小議極限理論

王莎莎

【摘 要】本文主要總結了一些求一元函數極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運用到更廣泛的區域中。

【關鍵詞】極限理論；歸結原則；拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問題的一種數學思想，用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構造一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量，最后用極限計算來得到這結果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們去探究。

二、求一元函數極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設函數f在點xo的某個空心領域U·（xo；δ）內有定義，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-xo|<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數A就叫做函數f（x）當x→xo時的極限。

例1.1設f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當x≠2時，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對給定的ε>0，只要取δ=ε，則當0>|x-2|<δ時有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設f為定義在[a，+∞）上的函數，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數M（≥a），使得當x>M時有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數f當x趨于+∞時以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當|x|>M時有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個重要的極限求極限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價無窮小量求極限

通過變量替換，把求某個極限轉化為求另一個極限，若后者是已知的，則問題就解決了。

（1）設φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價無窮小：當x→0時，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達法則求極限

洛比達法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經過簡單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結原則求極限

歸結原則：f（x）=A?對任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數f（x）滿足如下條件：

①在閉區間[a，b]上連續；

②在開區間（a，b）內可導。

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學過程中可將這些求一元函數極限的方法充分運用于教學實踐中，能使學生在解題過程中享受創造的樂趣，從而能夠激發起學生的學習數學的興趣和刻苦研究數學問題的熱情和毅力，培養學生縝密的思維能力和運用數學思想解決實際生活中遇到的各類問題。

【參考文獻】

[1]趙顯曾，黃安才著.數學分析的方法與題解.西安：陜西師范大學出版社，2005.3

[2]華東師范大學數學系.數學分析.上冊.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學數學系.數學分析.下冊.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數學：經濟管理、計算機類.西安：西北工業大學出版社，2008.7

[5]數學.中國就業培訓技術指導中心組織編寫.北京：中國勞動社會保障出版社，2002.3

[6]李永樂，李正元.考研數學復習全書.國家行政學院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開.主編.考研數學復習指南.北京理工大學出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業學校）

【摘 要】本文主要總結了一些求一元函數極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運用到更廣泛的區域中。

【關鍵詞】極限理論；歸結原則；拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問題的一種數學思想，用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構造一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量，最后用極限計算來得到這結果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們去探究。

二、求一元函數極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設函數f在點xo的某個空心領域U·（xo；δ）內有定義，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-xo|<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數A就叫做函數f（x）當x→xo時的極限。

例1.1設f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當x≠2時，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對給定的ε>0，只要取δ=ε，則當0>|x-2|<δ時有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設f為定義在[a，+∞）上的函數，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數M（≥a），使得當x>M時有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數f當x趨于+∞時以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當|x|>M時有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個重要的極限求極限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價無窮小量求極限

通過變量替換，把求某個極限轉化為求另一個極限，若后者是已知的，則問題就解決了。

（1）設φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價無窮小：當x→0時，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達法則求極限

洛比達法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經過簡單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結原則求極限

歸結原則：f（x）=A?對任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數f（x）滿足如下條件：

①在閉區間[a，b]上連續；

②在開區間（a，b）內可導。

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學過程中可將這些求一元函數極限的方法充分運用于教學實踐中，能使學生在解題過程中享受創造的樂趣，從而能夠激發起學生的學習數學的興趣和刻苦研究數學問題的熱情和毅力，培養學生縝密的思維能力和運用數學思想解決實際生活中遇到的各類問題。

【參考文獻】

[1]趙顯曾，黃安才著.數學分析的方法與題解.西安：陜西師范大學出版社，2005.3

[2]華東師范大學數學系.數學分析.上冊.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學數學系.數學分析.下冊.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數學：經濟管理、計算機類.西安：西北工業大學出版社，2008.7

[5]數學.中國就業培訓技術指導中心組織編寫.北京：中國勞動社會保障出版社，2002.3

[6]李永樂，李正元.考研數學復習全書.國家行政學院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開.主編.考研數學復習指南.北京理工大學出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業學校）

【摘 要】本文主要總結了一些求一元函數極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運用到更廣泛的區域中。

【關鍵詞】極限理論；歸結原則；拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問題的一種數學思想，用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構造一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量，最后用極限計算來得到這結果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們去探究。

二、求一元函數極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設函數f在點xo的某個空心領域U·（xo；δ）內有定義，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-xo|<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數A就叫做函數f（x）當x→xo時的極限。

例1.1設f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當x≠2時，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對給定的ε>0，只要取δ=ε，則當0>|x-2|<δ時有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設f為定義在[a，+∞）上的函數，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數M（≥a），使得當x>M時有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數f當x趨于+∞時以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當|x|>M時有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個重要的極限求極限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價無窮小量求極限

通過變量替換，把求某個極限轉化為求另一個極限，若后者是已知的，則問題就解決了。

（1）設φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價無窮小：當x→0時，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達法則求極限

洛比達法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經過簡單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結原則求極限

歸結原則：f（x）=A?對任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數f（x）滿足如下條件：

①在閉區間[a，b]上連續；

②在開區間（a，b）內可導。

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學過程中可將這些求一元函數極限的方法充分運用于教學實踐中，能使學生在解題過程中享受創造的樂趣，從而能夠激發起學生的學習數學的興趣和刻苦研究數學問題的熱情和毅力，培養學生縝密的思維能力和運用數學思想解決實際生活中遇到的各類問題。

【參考文獻】

[1]趙顯曾，黃安才著.數學分析的方法與題解.西安：陜西師范大學出版社，2005.3

[2]華東師范大學數學系.數學分析.上冊.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學數學系.數學分析.下冊.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數學：經濟管理、計算機類.西安：西北工業大學出版社，2008.7

[5]數學.中國就業培訓技術指導中心組織編寫.北京：中國勞動社會保障出版社，2002.3

[6]李永樂，李正元.考研數學復習全書.國家行政學院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開.主編.考研數學復習指南.北京理工大學出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業學校）