在解決力學問題時采用動能定理與機械能守恒定律的策略的初步擬定

蔣經緯

【摘 要】根據動能定理和機械能守恒定律的適用側重點對比，歸納一個初步的采用策略，從而指導平時教學的重點分配。

【關鍵詞】動能定理；機械能守恒定律；采用策略

在解答包含做功與能量變化的力學問題中，動能定理和機械能守恒定律都是用于解題的核心公式。在歷年的高考中，兩者都是出題熱點。若能靈活掌握兩者，就可以說是掌握了兩枚解題的金鑰匙。但對于學生而言，面對一道新的習題時，他總是更習慣于采用其中一種固定的思路來嘗試解題。而動能定理和機械能守恒定律在解題過程中的地位類似，這種情況下，兩者只會有一者被采用。其實，具體采用哪一條公式，這完全是取決于題目的類型與條件的。倘若學生優先采用了相對更有利于解題的一條公式，那么他的解題過程將會非常流暢，并且從中獲得極大的自信與滿足感，有利于其進一步的學習。因此，分析出并比較動能定理和機械能守恒定律兩者的適用優勢，歸納出一個初步的采用策略，并以此來分配平時教學的側重，這將會顯著地提高教學效能。

現將通過對一些例題的分析，對比在采用動能定理和機械能守恒定律兩種不同的解題公式時的優勢與劣勢，從而得到一個初步的結論。

例題1：平臺型斜拋問題

如圖，在一個高為H的平臺上，將一個物體以速度v0斜向上拋出，物體最終落在另一個高為h的平臺上，求：當物體剛好落在另一個平臺上時的速度v。

1.使用動能定理：

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（H-h）

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02

所以有mg（H-h）=12mv2-12mv02

解得v=gH-h+v02

2.使用機械能守恒定律：

解：將地面定義為零勢面

E=Ek1+Ep1

Ek1=12mv02；Ep1=mgH

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgh

由于只有重力作用，所以E=E`

故有12mv02+mgH=12mv2+mgh

解得v=gH-h+v02

評價：在這一題中，使用動能定理的話步驟更少，但使用機械能守恒定律條理清晰，步驟也不是很多，這一場不分高下。

例題2：公路交通工具行駛問題

一輛在公路上行駛的汽車，質量m=5×103kg，行駛過程可以看為勻變速運動，從靜止開始加速的路程為5.0×102m時，開始勻速行駛，行駛速度v=72km/h，在此過程中汽車受到的阻力是其重量的0.02倍，求引擎提供的牽引力。

1.使用動能定理：

分析：和上一題不同的是，這一題中研究對象一共受到四個力——重力，支持力，阻力，牽引力——的作用，而其中重力是不做功的！做功的是阻力和牽引力。為此，W的表述就要適當斟酌一下了。

解：W=Ek2-Ek1

W=Wf+WF=f（-lf）+FlF=-flf+FlF

Ek2=12mv2

Ek1=12mv02=0

所以有-flf+FlF=12mv2-12mv02

解得F=12mv2+flflF

代入數據：F=3000N

2.使用機械能守恒定律：

由于涉及到了非保守力——也就是阻力和牽引力——做功，機械能守恒定律無法使用。

評價：至此，機械能守恒定律的最大缺陷暴露無遺：由于其擁有“只有保守力做功”這一限制度超高的使用條件，導致了面對相當數量的問題時，機械能守恒定律根本無法使用。而這時，動能定理則因為其毫無限制而大展神威。

例題3：豎拋問題

以10m/s的速度將質量為m的物體從地面豎直向上拋出，若忽略空氣阻力，求于上升過程中何處重力勢能與動能相等？（默認地面為參考面）

1.使用動能定理：

解析：這一題對動能定理相當不友好，原因在于終點的位置高度——涉及過程中外力做功——和終點時的速度——涉及到末動能——全部沒有給出，那是不是說就不能使用動能定理了呢？也不盡然，盡管終點位置高度與終點速度均未給出，我們依然可以先將其待定，再想辦法消去即可。

解：設起點為A，則衍生出初始高度為hA，初始速度為vA；

設在上升過程中，當球到達B點時，其重力勢能與動能相等，則衍生出當時高度為hB，速度為vB.

則有W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（hA-hB）=-mghB

Ek2=12mvB2

Ek1=12mvA2

所以有-mghB=12mvB2-12mvA2

根據題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數據得hB=2.5m

2.使用機械能守恒定律：

解析：這一題只有重力做功，機械能守恒定律可以使用。

解：地面為零勢面

EA=EKA+EPA

EkA=12mvA2；EpA=mgH=0

EB=EKB+EPB

EKB=12mvB2；EPB=mghB

由于只有重力作用，所以EA=EB

故有12mvA2=12mvB2+mghB

根據題意：可得mghB=12mvB2

所以可得12mvA2=2mghB

解得hB=vA24g

代入數據得hB=2.5m

評價：在這種過程模糊的題目條件中，機械能守恒定律開始體現其優勢，由于其本身只強調注重個別的點狀態，模糊的過程對其而言沒有任何意義——因為使用機械能守恒定律是會繞開“有力做功”這一過程的。而動能定律本身要以“有力做功”作為起點展開，因此過程的模糊會導致思維過程的復雜化，這就導致了學生有可能在面對這種類型的題目時感到無從下手——因為找不到突破點——最終解題失敗。

例題4：斜面滑行問題

質量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點由靜止開始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達斜面底端的速度為多大？

1.使用動能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質而言與平臺斜拋問題沒什么不同，常規解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規解題即可。

解：將地面定義為零勢面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評價：在這種類型的題目中，動能定理又顯得比機械能守恒定律更加簡潔、方便。順帶一提，如果說將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數的粗糙面，則對于動能定理而言，只是增加了公式推導的復雜度而已；但對于機械能守恒定律來說，這一題將會成為無法完成的任務——因為多出了一個非保守力在做功。

結論

雖然動能定理與機械能守恒定律都是用于解決力學問題的重要公式，但通過以上的對比，我們可以初步得到以下結論：

1.在大部分情況下，動能定理均優于機械能守恒定律，其過程更加簡潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習題本身對于運動過程的描述比較模糊，或起點或終點某一點的狀態描述不明，那由于機械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個好主意；

3.如果題目本身不允許使用機械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動能定理。

為此，平時的教學中，可以有意側重于動能定理的教學，并加強這一方面的訓練。而對于機械能守恒定律，則更優先側重于使學生了解什么情況下采用機械能守恒定律更合適。讓學生自己體會出合適的策略，扎實而靈活地運用這兩枚金鑰匙來解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無錫市湖濱中學）

例題4：斜面滑行問題

質量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點由靜止開始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達斜面底端的速度為多大？

1.使用動能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質而言與平臺斜拋問題沒什么不同，常規解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規解題即可。

解：將地面定義為零勢面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評價：在這種類型的題目中，動能定理又顯得比機械能守恒定律更加簡潔、方便。順帶一提，如果說將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數的粗糙面，則對于動能定理而言，只是增加了公式推導的復雜度而已；但對于機械能守恒定律來說，這一題將會成為無法完成的任務——因為多出了一個非保守力在做功。

結論

雖然動能定理與機械能守恒定律都是用于解決力學問題的重要公式，但通過以上的對比，我們可以初步得到以下結論：

1.在大部分情況下，動能定理均優于機械能守恒定律，其過程更加簡潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習題本身對于運動過程的描述比較模糊，或起點或終點某一點的狀態描述不明，那由于機械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個好主意；

3.如果題目本身不允許使用機械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動能定理。

為此，平時的教學中，可以有意側重于動能定理的教學，并加強這一方面的訓練。而對于機械能守恒定律，則更優先側重于使學生了解什么情況下采用機械能守恒定律更合適。讓學生自己體會出合適的策略，扎實而靈活地運用這兩枚金鑰匙來解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無錫市湖濱中學）

例題4：斜面滑行問題

質量為m的物體從高為h，傾角為α的斜面頂端A點由靜止開始沿斜面下滑，已知斜面視為光滑面，則物體到達斜面底端的速度為多大？

1.使用動能定律：

解析：起始速度，起始高度，終末高度已知，又只有重力做功，本質而言與平臺斜拋問題沒什么不同，常規解題即可。

解：W=Ek2-Ek1

W=WG=mg（h-0）

Ek2=12mv2

Ek1=12mvA2

所以有mg（h-0）=12mv2-12mvA2

解得v=gh

2.使用機械能守恒定律：

解析：所有需要的條件已全部給出，常規解題即可。

解：將地面定義為零勢面

EA=EkA+EpA

EkA=12mvA2=0；EpA=mgh

E`=Ek2+Ep2

Ek2=12mv2；Ep2=mgH=0

由于只有重力作用，所以E=E`

故有0+mgH=12mv2+0

解得v=gh

評價：在這種類型的題目中，動能定理又顯得比機械能守恒定律更加簡潔、方便。順帶一提，如果說將題目中的斜面由光滑面改為有摩擦系數的粗糙面，則對于動能定理而言，只是增加了公式推導的復雜度而已；但對于機械能守恒定律來說，這一題將會成為無法完成的任務——因為多出了一個非保守力在做功。

結論

雖然動能定理與機械能守恒定律都是用于解決力學問題的重要公式，但通過以上的對比，我們可以初步得到以下結論：

1.在大部分情況下，動能定理均優于機械能守恒定律，其過程更加簡潔，思路更加直白，使用更加方便；

2.如果習題本身對于運動過程的描述比較模糊，或起點或終點某一點的狀態描述不明，那由于機械能守恒定律有較低的條件依賴度，采用它是一個好主意；

3.如果題目本身不允許使用機械能守恒定律——一般就是有非保守力做功——那只能采用動能定理。

為此，平時的教學中，可以有意側重于動能定理的教學，并加強這一方面的訓練。而對于機械能守恒定律，則更優先側重于使學生了解什么情況下采用機械能守恒定律更合適。讓學生自己體會出合適的策略，扎實而靈活地運用這兩枚金鑰匙來解決面前的難題。

（作者單位：江蘇省無錫市湖濱中學）