開關(guān)磁阻電機設(shè)計及多目標優(yōu)化方法

宋受俊 葛樂飛 劉虎成 劉衛(wèi)國

（西北工業(yè)大學自動化學院 西安 710072）

1 引言

開關(guān)磁阻電機（SRM）具有結(jié)構(gòu)簡單堅固、成本較低、控制靈活、調(diào)速范圍寬、適應(yīng)惡劣環(huán)境等優(yōu)良性能[1]，在多電飛機[2]、電動汽車[3]、風力發(fā)電[4]等軍民用領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景和巨大的發(fā)展?jié)摿ΑＨ欢^低的運行效率以及顯著的轉(zhuǎn)矩脈動極大地限制了SRM 的應(yīng)用及推廣，如何對電機本體進行優(yōu)化設(shè)計以突破技術(shù)瓶頸，已成為目前的研究熱點及難點。

繞組電流的非正弦性以及鐵心磁通密度的高飽和性使SRM 驅(qū)動系統(tǒng)成為了一個多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，給設(shè)計及優(yōu)化造成了極大的困難[5]。目前，國內(nèi)外研究者對該方面的研究還不夠深入[6,7]。絕大多數(shù)設(shè)計方法均建立在類比法、經(jīng)驗公式以及有限元分析基礎(chǔ)之上[8-11]，計算過程繁瑣，專業(yè)性要求較高，且難以得到全局最優(yōu)解。通過仔細的調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，部分學者在其設(shè)計中引入了優(yōu)化算法[12-17]，在這些文獻中，對設(shè)計參數(shù)的敏感性分析重視不足，且缺乏對優(yōu)化算法本身的研究與改進，較大地影響了優(yōu)化設(shè)計的效率和結(jié)果的質(zhì)量。

本文利用傳統(tǒng)方法得到了電機的初始設(shè)計方案，且對其性能進行了初步核算。通過敏感性分析，揭示了各主要幾何尺寸對電機性能的影響模式，為優(yōu)化提供了依據(jù)。針對遺傳算法存在的收斂速度慢、容易“早熟”等缺點，對其進行了多方面改進。在此基礎(chǔ)之上，對電機關(guān)鍵幾何尺寸及控制參數(shù)進行了優(yōu)化，在保證外形尺寸不變的前提下，大幅提高了效率，減小了轉(zhuǎn)矩波動。

2 初始設(shè)計及性能核算

2.1 設(shè)計指標

結(jié)構(gòu)形式：三相，6/4 極；額定直流電壓Vs=270V；額定轉(zhuǎn)速n=27 000r/min；額定功率PN=30kW；額定效率η=80%。

2.2 尺寸計算

在進行計算之前，先給出主要尺寸的幾何定義，如圖1 所示。

圖1 SRM 各主要尺寸示意圖Fig.1 Illustration of main dimensions in SRM

本文的初始設(shè)計過程主要參考了文獻[18]。式（1）給出了SRM 的輸出方程，它揭示了電機輸出功率與主要尺寸的關(guān)系，是電機設(shè)計的基礎(chǔ)。

式中Dr——轉(zhuǎn)子外徑；

Lstk——鐵心疊長；

B——磁負荷，6/4 極SRM 磁負荷取值范圍為0.36～0.62，此處取0.4T；

A——電負荷，一般取值范圍為15 000～30 000A/m，此處取28 000A/m；

ki，km——電流系數(shù)，此處取ki/km=0.5/0.8；

Pem——電磁功率，SRM 的銅耗約占總損耗的50%，因此電磁功率可按下式進行估算

要求出電機尺寸，還需要引入細長比λ，即

λ的取值對電機的性能和經(jīng)濟指標具有較大影響，當λ值較小時，電機比較細長，機械時間常數(shù)較小，有利于起動和調(diào)速，但電機內(nèi)部的通風條件較差。當λ值較大時，電機比較粗短，其特點與λ值較小時相反。參照中小型交流電機的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，λ的取值范圍為λ=0.5～3.0，對于SRM 而言，一個典型取值為λ=1，即Dr=Lstk。

聯(lián)立式（1）～式（3）可以求出Dr=Lstk=74mm，則轉(zhuǎn)子外半徑rr=74/2mm=37mm。

利用定、轉(zhuǎn)子外徑的比值Dr/Ds可以很方便的求得SRM 的定子外徑，該比值最常用的取值范圍為0.5～0.55，它的確定取決于定、轉(zhuǎn)子極數(shù)和運行要求，極數(shù)越大，比值越大。對于三相6/4 極SRM而言，可取Dr/Ds=0.5，進而求得定子外徑Ds=148mm，則定子外半徑rs=148/2mm=74mm。

至此已求出SRM 的主要幾何尺寸，圖1 中其他尺寸以及每極相繞組匝數(shù)的求取方法可參見作者的前期工作[19]，最終得到每極相繞組匝數(shù)為10。

根據(jù)以上計算結(jié)果，且考慮實際加工水平，最終確定了表1 所示的尺寸取值。

表1 初始設(shè)計SRM 幾何尺寸取值Tab.1 Initial geometric dimensions of SRM（單位：mm）

2.3 控制參數(shù)計算

在對設(shè)計電機的性能進行核算時，采用角度位置控制法。在額定轉(zhuǎn)速下，預(yù)取

開通角為

關(guān)斷角為

式中，θu為非對齊狀態(tài)時轉(zhuǎn)子角位置，記為0°。

2.4 性能初步核算

本文利用自己研發(fā)的SRM 性能解析計算軟件對方案進行核算，該軟件已經(jīng)過反復(fù)考核，證明其計算誤差在工程允許范圍之內(nèi)，且具有快速、方便等優(yōu)點。需要說明的是，在本計算軟件中，將對齊位置定義為0°，所以核算時應(yīng)設(shè)θon=0°+45°=45°，

θoff=29°+45°=74°。

經(jīng)過核算，得到在額定轉(zhuǎn)速下，初始設(shè)計方案輸出轉(zhuǎn)矩為9.3N·m，輸出功率為26.3kW，效率為81.4%，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為1.344 6。可見，初始方案的性能基本滿足設(shè)計指標，不足在于輸出功率較指標稍低，效率偏低，且轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)較大。

3 關(guān)鍵尺寸敏感性分析

由上文可知，開關(guān)磁阻電機的尺寸參數(shù)眾多，且與電機性能的關(guān)系較為復(fù)雜，因此通過調(diào)整尺寸優(yōu)化電機性能具有一定的難度。本文基于對各主要尺寸參數(shù)的敏感性分析，得到它們對電機效率及功率的影響模式，為后續(xù)的性能優(yōu)化提供理論依據(jù)。

在保證電機外形尺寸不變的前提下，經(jīng)過大量仿真及理論分析發(fā)現(xiàn)下列尺寸對電機的效率具有較大影響：定子軛高ys，轉(zhuǎn)子外徑rr，定子極弧βs和轉(zhuǎn)子極弧βr，下文以ys和rr為例進行分析：

（1）隨著定子軛高ys的增加，效率提高。本文所設(shè)計電機具有大功率、高轉(zhuǎn)速的特點，電機的主要損耗為定、轉(zhuǎn)子鐵耗，尤其是定子軛部鐵耗占有很大比重。因此，當定子軛高增加時，鐵耗會大幅下降，同時電機輸出功率增加，從而致使電機的效率明顯提高。

（2）隨著轉(zhuǎn)子外徑rr的增加，效率提高。此時，銅耗增加的同時鐵耗下降，電機總功率損耗基本不變，但由于轉(zhuǎn)子極高的增加會提高電感的變化率，所以輸出功率變大，效率提高。

另外，敏感性分析表明，定轉(zhuǎn)子極弧的取值不僅會影響電機效率及輸出功率，而且會在很大程度上影響轉(zhuǎn)矩波動。

4 遺傳算法改進

SRM 優(yōu)化設(shè)計是一個多目標、多參數(shù)問題，優(yōu)化算法的選取及改進是至關(guān)重要的。優(yōu)化算法大體可分為兩類：確定性算法和隨機性算法。確定性算法根據(jù)搜索方向的梯度信息進行尋優(yōu)，而隨機性算法則是在設(shè)計空間進行隨機搜索。確定性算法可以在平滑的設(shè)計空間進行高效尋優(yōu)。但是，該方法常常需要進行導(dǎo)數(shù)計算，且在復(fù)雜的設(shè)計空間中易于陷入局部最優(yōu)。隨機性算法不需要進行梯度計算，并且可以找到全局最優(yōu)解，但收斂速度要較確定性算法低。

經(jīng)過比較分析，本文選用了遺傳算法，它是一種啟發(fā)式隨即性算法，可通過模擬自然進化過程搜索問題的最優(yōu)解。遺傳算法具有過程簡單、并行程度高、全局搜索能力和可擴展性強等優(yōu)勢，但同時也存在收斂速度慢、容易“早熟”等問題。本文對遺傳算法進行了多方面改進，進一步提高了其收斂速度和全局精度。

4.1 混合遺傳算法

本文將遺傳算法與模擬退火算法相結(jié)合，利用模擬退火因子將適應(yīng)度函數(shù)適當拉伸，在后期使相似個體間差異增大。選擇適當?shù)某跏纪嘶饻囟龋瓤杀苊狻霸缡臁保帜芗涌爝z傳算法的收斂速度。

圖2 對單一遺傳算法與混合算法優(yōu)化能力進行了對比。可見，單一遺傳算法出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，陷入了局部最優(yōu)，而混合算法很好的克服了這一點。本文對優(yōu)化性能的檢驗采用了公認的測試函數(shù)Rosenbrock's valley 函數(shù)y=(1-x1)2+100×(x2-x12)2，該函數(shù)具有很多局部極小值，很容易誘導(dǎo)優(yōu)化算法出現(xiàn)“早熟”，很適合用來對算法進行性能測試。函數(shù)中兩個自變量的取值范圍均為[-2.048,2.047]，函數(shù)最小值為0，而兩個自變量的最優(yōu)值均為1，圖2中適應(yīng)度即為函數(shù)值，下同。

圖2 單一算法與混合算法性能比較Fig.2 Performance comparison between single and hybrid algorithm

4.2 譯碼

本文采用了分段譯碼，即將字符串分段翻譯成解空間，解決了多個自變量的譯碼問題。利用Matlab 內(nèi)部的num2str 及bin2dec 函數(shù)，大大提高了運算速度。

4.3 交叉

針對SRM 優(yōu)化的多變量特點，本文借用匯編語言的與或思想，實現(xiàn)了均勻交叉。先隨機產(chǎn)生與個體字符串相同的二進制字符串，0 表示此位置交叉，1表示此位置不交叉。此種交叉策略避免了單點交叉對多變量譯碼交叉不均勻而導(dǎo)致可行解波動大的問題。

圖3 單點交叉與均勻交叉性能比較Fig.3 Performance comparison between single-point and uniform crossover

圖3 對單點交叉與均勻交叉的性能進行了比較，可見單點交叉中兩個變量的優(yōu)化程度差距較大，且函數(shù)值未達到最優(yōu)，而均勻交叉的變量和函數(shù)值均達到了最優(yōu)。需要說明的是，圖3 中也給出了變量的最優(yōu)取值，方便起見，將其放在了圖例中，下同。

4.4 精英保留策略

本文將精英個體保留策略和比例選擇混合使用，將適應(yīng)度高的精英個體無條件選擇進入子代，并使精英個體保留數(shù)量隨算法運行而逐步調(diào)整，提高收斂速度的同時，有效防止算法陷入局部最優(yōu)。

圖4 對采用精英保留策略前后的優(yōu)化性能進行了比較。可見，采用精英保留策略在提高收斂快速性的同時，提高了全局精度。

圖4 采用精英保留策略前后優(yōu)化性能比較Fig.4 Performance comparison between with and without elitist strategy

除上述改進外，本文還對遺傳算法的變異、個體選取以及罰函數(shù)等進行了研究與改進，測試表明改進后的遺傳算法在收斂速度和全局精度上均有了很大提高，為SRM 優(yōu)化打下了基礎(chǔ)。

改進后的遺傳算法有三個算子，分別是交叉概率、變異概率和初始退火溫度，它們的值會嚴重影響優(yōu)化品質(zhì)。本文通過仿真分析，得到了三個算子對優(yōu)化品質(zhì)的影響模式，為其取值提供了依據(jù)。

仿真分析表明，交叉概率對優(yōu)化后期的影響不大，但隨著交叉概率的增加，遺傳算法的收斂速度先提高后降低，一般當交叉概率在0.1～0.7 范圍內(nèi)時，收斂效果最好。過小的變異概率容易使優(yōu)化陷入局部最優(yōu)，而過大的變異概率會使后期收斂速度變慢，甚至發(fā)生震蕩。一般變異概率取 0.01～0.1之間，遺傳算法收斂較快，且可以得到全局最優(yōu)解。初始退火溫度對算法的收斂速度有較大的影響。由上文可知，為了拉伸適應(yīng)度函數(shù)，將初始退火溫度引入到指數(shù)項中，大幅提高了收斂速度。初始退火溫度越小，收斂速度越快，反之，則越慢。然而過小的初始退火溫度會導(dǎo)致“早熟”，很有可能是局部收斂，得不到全局最優(yōu)解。

5 SRM 優(yōu)化設(shè)計

在上述研究結(jié)果基礎(chǔ)之上，本文從提高效率、減小轉(zhuǎn)矩波動的角度出發(fā)，對SRM 本體的關(guān)鍵尺寸進行了優(yōu)化，優(yōu)化的前提是電機外形尺寸不變，額定功率不小于設(shè)計指標。

5.1 單目標優(yōu)化

以效率為優(yōu)化目標，圖5 給出了采用不同變量時的優(yōu)化結(jié)果。由圖5 可見，隨著變量個數(shù)的增加，優(yōu)化后電機的效率不斷提高，分別為82.7%、84.5%和88.8%，均大于初始方案的81.4%，且功率均大于30kW，滿足優(yōu)化前提，然而它們的轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)分別為1.377 2、1.421 和1.346 7，均大于初始設(shè)計的1.344 6。需要說明的是，圖中的rs1=rs-ys為定子內(nèi)徑。

圖5 采用不同變量時效率的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results with different variables

5.2 多目標優(yōu)化

圖6 幾何尺寸多目標優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Multi-objective optimization results with geometric dimensions

為了在優(yōu)化時兼顧電機效率和轉(zhuǎn)矩波動，將目標函數(shù)設(shè)為y=1/(k1e+k2/t)，其中e為效率，t為轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)，k1、k2為系數(shù)，其取值可根據(jù)優(yōu)化指標要求以及e、t的范圍確定，本文中k1=0.002，k2=1。圖6 給出了以圖5c 為初值的優(yōu)化結(jié)果，約束條件為輸出功率大于 30kW。由圖可見優(yōu)化后的目標函數(shù)值為1.03，此時電機效率為87.9%，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為1.261 7，而圖5c 中效率為88.8%，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為1.346 7。可見，優(yōu)化之后在保證電機效率基本不變的同時，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)有所減小，但其值仍然較大，已經(jīng)優(yōu)化到了極限。為了進一步減小轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)，可以采用改變定轉(zhuǎn)子極的形狀、優(yōu)化控制參數(shù)等方法。圖7 所示為圖6 尺寸下通過優(yōu)化控制參數(shù)減小轉(zhuǎn)矩波動，約束條件仍為輸出功率大于30kW，其中θon和θoff分別為開通角和關(guān)斷角。通過控制參數(shù)優(yōu)化，目標函數(shù)值減小為0.75，此時效率為89.2%，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為0.87，可見效率提高的同時，轉(zhuǎn)矩波動也得到了較好的抑制，從而實現(xiàn)了多目標優(yōu)化。

圖7 控制參數(shù)多目標優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Multi-objective optimization results with control parameters

眾所周知，開關(guān)磁阻電機的性能同時受到結(jié)構(gòu)參數(shù)和控制參數(shù)的影響，為了得到系統(tǒng)級的最佳設(shè)計方案，必須對兩者同時進行優(yōu)化。圖8 給出了兩者綜合多目標優(yōu)化的結(jié)果。

圖8 控制參數(shù)、幾何尺寸綜合多目標優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Multi-objective optimization results with geometric dimensions and control parameters

由圖可見，優(yōu)化后的目標函數(shù)值為0.519，此時電機效率為89.6%，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為0.5724。可見，綜合多目標優(yōu)化可得到比圖6 和圖7 所示幾何尺寸或控制參數(shù)單一優(yōu)化性能更好的方案。

表2 對初始設(shè)計和上述單目標及多目標優(yōu)化設(shè)計結(jié)果進行了對比。

表2 初始設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計結(jié)果對比Tab.2 Results comparison between initial and optimal design

在本文的最后需要指出，開關(guān)磁阻電機的性能，尤其是轉(zhuǎn)矩波動，與電機相數(shù)以及定轉(zhuǎn)子極數(shù)有很大關(guān)系。一般而言，相數(shù)和極數(shù)越多，步距角越小，有利于減小轉(zhuǎn)矩波動，且可使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定的開環(huán)工作特性，但電機結(jié)構(gòu)復(fù)雜，加工成本較高。并且步距角的減小會使相同轉(zhuǎn)速下的換相頻率上升，進而使鐵心損耗增大，影響系統(tǒng)效率的提高，還會帶來散熱等問題。另外，相數(shù)的增加還會大大提高功率變換器的成本及復(fù)雜度。而極數(shù)的增加還會使相電感的變化率減小，導(dǎo)致相同功率等級下驅(qū)動器伏安容量的增加。所以相數(shù)和極數(shù)不宜選的太大，又由于三相以下的SRM 無自起動能力，目前應(yīng)用較多的是三相6/4 極結(jié)構(gòu)及四相8/6 極結(jié)構(gòu)，在相同工作條件下，前者的噪聲和轉(zhuǎn)矩脈動均要大于后者。

6 結(jié)論

本文針對目前SRM 設(shè)計依賴傳統(tǒng)方法、專業(yè)理論知識及經(jīng)驗要求高、難以得到全局最優(yōu)解等現(xiàn)狀，采用改進型遺傳算法對電機性能進行了優(yōu)化。首先利用傳統(tǒng)方法得到了電機尺寸的初值，并對定子軛高、轉(zhuǎn)子外徑等進行了敏感性分析，得到了它們對電機效率的影響模式。而后通過混合優(yōu)化、分段譯碼、均勻交叉以及精英保留等策略對遺傳算法進行了改進，提高了其收斂速度和全局精度。最后針對一定的約束和目標函數(shù)，將改進型遺傳算法用于對SRM 的性能優(yōu)化。結(jié)果表明該方法非常適用于對SRM 的單目標及多目標優(yōu)化，可以快速而準確地收斂到全局最優(yōu)解，所得到的設(shè)計方案可以大幅提高電機效率，減小轉(zhuǎn)矩波動。

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