基于R－L－MS－L濾波函數的CT圖像重建

王曉鵬，王明泉，侯慧玲

(中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西太原030051)

CT重建算法分為解析法與迭代法兩大類，解析法中的卷積反投影算法(CBP)廣泛應用于商業和工業中，濾波函數的選擇是其中的關鍵。濾波器的作用是消除反投影過程中的星形偽影，其頻率響應理論上要求H(ρ)=，ρ為空間頻率，其頻帶無限，根據佩利－維納準則，這種濾波器是無法獲得的，可通過其進行加窗處理實現，即H(ρ)=W(ρ)，其中W(ρ)為窗函數。常用的窗函數是矩形窗和sinc函數窗，對應的濾波函數為R－L濾波函數和S－L濾波函數。R－L濾波函數的優點是形式簡單實用，重建圖像輪廓清晰，缺點是有Gibbs效應，表現為明顯的振蕩，當有噪聲時重建質量較差。S－L濾波函數的優點是重建的圖像振蕩響應較小，對噪聲具有一定的抑制作用，缺點是由于其在低頻段偏離了的緣故，所以其在低頻段的重建質量沒有R－L濾波函數高［1］。因此針對它們的缺點，必須要對重建過程中的濾波函數進行改進。人們在此之后提出了將兩種濾波函數進行混合的R－L－S－L濾波函數［2］，對兩者各自的優缺點進行了折衷，取得了一定的效果。文獻［3］從理想函數的概念出發提出了一種新的濾波函數，記為New濾波函數，其表達為

文獻［4］通過將R－L與New濾波函數混合得到一種濾波函數，記為R－L－New濾波函數，表達式為

本文在前人的基礎上提出了一種新的濾波函數。通過仿真實驗分析，新濾波函數比傳統的濾波函數對噪聲有更好的抑制作用，也能很好地抑制振蕩。它將空間分辨率和密度分辨率做了很好的綜合，得到了較好的重建效果。

1 新濾波函數的構建思路

濾波函數的選取主要考慮3個因素:主瓣、近鄰旁瓣以及遠處旁瓣。主瓣越高越窄，空間的分辨率就越好。旁瓣越小，數值精度越高，密度分辨率越高［5］。從信號與系統的角度，可以利用加權平均的思想，使主瓣變低旁瓣變小，以犧牲一定空間分辨率來提高密度分辨率。經典的S－L濾波函數的采樣序列為

進行加權平均的時候并不是用的點越多越好，當大于3點時，濾波函數的性質將嚴重變壞，沒有必要選取［6］。因此對S－L濾波函數進行3點加權平均，記為MS－L濾波函數，其采樣序列為

即

圖1和圖2分別為 R－L，R－L－New 和 MS－L三種濾波函數主瓣和遠旁瓣的離散分布。對比可以發現R－L濾波函數的主瓣高而窄，空間分辨率較好，但是它的遠旁瓣幅度和寬度都較大，所以Gibbs效應很嚴重。而MS－L濾波函數的主瓣較低且寬，但是它的旁瓣收斂快，有利于抑制Gibbs效應和噪聲，密度分辨率高。R－L－New介于兩者之間。由此可以得出在設計濾波函數的時候可以兼顧空間和密度分辨率，從整體提高重建質量。

圖1 各種濾波函數的空域主瓣分布

受混合濾波思想的啟發將R－L濾波函數與MS－L濾波函數進行線性混合得到一種新的混合濾波函數，它的沖擊響應為

式中:k1≥0，k2≥0，k1+k2=1。k1，k2的值是可以調節的，當k1=0時，它是R－L濾波函數，當k2=0時，它是MS－L的混合濾波函數，其采樣序列為

圖2 各種濾波函數的空域主瓣分布

2 實驗仿真與結果分析

本文對二維Shepp－Logan模型［7］分別使用 R－L濾波函數、R－L－New混合濾波函數和本文濾波函數進行平行束重建。對得到的投影加入均值為0、方差為1的高斯噪聲，噪聲強度為5%。為了評價重建后的圖像質量，本文采用歸一化均方距離對圖像進行評價，即

式中:tu，v，ru，v分別表示測試模型和重建后圖像中各點的像素密度;為測試模型密度的平均值。d較敏感地反映少數點的大誤差情況，d值越大表示兩者偏差越大［1］。圖3a為原始Shepp－Logan，圖3b為其橫線部分，即第128行的灰度曲線。圖4～圖6分別為利用R－L，R－L－New和R－L－MS－L濾波函數重建后的結果和對應橫線部分的灰度曲線。

圖3 原始圖

圖4 R－L濾波結果

圖5 R－L－New濾波結果

通過圖4～圖6的對比可以看出新濾波函數比R－L和R－L－New濾波函數重建后的圖像更加平滑且更接近原始圖像。

為了研究不同的噪聲強度對重建質量的影響，在投影中分別加入強度為5%，10%，20%的高斯噪聲，然后分別利用R－L，R－L－New 和R－L－MS－L 濾波函數進行重建。并利用式(8)作為評價標準得到表1。

表1 3種濾波函數在不同噪聲強度下的歸一化距離

通過對表1的定量分析可以看出，在不同噪聲強度下利用本文濾波函數重建圖像的歸一化均方距離更小，比R－L－New濾波函數的抗噪聲性能更好。

為了研究系數k1對R－L－MS－L濾波函數的影響，選取不同的值重建，得到系數與歸一化均方距離的關系，如圖7所示。通過觀察可以看出，在無噪聲的情況下本文濾波函數選取的最佳k1為0.7左右。此時可以更好地抑制振蕩與噪聲。

圖7 不同k1時的歸一化均方距離

對實驗室采集到的360幅1 024×1 024的火箭發動機模型投影數據進行FDK重建。圖8a和圖8b分別是采用R－L－New和新濾波函數重建的第150層的切片圖像，從圖中可以看出采用R－L－MS－L濾波函數重建的圖像細節信息更加清晰，圖像質量更好。

圖8 R－L－New和新濾波重建結果

3 小結

本文通過結合混合濾波器和多點加權平均的思想提出了一種新的濾波函數即R－L－MS－L濾波函數。通過實驗與仿真，從定性和定量兩個角度都可以看出，R－LMS－L濾波函數比傳統的R－L和R－L－New濾波函數重建后的圖像質量都要好。它有效抑制了圖像重建時的振蕩，使重建后的圖像更平滑，且其抗噪聲性能比傳統的濾波函數更高。在無噪聲的情況下選擇k1=0.7，可以較好地改善重建圖像的空間分辨率和密度分辨率。

［1］莊天戈.CT原理與方法［M］.上海:上海交通大學出版社，1992.

［2］翟靜，潘晉孝.混合濾波函數在FDK中的應用［J］.南昌航空大學學報:自然科學版，2007，41(S1):263－266.

［3］ WEIY，WANG G，HSIEH J.An intuitive discussion on the ideal ramp filter in computed tomography(1)［J］.Computers＆ Mathematics with Applications，2005，49(5):731－740.

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［5］石本義，王成等，陳四海.CT斷層重建中濾波函數設計的新方法［J］.CT 理論與研究，2010，19(4):35－43.

［6］劉曉，楊朝文.RL濾波函數的改進對卷積反投影圖像重建的影響［J］.四川大學學報:自然科學版，2004，41(1):112－117.

［7］ SHEPP L，LOGAN B.The fourier reconstruction of a head section［J］.IEEE Trans.Nucl.Sci.，1974，21(3):21－43.