自覺利用數形結合思維解決問題

江碧侑

摘 要：數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路。使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

關鍵詞：數形結合；化繁為簡；直觀

中圖分類號：G620 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）08-247-02

借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論.因此，數形結合不應僅僅作為一種解題方法.也是一種重要的數學思想方法，在解決實際問題中有著廣泛的應用。在小學數學中，它主要表現在把抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征去發現數量之間存在的聯系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。

一、利用“數形結合”，使復雜問題為簡單化

如果把抽象的數量關系與具體的圖形結合起來，挖掘和利用數量關系中的直觀成分，就能使問題化繁為簡，從而有效降低解決問題的難度，使問題順利得到解決。

例：1：超市的糖果搞促銷，買7贈1，有120個學生要買糖果，每人1顆，只需要買多少顆就可以了？

這是三年級上冊教材的一道思考題。對于三年級的學生來說，這道題的數量關系較為復雜。在教學時，我們可以充分應用數形結合思想，把數量關系用圖形表示出來。這樣，就會收到意想不到的效果。買7贈1，就是買7顆糖果可以免費得到1顆，把需要付費的7顆用△△△△△△△表示，把免費的用◎表示；再把8顆分為一組，用△△△△△△△◎表示。這時，可以看120里面有多少個8，120÷8=15，也就是可以分成15組。由圖可知，每組里有7顆是需要付費的，因此一共要買的顆數是：7×15=105（顆）。這樣，恰當運用圖形表示數量關系，不僅可以使數量關系化繁為易，而且使解決問題的方法更具有創造性。

例2：四年級的學生認識了三角形的內角和是l80。后有一個變式鞏固練習：一塊三角尺的內角和是l80°，用兩塊完全一樣的三角尺拼成一個三角形，這個三角形的內角和是多少度？

教材上處理得很簡單，只要認識到大三角形的內角和還是l80°，理解三角形的內角和與三角形的大小無關。但如果僅這樣做的話，“三角尺”在這里的意義就不會完全體現也使學生失去了對解決問題的相關條件進行探究的機會。因為這里，拼成的三角形研究的意義在邊的特征上，不僅在內角和上。

為了使教學活動變得富有挑戰性、思考性，成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，針對本題，筆者設計了以下“四做”的活動：

（一）“做”——用兩塊三角尺可以拼出三角形嗎？

（學生人手兩副相同的三角尺）

師：用兩塊三角尺可以拼出三角形嗎？

（生動手操作，拼出如圖1中的三種三角形來）

師：你拼成了怎樣的三角形？每個拼成的三角形的內角和是多少度？

生：可以拼成直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。每個三角形的內角和都是180。，三角形的內角和與三角形的形狀、大小無關。

（二）“做”——任意兩塊三角尺都能拼成三角形嗎？

師：任意兩塊三角尺都可以拼出三角形嗎？

（生動手操作，隨意組合兩塊三角尺，在拼成與否中進行主動交流。）

生：只有當兩塊完全相同的三角尺相拼，才能拼成一個大三角形。

（三）“做”——兩塊完全相同的三角尺怎樣拼，才能拼成三角形？

師：兩塊完全相同的三角尺怎樣拼，才能拼成一個大三角形？

（生動手操作，研究拼合的情況。）

生：只有把相同直角邊拼在一起，才能拼成一個大三角肜。

（四）“做”——為什么把相同直角邊拼在一起才能拼成三角形？

師：為什么把相同直角邊拼在一起才能拼成三角形？

生：……（疑惑）

生：如果把斜邊拼在一起的話只能拼成四邊形。

師：有沒有想過這樣一個問題：每個三角形有3條邊，兩個三角形，最后拼成一個三角肜還是3條邊——

生：有的邊拼的時候消失了。

師：我這里有一個算式——板書（1+l=？）

生（激動地）：這里1加1等于0！

生（更加激動地）：這里有l加l等于1！

生：還有的1加1還是等于2！

師（故作疑惑）：l+l=？怎么會有這么多的結果？能解釋一下嗎？

生：拼合在一起的兩條直角邊最后在圖形內了：l+1=0；另外兩條直角邊拼合形成了一條邊：1+l=1；兩條斜邊還是作為新三角形的兩條邊：l+l=2！

生：只有把相同直角邊拼在一起，一組直角邊消失了，另一組合并成了一條邊。

生：一副三角尺有三條不同的直角邊，所以有三種不同的拼法。

生：相同三角尺的兩條斜邊相等，拼成的三角形都是等腰三角形！

通過以上“四做”，學生對用三角尺拼大三角形從“表面”進入“深層”，從“偶然”走向“必然”，形象思維和邏輯思維在這個過程中作為兩種不同的思維方式相互聯系起來。

拼角的活動，首先引起了學生的形象思維，因為形象思維依靠表象進行聯想，思維常常具有跳躍性，有利于創新，但缺乏條理。當老師引導學生從三角“形”轉向邊的“數”后，他們的邏輯思維一下子就被激發起來，在“l+1=？”的啟示下，“非代數”地理解了怎樣用兩塊完全相同的三角尺拼大三角形的真諦，然后能概括出拼

的所有可能，以至于概括出拼成三角形都是等腰三角形的共同特征。

這里，

“l+l=？”以“數”的簡潔，反映“形”的內在關系，“數形結合”的方法起著聯系形象思維和邏輯思維的橋梁作用，數學知識在數形結合的基礎上逐步抽象概括，上升為理性，從而提高了學生的認識水平。

二、利用“數形結合”，使抽象問題為直觀化。

小學生大多主要是憑借事物的具體形象來進行直觀思維活動的。

但是，在解決問題時，數量關系通常要用抽象思維去理解。為了解決這一矛盾，可以把抽象的數量關系用直觀的圖形表示出來。如：一個長方形長增加1.5米，或寬增加1.2米，面積都增加6平方米，求原長方形的面積。根據題意可畫出上圖：從圖中可以看出，原長方形的長為：6÷1.2=5（米），原長方形的寬為：6÷1.5=4（米），因此原長方形的面積為：5×4=20（平方米）。這樣，充分利用圖形，可以把復雜的數量關系和抽象的數學概念變得形象、直觀，從而豐富學生的表象。

三、利用“數形結合”，使隱含信息為明顯化。

在解決數學問題時，有些條件是隱含在題干背后的，不容易被發現或直接運用，因此挖掘出隱含條件是成功解題的關鍵。有時畫出直觀圖形，就可以使隱含的條件立刻顯現出來。

如：小明從前數排在第7，從后面數也排在第7，這排共有多少人？

此題學生很容易得出有14人這一錯誤的結論，這時可以引導學生來畫一畫。如果用口代表小明，O代表其他學生，那么可以得到：OOOOOO口OOOOOO。這時再讓學生來數一數，就可以得出正確的答案是13人。

其實這道題對于一年級的學生來說很難理解，尤其是通過題干上的數字不能直接計算出答案，也就是存在一些隱含的條件，而采用畫一畫的方法就可以使這類問題迎刃而解。解決實際問題歷來就是小學數學教學的重點和難點，學生往往在課堂上學懂的知識在運用時卻又茫然失措，這主要是因為學生欠缺一些數學思想方法。如果教師在教學中注重“數形結合”思想的滲透，把數量關系用最恰當、最清晰的圖形表示出來，就能使學生學會有效的思維方法，從而促進學生解決問題能力.

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”應用數形結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.在數學教學中滲透數形結合的思想時，應指導學生根據題意畫出圖形，同時善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系，從而反映圖形中相應的數量關系.總之，教師可以通過各種形式有意識地使學生領會到“數形結合”方法具有形象、直觀、易于說明等優點，并初步學會運用“數形結合”的觀點去分析問題，解決問題。