，且其可行域由線性等式/不等式約束和非線性二階錐或旋轉錐不等式約束構成，第一項 Ax=b表示線性約束，第二項x≥K0表示非線性約束。

3.2 錐模型的轉化

3.2.1 基本約束條件的錐轉化

上述分布式電源優化定容模型屬于非線性規劃，應用錐優化算法進行求解時，需根據錐優化的標準形式對模型做相應的變換處理，使之滿足對于線性目標函數和凸錐搜索空間的要求。首先，根據式（2）的數學描述，通過變量替換的方式實現目標函數（1）的線性化，即利用 Xi、Yij、Zij將優化定容模型中 Vi、Vj、θij乘積的非線性形式進行變量替換[16]

變量替換后，非線性目標函數（1）變換為如式（13）所示的線性形式。

與此同時，含 Vi、Vj、θij的約束條件（2）～（5）相應地變換為

由式（12）可發現，替換后的變量自然滿足式（18）的等式約束，式（13）～式（17）所形成的約束條件與原問題的等價。其中，式（13）滿足錐優化方法對目標函數的線性要求，式（14）～式（17）滿足線性約束條件的要求。式（18）剛好可使得電壓決策變量構成旋轉錐的笛卡爾乘積形式，滿足搜索空間在凸錐的范圍內。對此模型，在采用較成熟的求解工具進行求解時，需將式（18）修改為

這一處理雖擴大了解的搜索空間，但并不改變解的最優性。這一點可在后續的優化結果中得到驗證。

3.2.2 DG約束條件的錐轉化

基本約束條件的錐轉化方法[16]僅對系統運行約束中的電壓變量Vi、Vj和θij的線性變換進行闡述說明，而未涉及分布式電源自身運行約束的轉換。因此，本文還需對只含決策變量PDGi、QDGi的分布式電源約束條件進行錐轉化。

通過觀察可知，式（6）為非線性不等式約束，既不滿足錐優化模型對于線性約束的要求，也不滿足旋轉錐的約束形式。因此，本文提出分布式電源接入容量約束的錐轉換公式

式（20）不僅與式（6）等價，且剛好可使得決策變量PDGi、QDGi構成旋轉錐的笛卡爾乘積形式，滿足搜索空間在凸錐的范圍內。而式（7）～式（9）為線性等式/不等式約束，滿足錐優化算法中對線性約束條件的要求，無需進行轉化。

因此，式（7）～式（9）及式（12）～式（20）從經濟運行的角度出發，綜合考慮分布式電源無功輸 出 特 性 ， 構 成 了 以 Xi、Xj、 Yij、Zij、PDGi、QDGi為決策變量的分布式電源優化配置的錐優化模型。

4 分析與驗證

本文采用Mosek數學工具在IEEE 33節點算例上對上述錐優化模型轉換方法的有效性進行測試驗證，如下圖所示。首先，針對錐優化算法求解潮流的正確性進行驗證；然后，對不同 DG接入情況下的錐優化算法的尋優能力及收斂特性進行測試并與 PS、SA算法進行對比。最后，基于網損靈敏度方法[21]進行選址，分析了不同滲透率、不同功率因數下的DG配置方案對配電系統經濟運行的優化作用。

圖 IEEE 33配電系統結構圖Fig. The structure of IEEE 33 case

4.1 錐優化算法驗證

錐優化算法可在優化分布式電源容量的同時對系統的潮流狀態進行求解。為驗證錐優化算法求解潮流的正確性，采用美國電科院（EPRI）研發的配電網仿真平臺OpenDSS作為檢驗標準，將二者的潮流計算結果進行對比，具體數據詳見表1。

表1 錐優化算法與OpenDSS的潮流結果對比Tab.1 Comparison of power flow results between CP algorithm and OpenDSS

由表1可知，二者的電壓計算結果十分相近，最大偏差量為 0.000 93。可見，錐優化算法能夠精確地實現潮流求解，而潮流結果的一致性也驗證了將式（18）擴大為式（19）并未改變原問題的解。另外，與OpenDSS相比CP算法的電壓計算結果略低，這并非二者進行潮流計算的收斂精度不同，而是仿真工具內置的數值計算精度不同，在數據寫入讀出過程中小數位的取舍所致。所以，在計算需要各節點電壓、支路電流不斷加和的參量（如網損）時，二者的計算結果則會因為單個小偏差的逐漸累積體現為更大的偏差。

在優化搜索方面，錐優化算法通過對優化模型進行線性化處理，將決策變量的搜索空間限制為凸錐，以大幅度縮減尋優范圍來提高優化效率。為進一步驗證上述錐轉化模型的正確性及錐優化算法的高效性，將 CP與模式搜索法及模擬退火法進行比較（二者均采用OpenDSS計算潮流），隨機選取分布式電源的接入位置，針對不同的DG個數及滲透率水平分別對3種算法進行100次測試，統計結果詳見表2。

表2 錐優化算法收斂特性測試結果Tab.2 Comparison of convergence for the CP, PS and SA algorithm

表2所示測試結果表明，與模式搜索法及模擬退火法相比，錐優化算法大幅度提高了搜索過程的求解速度，并且在解的最優性上具有很強的穩定性。

首先，最優解概率統計結果顯示不同DG接入情況下，CP算法的全局尋優概率均為100%，PS、SA算法的尋優能力則隨決策變量的增多而有所降低，且 SA的不確定性尤為顯著，然而，二者目標函數的最優值和平均值相差甚小，可見此兩種算法雖然不能保證解的最優性，但其優化所得的次優解足以接近最優解。由此可知，錐優化算法通過對原優化問題的錐轉化，避免了SA、PS算法陷入局部極值的情況，能夠保證解的全局最優性。其次，計算時間統計結果顯示，CP算法的運行時間均在 1s以內，計算時間不隨決策變量的增多而急劇增長，而 PS、SA算法的計算時間則隨優化維數的升高而增長，其中 PS算法運行時間的增長更為突出。可見，對于大規模系統進行優化求解時，PS、SA的計算量問題將使其可實現性受到制約，與之相反，PC計算速度的高效性將更加明顯。最后，PS、SA算法的最優性、求解效率和收斂特性往往取決于初始可行解、控制量的選擇，應用前需根據大量測試經驗來設置相應參數，即一旦問題規模有所改變控制量就需重新選取，而CP算法則無此問題。因此，錐優化算法在計算速度、收斂特性及全局最優性上顯出極大優勢。需要注意，PS和SA的最優目標函數值雖小于錐優化方法，但這并非 CP算法未搜索到最優方案，而是由數學仿真工具內置數值計算精度所致，三者的最優結果實則是一致的。

綜上所述，將錐優化算法應用于分布式電源優化配置問題中，不僅能實現問題的快速、有效求解，還能保證所求解的最優性。

4.2 優化結果分析

根據目標函數值信息采用網損靈敏度分析法[21]進行選址，選取12、14、18、30、33為DG的接入節點，將不同DG接入滲透率水平、不同功率因數下的目標函數值進行對比，結果見表3。

表3 不同滲透率、不同功率因數下的系統有功損耗Tab.3 Comparison of loss under different scenarios

由表3所示的有功損耗對比結果可見，在保證系統安全可靠運行的前提下，分布式電源的降損作用隨滲透率的增大而愈加顯著。并且，相對于增加有功滲透率接入水平，通過調節分布式電源的無功出力對系統的降損效果更為顯著。因此，在DG優化定容問題上，應綜合考慮分布式電源的無功輸出特性，將無功出力同樣作為優化對象，在促進系統經濟高效運行的同時進一步發揮了 DG的潛在效益。另一方面，上述優化結果也一并驗證了通過錐優化方法所轉化的DG優化定容模型的合理性和有效性。

5 結論

隨著電力產業日臻朝著環境友好、可持續發展的方向邁進，加速綠色分布式能源的大規模并網應用將成為發展趨勢。分布式電源數量的急劇增加使其優化規劃問題的維數迅速擴大，因而計算量隨之呈現爆炸式增長。因此，快速、準確、高效的優化算法將是分布式電源優化配置的研究重點之一。為此，本文應用錐優化方法對分布式電源優化配置問題進行求解。與傳統的智能化算法相比，錐優化方法通過對模型的轉化和統一求解，既可實現多個分布式電源的同時優化，又可避免大量的迭代計算和繁瑣的測試，極大地提高了計算效率，并能保證解的全局最優性。由于其兼并快速收斂和最優求解的特性，錐優化方法也將為大規模配電網的綜合規劃優化、運行管理優化以及經濟環保效益優化等問題的求解提供一個強有力的支持工具。

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