探究同角三角函數基本關系式的應用

趙靜

同角三角函數的基本關系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數之間的必然聯系.這些基本關系式的主要應用體現在三角函數的求值、化簡、證明中.而在利用關系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數基本關系式在應用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數值，求其余的三角函數值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數關系式知sinθ=±35.

當θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數的平方關系式解題時，若開方，需根據θ的象限分類討論來確定結果的正負號.

2.已知tanα的值，求代數式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯系.求值過程中要注意開方結果正負號的判斷，這是避免錯誤的關鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關鍵.

在同角三角函數的基本關系式的應用中，把握三個核心原則：知識體系系統化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標，緊扣條件，靈活運用常規解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉換法等）才能收到準確、快速的解題效果.

（責任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區域”

廣東潮州韓山師范學院數學與統計學系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學院化學系（521041） 謝意純

“直線與平面區域”是中學數學一個比較重要的幾何關系，用于表述直線與平面區域之間的動態關系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數學，還是理科數學，都會出現直線與平面區域的幾何關系，且一般以單項選擇題的形式出現.對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區域結構及其相關推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區域的結構問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區域”的相關問題

圖2目標函數z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區域，也有可能未穿過，不妨一一進行討論.

下方，端點B距離直線最遠，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結出的解“直線與平面區域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

同角三角函數的基本關系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數之間的必然聯系.這些基本關系式的主要應用體現在三角函數的求值、化簡、證明中.而在利用關系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數基本關系式在應用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數值，求其余的三角函數值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數關系式知sinθ=±35.

當θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數的平方關系式解題時，若開方，需根據θ的象限分類討論來確定結果的正負號.

2.已知tanα的值，求代數式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯系.求值過程中要注意開方結果正負號的判斷，這是避免錯誤的關鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關鍵.

在同角三角函數的基本關系式的應用中，把握三個核心原則：知識體系系統化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標，緊扣條件，靈活運用常規解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉換法等）才能收到準確、快速的解題效果.

（責任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區域”

廣東潮州韓山師范學院數學與統計學系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學院化學系（521041） 謝意純

“直線與平面區域”是中學數學一個比較重要的幾何關系，用于表述直線與平面區域之間的動態關系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數學，還是理科數學，都會出現直線與平面區域的幾何關系，且一般以單項選擇題的形式出現.對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區域結構及其相關推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區域的結構問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區域”的相關問題

圖2目標函數z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區域，也有可能未穿過，不妨一一進行討論.

下方，端點B距離直線最遠，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結出的解“直線與平面區域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

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同角三角函數的基本關系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數之間的必然聯系.這些基本關系式的主要應用體現在三角函數的求值、化簡、證明中.而在利用關系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數基本關系式在應用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數值，求其余的三角函數值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數關系式知sinθ=±35.

當θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數的平方關系式解題時，若開方，需根據θ的象限分類討論來確定結果的正負號.

2.已知tanα的值，求代數式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯系.求值過程中要注意開方結果正負號的判斷，這是避免錯誤的關鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關鍵.

在同角三角函數的基本關系式的應用中，把握三個核心原則：知識體系系統化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標，緊扣條件，靈活運用常規解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉換法等）才能收到準確、快速的解題效果.

（責任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區域”

廣東潮州韓山師范學院數學與統計學系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學院化學系（521041） 謝意純

“直線與平面區域”是中學數學一個比較重要的幾何關系，用于表述直線與平面區域之間的動態關系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數學，還是理科數學，都會出現直線與平面區域的幾何關系，且一般以單項選擇題的形式出現.對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區域結構及其相關推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區域的結構問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區域”的相關問題

圖2目標函數z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區域，也有可能未穿過，不妨一一進行討論.

下方，端點B距離直線最遠，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結出的解“直線與平面區域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint