一種基于壓縮感知全變差算法的圖像去噪方法

趙彥孟，宋建新

(南京郵電大學圖像處理與圖像通信實驗室，江蘇南京210003)

1 圖像去噪簡介

圖像是獲取信息的一種重要媒介，但是當獲取的圖像中含有噪聲時，獲取的信息往往達不到人們的質量要求，因此，需要采用一種方法來去除圖像中混有的噪聲。隨著信號處理技術的迅速發展，圖像去噪也有了很大的改進。

傳統的圖像去噪方法有濾波器去噪方法和變換域去噪方法。濾波器去噪方法包括比較經典的均值濾波器法、高斯濾波器法、中值濾波器法和自適應最小均方誤差濾波器法等。但是均值濾波器法和高斯濾波器法會在降噪過程中模糊圖像的邊緣信息。中值濾波器法雖然可以在圖像去噪中保持尖銳的圖像邊緣信息，但會使圖像的精細結構被抑制。自適應最小均方誤差濾波器法雖然可以通過分析圖像的局部強度統計信息，但是不能確保具有較高峰值信噪比(PSNR)的降噪圖像獲得可接受的視覺質量。變換域去噪方法主要是通過對含有噪聲的圖像進行變換，比如小波變換和離散小波變換等方法?；谛〔ㄗ儞Q的圖像去噪方法證實在均方誤差(MSE)和PSNR以及其他評估方法等方面優于傳統的維納濾波器法和中值濾波法等比較經典的去噪方法，但是如果噪聲或者含噪圖像的參數發生改變時，需要重新設計算法的參數，使算法的設計變得復雜。

本文在之前的研究基礎上，運用一種新的圖像去噪方法，將新興的壓縮感知方法應用到圖像去噪中，消除了采用變換域進行圖像去噪方法的問題。壓縮感知方法將采樣和壓縮合二為一，改為對信息的直接測量，最后通過重建算法來實現圖像的重建和噪聲的去除。

當前的壓縮感知重建算法主要包括凸優化算法和貪婪算法兩大類。凸優化算法的思路主要是通過增加約束來取得最稀疏解，主要的重建算法有基追蹤法(Basis Pursuit，BP)和全變差算法(Total Variation，TV)等。凸優化算法的計算量大，重建速度較慢，但是重建效果較好。貪婪算法的思路主要是根據匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)的思想，通過局部最優解依次找到各個非零系數，在此基礎上出現了正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)，通過正交方向找尋非零系數，加快MP算法的收斂。典型的還有壓縮采樣MP(Compressed Sampling MP，CoSaMP)等算法。貪婪算法的重建速度較快，但是重建精度沒有凸優化算法好。本文采用TV 重建算法作為圖像去噪算法是因為其在去噪方面有較好的性能［7］，TV算法是通過求解信號梯度而非信號稀疏解來重建信號。噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數，是一條平穩的直線，在變換域不具有稀疏性，但是噪聲的梯度值具有稀疏性，這就促使本文通過采用TV算法來進行圖像去噪。本文實驗仿真中，對比了幾種常用的壓縮感知重建算法在圖像去噪方面的性能。通過實驗仿真證實，本文采用的壓縮感知TV重建算法在圖像去噪方面優于對比的壓縮感知重建算法，可以實現圖像的較好重建和噪聲的有效去除。

2 壓縮感知理論

傳統的信號采集遵守香農奈奎斯特理論:為了實現無失真的信號重建，采樣率需要大于等于信號帶寬的2倍。但是由Candes和Donho等人提出的壓縮感知理論［2－4］突破了這一局限，此理論證明稀疏或者可壓縮信號可以從較少數量的線性測量高概率重建出原始信號，它要求測量矩陣和稀疏基矩陣之間滿足不相干特性。

壓縮感知理論要求信號具有稀疏性或者可壓縮性，信號稀疏性是指信號X=［x(1)，x(2)，…，x(N)］T在標準正交基 Ψ = ［ψ1，ψ2，…，ψN］上的投影 s= ［s(1)，s(2)，…，s(N)］T中只有K個系數不為零或其他系數呈指數下降的趨勢，且K?N，表示為

在信號具有稀疏性的條件下，對信號X=［x(1)，x(2)，…，x(N)］T進行測量，選用的測量矩陣為 ΦM×N，通過原始信號在測量矩陣中的投影可得測量向量y，表示為

將式(1)和式(2)整理得

生成的測量向量y是M×1維列向量，從測量向量重建原始信號X的過程是病態的，無法精確求解X。如果信號具有稀疏性，可通過重建算法實現由低維的測量向量y精確地重建原始信號X。壓縮感知系統框架如圖1所示。

圖1 壓縮感知系統框架

實現信號較好重建的算法有基追蹤法［2］和貪婪算法［5－6］。使用最小l1方法來實現信號精確重建可以通過求解下面的線性規劃來獲得信號X的稀疏解s^，即

然后，信號X可以通過式(5)來獲得精確重建

實現信號的精確重建中，一個很重要的要求是測量矩陣Φ和稀疏基矩陣Ψ要滿足非相干性，同時測量矩陣Φ要滿足受限等距特性。因此，稀疏基矩陣可以選用小波變換基矩陣和離散余弦變換基矩陣，測量矩陣可選用高斯隨機矩陣［1］。

3 壓縮感知圖像去噪

3.1 圖像去噪的基本原理

為了實現圖像去噪，首先將混有噪聲的圖像X進行稀疏域變換

式中:z為加性噪聲。然后對變換后稀疏系數向量s進行測量，即

需要通過測量向量y來實現圖像X的重建和去噪，實現重建的一個重要前提是信號為稀疏的。圖像絕大多數是稀疏的，但是噪聲在常規域下是不稀疏的。通過壓縮感知理論對噪聲進行稀疏變換，然后對變換后的系數進行M維測量，使得多數噪聲已經被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M數值越小，將會有更多的噪聲信息被去除。通過對測量的M維噪聲向量進行重建，去除混有的少量噪聲，同時可以精確重建具有稀疏性的圖像，從而達到去除圖像中混有的噪聲。

這種基于壓縮感知的圖像去噪框架如圖2所示。

圖2 壓縮感知圖像去噪框架

這種基于壓縮感知的圖像去噪算法的步驟為:

1)對混有噪聲的圖像X做離散余弦變換(DCT變換)，獲得變換后的稀疏系數s，表示為(X+z)=Ψs。

2)設計M×N維測量矩陣Φ，該測量矩陣Φ與稀疏基矩陣Ψ是不相干的。然后，通過測量矩陣Φ實現對部分稀疏系數s的測量，獲得測量向量y，表示為y=Φs。

3)由測量向量y通過TV重建算法恢復圖像信號X^，去除圖像信號X中混有的噪聲。

3.2 圖像去噪的TV重建算法

全變差TV算法中，定義n×n大小的圖像數據，用U表示，i和j表示圖像的行與列坐標，從而可以用Uij表示其坐標點的像素值，則圖像的水平與垂直一階算子可表示為

由于TV算法是以梯度算法為基礎，圖像中導數可以用相鄰像素的差值表示，需要求出在水平方向與豎直方向的導數，以此兩個方向的導數就可以確定圖像變化的最快速變化方向，可以取最快速變化的反方向作為梯度的搜索方向，從而可以最快的速度逼近原始圖像，恢復出原始圖像。

離散梯度向量表示為

由式(8)～式(10)與全變差的定義，易得出其全變差值即為所有的像素離散梯度向量模之和，即

在算法迭代過程中可以以全變差的值作為迭代閾值，當在低于閾值時，就認為是重構出原始圖像，但在重構的過程中允許誤差的存在，當在誤差允許范圍之內時，則可以認為結果是正確的。

在式(8)與式(9)中定義了二維信號中梯度的表示方法，本文所用的算法是基于梯度的“TV”重構算法，二維圖像信號每個像素進行簡單的微分處理可得到總變差的每個像素的梯度，即

4 實驗結果和分析

4.1 實驗說明

首先，對混有均值為0、方差為0.01的加性高斯白噪聲的圖像進行DCT變換，然后，用高斯隨機測量矩陣對變換后的部分系數進行測量，獲得測量值向量。最后，通過上述的TV重建算法進行圖像重建和噪聲有效去除。

對混有加性高斯白噪聲的原始圖像進行DCT變換來獲得稀疏化，保留DCT變換后的一部分系數(如10%或者15%)，然后剩余系數置0。因為僅僅保留圖像變換后的一部分系數，所以圖像產生了失真，當保留的變換系數越少時這種失真越大，但是噪聲的去除效果越明顯。

4.2 實驗一:TV算法重建圖像

選取Lena.bmp圖像作為原始圖像，在原始圖像中加入均值為0、方差為0.01的加性高斯白噪聲，對混有噪聲的圖像進行DCT變換，保持DCT系數的前15%系數不變，剩余系數置0。對處理后的DCT系數選用測量矩陣進行測量，最后通過本文的TV重建算法來重建圖像，仿真結果如圖3所示。

圖3 對混有噪聲的圖像進行稀疏度為15%的重建圖像

圖3a是原始圖像;圖3b是加入均值為0，方差為0.01的加性高斯白噪聲圖像;圖3c是對圖3b進行稀疏化為15%的重建圖像;圖3d是對圖3c采用TV算法重建后的圖像，采樣率為22.80%。

比較圖3b和圖3d中的PSNR可知，在采樣率可以保持較低值22.80%時，運用壓縮感知方法的全變差重建算法可以有效地去除圖像中混有的噪聲。

在上面實驗的基礎之上，使圖像的稀疏度變為10%，用測量矩陣對混有加性高斯白噪聲的稀疏度為10%的圖像進行測量，最后通過TV重建算法來重建圖像，仿真結果如圖4所示。

圖4a是原始圖像;圖4b是加入均值為0、方差為0.01的加性高斯白噪聲圖像;圖4c是對圖4b進行稀疏化為10%的重建圖像;圖4d是對圖4c采用TV算法重建后的圖像，采樣率為15.67%。

比較圖4b和圖4d中的PSNR可知，在采樣率可以保持在較低值15.67%時，運用壓縮感知方法的全變差重建算法可以有效去除圖像中混有的噪聲。

通過實驗一中的仿真，可以看到運用壓縮感知方法中的全變差重建算法進行圖像去噪，能夠很好地去除圖像中混有的噪聲。比較圖3c和圖4c中PSNR可知，雖然稀疏度值越小圖像去噪越明顯，但是圖像的重建效果卻變差。這是因為稀疏度值越小，原始圖像的信息丟失也會越多，所以在重建圖像質量上可以根據圖像去噪和原始信息的丟失進行權衡。

4.3 實驗二:TV算法和其他算法比較

選用Baboon.bmp圖像作為原始圖像，在保證混有加性高斯白噪聲圖像的稀疏度不變的條件下，通過增加測量值M的個數，來研究重建圖像的PSNR隨采樣率的變化關系。仿真結果如圖5所示。

在上面實驗的基礎之上，通過仿真刻畫了“PSNR隨采樣率的變化曲線”。并將本文的TV算法與壓縮感知的其他重建算法如正交匹配追蹤(OMP)算法和壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)算法進行對比。該曲線顯示，隨著測量值個數M的逐漸增加，本文TV算法重建性能優于對比算法。并且重建圖像的PSNR獲得一種近似線性提升。仿真結果如圖6所示。

通過實驗二中的仿真，保證稀疏度不變的條件下，通過增加對圖像測量值的個數，使得重建圖像的質量獲得較大改善。這是因為測量值的個數越多，對圖像的測量越準確，使得重建時對圖像的重建效果越好。

5 小結和研究展望

本文描述和仿真了一種基于壓縮感知的圖像去噪方法。首先將混有白噪聲的圖像進行離散余弦變換，然后對變換后的一部分系數進行保留，將剩余的系數進行置0。通過對保留的系數用傅里葉變換域的射線采樣模式作為測量矩陣進行測量，最后通過引入TV重建算法實現了圖像恢復和噪聲去除。仿真證實該方法明顯改善了圖像去噪的性能。本文采用一種新的壓縮感知TV重建算法，在圖像去噪方面優于對比的壓縮感知重建算法，可以實現圖像的較好重建和噪聲的有效去除。

圖5 重建圖像的PSNR隨采樣率變化關系

圖6 PSNR隨采樣率的變化曲線

在無線環境下如果測量值向量在傳輸過程中混有了噪聲，如何處理該問題將是接下來的研究重心。

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