轉化匙思想——數學金鑰匙

數學思想方法在數學教學中有著至關重要的作用，它是思考和分析、處理和解決問題的萬法之源，是學習數學的靈魂和精髓。其中轉化思想是數學思想方法的核心，也是應用最為廣泛的、最為關鍵的思想。轉化思想又稱轉換或化歸思想，是一種把待解決或解決的問題經過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或比較容易解決的問題中去。可以說，在中學數學中轉化思想無處不在無時不在。

以下就“轉化思想”在初中數學的應用作個簡單歸納。

一、生疏問題向熟悉問題轉化

生疏問題向熟悉問題轉化是解題中常用的思考方法。解題過程實際上是一種轉化的過程，而這種過程的關鍵是能否細心觀察，運用過去所學的知識，將生疏問題轉化為熟悉問題。因此應深刻挖掘量變因素，將教材抽象知識轉化為學過知識，加工到學生通過努力能夠接受的水平上來，縮小接觸新內容時的陌生度，這樣做常可得到事半功倍的效果。

例如，當學生初次遇到螞蟻在正方體表面爬行，尋求最短路徑問題時，學生感到無從下手、沒有思路。這時，借助轉換思想給予點撥：“路徑最短”即線段最短，結合“在同一平面內，兩點之間線段最短”。因此，要先把正方體轉換成平面圖形即可，學生聽到這里，恍然大悟。

二、化部分為整體

例：已知x2-x-1=0，求代數式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整體，x2+x+2013中可變出這個整體，即變為-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出結果為2012。

三、高次轉化為低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：這是條件求值問題，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁瑣了。但通過變形，用降次的方法進行轉化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、實際問題轉化為數學問題

重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯系，是近年來數學教改的一個熱點，應用問題在中考的地位已經確立，并且也越來越重要。在解決實際問題時，要重在轉化思想的應用，培養學生應用數學能力。

例：某市政府大力扶持大學生創業。李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500。

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？”，也就是把實際問題轉化二次函數的極值問題：即每月利潤=每件產品利潤×銷售產品件數，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通過整理轉化為二次函數w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元”，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個方程得：x=30，x=40。所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數、二次函數有關性質來完成。∵二次函數w=-10x+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000；又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000；設成本為P（元），則P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∴x=32時，P=3600，要實現銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

五、一般與特殊的轉化

例如九年級下冊中的圓周角定理的證明，就是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。

六、數與形的轉化

例1：一個多邊形除去一個內角后其余各角和為2000°，則這個多邊形是幾邊形？除去的內角為多少度？

分析： 將幾何問題轉化為代數方法來解決，

解： 設多邊形邊數為n，除去的內角為а。

則：0<（n-2）×180°-а<180°再結合為整數即可，進而求出а值。

例2：某公司推銷一種產品，設x（件）是推銷產品的數量，y（元）是推銷費，如圖表示了公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案，看圖解答下列問題：（1）求y1與y2的函數解析式。（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費的？（3）如果你是推銷員，應如何選擇付費方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推銷產品沒有推銷費，每推銷10件產品得推銷費200元，y2是保底工資300元，每推銷10件產品再提成100元。

（3）若業務能力強，平均每月保證推銷多于30件時，就選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案。

點撥：圖象在上方的說明它的函數值較大，反之較小，當然，兩圖象相交時，說明在交點處的函數值是相等的。

綜上所述，數學轉化思想是中學數學教育中最活躍、最實用的，貫穿在數學解題的始終。平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想。學習上善于運用轉化思想的同學，將有利于提高數學解題的應變能力和技巧，將有更濃厚的學習興趣；生活中善于運用轉化思想的同學，將變得越來越聰明，越來越富有創造性，這正是我們所期待的東西，正是教育的歸宿，教育的目的。

（作者單位：徐州市睢寧縣高集中學）

數學思想方法在數學教學中有著至關重要的作用，它是思考和分析、處理和解決問題的萬法之源，是學習數學的靈魂和精髓。其中轉化思想是數學思想方法的核心，也是應用最為廣泛的、最為關鍵的思想。轉化思想又稱轉換或化歸思想，是一種把待解決或解決的問題經過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或比較容易解決的問題中去。可以說，在中學數學中轉化思想無處不在無時不在。

以下就“轉化思想”在初中數學的應用作個簡單歸納。

一、生疏問題向熟悉問題轉化

生疏問題向熟悉問題轉化是解題中常用的思考方法。解題過程實際上是一種轉化的過程，而這種過程的關鍵是能否細心觀察，運用過去所學的知識，將生疏問題轉化為熟悉問題。因此應深刻挖掘量變因素，將教材抽象知識轉化為學過知識，加工到學生通過努力能夠接受的水平上來，縮小接觸新內容時的陌生度，這樣做常可得到事半功倍的效果。

例如，當學生初次遇到螞蟻在正方體表面爬行，尋求最短路徑問題時，學生感到無從下手、沒有思路。這時，借助轉換思想給予點撥：“路徑最短”即線段最短，結合“在同一平面內，兩點之間線段最短”。因此，要先把正方體轉換成平面圖形即可，學生聽到這里，恍然大悟。

二、化部分為整體

例：已知x2-x-1=0，求代數式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整體，x2+x+2013中可變出這個整體，即變為-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出結果為2012。

三、高次轉化為低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：這是條件求值問題，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁瑣了。但通過變形，用降次的方法進行轉化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、實際問題轉化為數學問題

重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯系，是近年來數學教改的一個熱點，應用問題在中考的地位已經確立，并且也越來越重要。在解決實際問題時，要重在轉化思想的應用，培養學生應用數學能力。

例：某市政府大力扶持大學生創業。李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500。

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？”，也就是把實際問題轉化二次函數的極值問題：即每月利潤=每件產品利潤×銷售產品件數，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通過整理轉化為二次函數w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元”，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個方程得：x=30，x=40。所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數、二次函數有關性質來完成。∵二次函數w=-10x+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000；又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000；設成本為P（元），則P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∴x=32時，P=3600，要實現銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

五、一般與特殊的轉化

例如九年級下冊中的圓周角定理的證明，就是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。

六、數與形的轉化

例1：一個多邊形除去一個內角后其余各角和為2000°，則這個多邊形是幾邊形？除去的內角為多少度？

分析： 將幾何問題轉化為代數方法來解決，

解： 設多邊形邊數為n，除去的內角為а。

則：0<（n-2）×180°-а<180°再結合為整數即可，進而求出а值。

例2：某公司推銷一種產品，設x（件）是推銷產品的數量，y（元）是推銷費，如圖表示了公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案，看圖解答下列問題：（1）求y1與y2的函數解析式。（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費的？（3）如果你是推銷員，應如何選擇付費方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推銷產品沒有推銷費，每推銷10件產品得推銷費200元，y2是保底工資300元，每推銷10件產品再提成100元。

（3）若業務能力強，平均每月保證推銷多于30件時，就選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案。

點撥：圖象在上方的說明它的函數值較大，反之較小，當然，兩圖象相交時，說明在交點處的函數值是相等的。

綜上所述，數學轉化思想是中學數學教育中最活躍、最實用的，貫穿在數學解題的始終。平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想。學習上善于運用轉化思想的同學，將有利于提高數學解題的應變能力和技巧，將有更濃厚的學習興趣；生活中善于運用轉化思想的同學，將變得越來越聰明，越來越富有創造性，這正是我們所期待的東西，正是教育的歸宿，教育的目的。

（作者單位：徐州市睢寧縣高集中學）

數學思想方法在數學教學中有著至關重要的作用，它是思考和分析、處理和解決問題的萬法之源，是學習數學的靈魂和精髓。其中轉化思想是數學思想方法的核心，也是應用最為廣泛的、最為關鍵的思想。轉化思想又稱轉換或化歸思想，是一種把待解決或解決的問題經過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或比較容易解決的問題中去。可以說，在中學數學中轉化思想無處不在無時不在。

以下就“轉化思想”在初中數學的應用作個簡單歸納。

一、生疏問題向熟悉問題轉化

生疏問題向熟悉問題轉化是解題中常用的思考方法。解題過程實際上是一種轉化的過程，而這種過程的關鍵是能否細心觀察，運用過去所學的知識，將生疏問題轉化為熟悉問題。因此應深刻挖掘量變因素，將教材抽象知識轉化為學過知識，加工到學生通過努力能夠接受的水平上來，縮小接觸新內容時的陌生度，這樣做常可得到事半功倍的效果。

例如，當學生初次遇到螞蟻在正方體表面爬行，尋求最短路徑問題時，學生感到無從下手、沒有思路。這時，借助轉換思想給予點撥：“路徑最短”即線段最短，結合“在同一平面內，兩點之間線段最短”。因此，要先把正方體轉換成平面圖形即可，學生聽到這里，恍然大悟。

二、化部分為整體

例：已知x2-x-1=0，求代數式x2+x+2013的值？

分析：把x2-x-1=0看成整體，x2+x+2013中可變出這個整體，即變為-（-x2-x-1）-1+2013，再代入-（-x2-x-1）-1+2013得出結果為2012。

三、高次轉化為低次

例：已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值。

分析：這是條件求值問題，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁瑣了。但通過變形，用降次的方法進行轉化，便迎刃而解了。

解∵x2+x-1=0，∴x2=1-x.原式=x（1-x）+2（1-x）+5=x-x2+2-2x+5=x-（1-x）+7-2x=6。

四、實際問題轉化為數學問題

重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯系，是近年來數學教改的一個熱點，應用問題在中考的地位已經確立，并且也越來越重要。在解決實際問題時，要重在轉化思想的應用，培養學生應用數學能力。

例：某市政府大力扶持大學生創業。李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500。

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

分析：（1）要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？”，也就是把實際問題轉化二次函數的極值問題：即每月利潤=每件產品利潤×銷售產品件數，得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通過整理轉化為二次函數w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元”，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個方程得：x=30，x=40。所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數、二次函數有關性質來完成。∵二次函數w=-10x+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000；又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000；設成本為P（元），則P=20（-10x+500）=-200x+10000∵k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∴x=32時，P=3600，要實現銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

五、一般與特殊的轉化

例如九年級下冊中的圓周角定理的證明，就是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。

六、數與形的轉化

例1：一個多邊形除去一個內角后其余各角和為2000°，則這個多邊形是幾邊形？除去的內角為多少度？

分析： 將幾何問題轉化為代數方法來解決，

解： 設多邊形邊數為n，除去的內角為а。

則：0<（n-2）×180°-а<180°再結合為整數即可，進而求出а值。

例2：某公司推銷一種產品，設x（件）是推銷產品的數量，y（元）是推銷費，如圖表示了公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案，看圖解答下列問題：（1）求y1與y2的函數解析式。（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費的？（3）如果你是推銷員，應如何選擇付費方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推銷產品沒有推銷費，每推銷10件產品得推銷費200元，y2是保底工資300元，每推銷10件產品再提成100元。

（3）若業務能力強，平均每月保證推銷多于30件時，就選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案。

點撥：圖象在上方的說明它的函數值較大，反之較小，當然，兩圖象相交時，說明在交點處的函數值是相等的。

綜上所述，數學轉化思想是中學數學教育中最活躍、最實用的，貫穿在數學解題的始終。平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想。學習上善于運用轉化思想的同學，將有利于提高數學解題的應變能力和技巧，將有更濃厚的學習興趣；生活中善于運用轉化思想的同學，將變得越來越聰明，越來越富有創造性，這正是我們所期待的東西，正是教育的歸宿，教育的目的。

（作者單位：徐州市睢寧縣高集中學）