自適應光學系統校正后實際分辨率評價指標

衛沛鋒，劉欣悅，林旭東，董 磊，王鳴浩

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033;2.中國科學院大學，北京100049)

1 引言

為了獲取空間目標的清晰成像，地基望遠鏡口徑變得越來越大。但隨著其口徑增大而帶來的大氣對望遠鏡分辨能力的限制，使得自適應光學系統成為地基大口徑望遠鏡必不可少的技術單元［1-4］。在實際觀測中，由于觀測站點的大氣視寧度的限制和自適應光學系統自身能力的局限，自適應光學系統對于目標一般只能做到部分校正［5］，達不到衍射極限。空間目標(如衛星、火箭殘骸等)多是具有一定空間結構和細節的面目標。為達到空間監視的目的，人們更關心地基大口徑望遠鏡自適應光學系統對空間目標的實際分辨率。因此，選擇合適的指標來描述地基大口徑望遠鏡適應光學系統對空間目標的實際分辨率就顯得很有必要。

自適應光學系統校正的像差包括望遠鏡的靜態系統像差、裝調誤差、大氣湍流引起的動態像差等。自適應校正后波前探測器測量到的波前特征是實際分辨率評估的主要參考指標。目前常用的評價地基大口徑望遠鏡自適應光學系統實際分辨率的指標有［6-9］斯特列爾比(Strehl Ratio)、半高全寬(FWHM)、點擴散函數(PSF)、光學傳遞函數(OTF)、波前殘差(均方根值:RMS)等。Strehl Ratio、FWHM和PSF比較適合用來評價諸如恒星等點目標［8］的校正性能，對具有結構細節的空間面目標的校正性能評價就顯得無能為力。OTF可以全面描述望遠鏡系統對于目標不同空間頻率的分辨能力，但卻不是一個綜合性指標。RMS的適用性和實用性就相對比較寬泛［9］，但卻更傾向于對于畸變波前的實時校正能力的描述，與目標特征無關。另外，Dierickx［10］曾提出一個中央亮度比(Central Intensity Ratio，CIR)的概念，但適合描述點目標。Cagigal［11］提出一個廣義Fried參數來描述對目標自適應光學實際分辨率，但在實際工作中，完全良好校正的Zernike多項式項數難于確定，實際應用比較困難。因此，提出一個可以實時反映地基大口徑望遠鏡自適應光學系統對空間目標的實際分辨率的標量指標就顯得很有意義。

地基大口徑望遠鏡對空間目標的分辨，通常在自適應校正之后，還通過圖像處理等方法［12-13］進一步提高對目標的分辨能力。圖像處理對分辨能力的提升不在本文的探討范圍之內。本文僅探討自適應光學系統直接校正后實際分辨率的評價指標。本文基于望遠鏡自適應光學校正后的角分辨率和系統參數，提出了一個能夠實時描述地基大口徑望遠鏡自適應光學系統對空間目標實際分辨率的指標——可分辨單元數比(RCR)。

2 RCR的理論推導

當地基大口徑望遠鏡自適應光學系統用于空間目標監測時，一般比較關心獲取的空間目標的兩個特征:目標圖像大小和實際分辨率。目標圖像大小可用目標在成像相機上所成的像元數、線對或單元數來進行表征。實際分辨率是獲取的圖像可有效分辨的單元數的比率，這里用可分辨單元數比來表征。

僅考慮幾何光學而不考慮大氣湍流的影響，理論上目標在成像相機上所成的像元數可用目標對望遠鏡的張角與成像相機像元尺寸決定的最小角分辨率的比值來表示。目標對望遠鏡的張角為:

式中，l為目標尺寸，R為目標到望遠鏡的距離。目標識別中常以兩個像素作為一個分辨單元，則成像相機像元尺寸決定的最小角分辨率為:

式中，p為成像相機像元尺寸，f為系統焦距。理論上目標在成像相機上成的單元數為:

雖然似乎成像的單元數越多越好，但實際這些單元是否包含了我們所關心的目標結構信息，是與望遠鏡自適應光學系統對空間目標的實際分辨率息息相關。在實際觀測中，由于自適應光學系統的部分校正，目標實際可分辨的單元數一般小于目標理論上在成像相機上所成的單元數。因此，自適應光學系統對空間目標的實際分辨率的評價就可以用目標實際可分辨的單元數與其理論上在成像相機所成單元的比值來表示。這個比值被稱之為可分辨單元數比。

望遠鏡自適應光學系統部分校正后達到的角分辨率?ex可用下式進行估計:

式中，S為校正后的斯特列爾比。

當波前殘差σ小于2 rad時，斯特列爾比根據 Marechal近似可表示為［5］:

式中，σ為校正后成像相機端的波前殘差RMS值，單位為rad。由于實際波前探測器的探測波段與成像相機的成像波段不一致，所以歸一化到成像波段等效波長處的波前殘差RMS值σ為:

式中，σdet是去除傾斜后的波前探測器等效探測波長下的波前殘差RMS值;λdet為波前探測器等效探測波長;λ為成像相機等效波長。將式(6)代入式(5)可得:

式中，Sdet是波前探測器測量的斯特列爾比。目標實際可分辨的單元數可用目標張角與望遠鏡的實際角分辨率的比值來表征:

綜上可知，可分辨單元數比為:

式中，F=f/D。

3 可分辨單元數比的討論

可分辨單元數比不僅可以描述地基大口徑望遠鏡自適應光學系統對于空間目標的實際分辨率評價，而且它的推論還可拓展到其他方面。下面就可分辨單元數比的物理意義、適用范圍、誤差分析及大氣彌散的影響進行分析。

3.1 可分辨單元數比的物理意義及適用范圍

由式(9)可知，可分辨單元數比中不僅包含了實時校正后的斯特列爾比，還包含了望遠鏡系統參數，如成像相機像元尺寸，系統F數、成像及波前探測波長等。因此，可分辨單元數比可全面實時表征望遠鏡系統和自適應光學系統的特征。同時，物理意義也極為直觀:假設目標理論上在成像相機成10×10分辨單元，50%的RCR就表示實際只有5×5個單元能夠有效分辨，其中包含了我們關心的空間結構信息。

因0＜Sdet≤1，故0＜RCR≤1。當0＜RCR＜1時，表示對目標的實際分辨率尚未達到望遠鏡系統的能力極限;當RCR=1時，表示對目標的實際分辨率達到了系統極限;當RCR＞1時，表示對目標的實際分辨率超過了成像相機像元的空間分辨能力。此時需要對系統的參數進行修改，以避免系統能力的浪費。

圖1 恒星目標校正前后可分辨單元數比與波前殘差Fig.1 RCR and the rms of residual wavefront for a fixed star when AO uncorrected and corrected

圖2 可見光波段可分辨單元數比、斯特列爾比與波前殘差σ之間的關系Fig.2 RCR and Strehl Ratio comparing to the rms of residual wavefront in wave band of visible light

以中國科學院長春光學精密機械與物理研究所自主研發的1.23 m自適應光學望遠鏡對恒星目標的跟蹤為例。望遠鏡口徑為1.23 m，焦距為50 m，F數為40.7;波前探測器采用Shack-Hartmann，探測波段為500～700 nm，等效探測波長為632.8 nm;波前校正器采用自主研發的97單元壓電陶瓷變形鏡;成像波段為700～900 nm，成像等效波長為800 nm，成像相機像元尺寸為13 μm。對一顆恒星目標進行了觀測，校正前后的RCR與波前殘差σ如圖1所示。可看出，校正前后RCR的均值分別為1.55%、3.07%;波前殘差σ的均值分別為599 nm、340 nm。相對波前殘差RMS。RCR也能較好地表征畸變波前的改善，是評價自適應光學系統實際分辨率的有效指標。1.23 m望遠鏡在長春地區對恒星和衛星等目標觀測時，自適應光學系統校正后，波前探測器測量到的波前殘差σ多在0.5λ以下。對應的RCR與波前殘差σ與斯特列爾比之間的關系如圖2、圖3所示。從圖2、圖3可以看出，隨著波前殘差σ的增大，望遠鏡系統的RCR也迅速下降。當波前殘差σ達到瑞利判據1/14λ，對應的 Strehl Ratio達到81.77%，系統已可認為是完善時，RCR只有61.54%。注意到式(9)中，RCR的系數際是望遠鏡系統對香農采樣定理滿足程度。望遠鏡光學系統是按650 nm設計的，因此，對于等效成像波長在800 nm的成像效果來說等于1的話，此時歸一化到成像等效波長800 nm處的RCR為93.91%。說明:合理選取系統參數，對于望遠鏡自適應光學系統對于空間目標的實際分辨率指標RCR影響較大。只有0.655 3，這嚴重降低了RCR在σ達到瑞利判據時的值。如果

圖3 可見光波段可分辨單元數比與斯特列爾比之間的關系Fig.3 RCR comparing to Strehl Ratio in wave band of visible light

欲提高RCR，可通過在滿足香農采樣定理的前提下，盡量增大，即減小f和增大p來實現。但對于設計參數固定的望遠鏡系統來講，只能通過提高望遠鏡自適應光學系統的性能，進而增大Sdet來實現。由式(3)可知，減小f和增大p又會使得目標圖像大小Ntheo減小。這說明目標圖像大小Ntheo和實際分辨率RCR是一對互斥的物理量。如果以Ntheo和RCR的積作為指標考量的話，由式(9)和(3)可知，在自適應光學系統達到自身極限時，選擇波長小的成像波段和減小F數是切實可行的路徑。因此，在設計地基大口徑望遠鏡時，需要根據預定的科學任務目標，對目標圖像大小Ntheo和實際分辨率RCR兩個指標平衡考慮。

綜上可知，可分辨單元數比實質上是望遠鏡系統對香農采樣定理的滿足程度與自適應光學系統對空間目標的有效校正程度——斯特列爾比的函數。結合這兩個指標的可分辨單元數比可全面反映望遠鏡對空間目標自適應校正后的實際分辨率，且物理意義更為直觀。同時，可分辨單元數比是基于波前探測器測量到的波前特征——斯特列爾比推導得出的物理量，因此，可分辨單元數比適用于所有可以通過直接測量或間接計算如PD方法［14］得到成像端波前特征的情況。

3.2 可分辨單元數比的誤差及大氣彌散影響分析

對于設計參數固定的望遠鏡系統來說，RCR僅與波前探測器的波前測量誤差σM相關。由誤差傳遞理論可推得［15］，斯特列爾比Sdet對RCR的誤差的誤差傳遞系數為:

而Sdet的測量誤差取決于波前探測器的測量精度。σM對Sdet的誤差傳遞系數可由式(7)導出:

不同的自適應光學系統波前探測器可能不同。波前探測器采用Shack-Hartmann的σM的計算參見文獻［7］，代入式(12)即可得到σM對RCR的誤差傳遞系數;波前探測器采用剪切干涉儀時可同理導出。

目標在成像相機上的成像尺寸，由于受到大氣彌散的作用，實際往往大于僅受幾何光學限定的尺寸。

目標實際成像對系統張角的最大均方根s可用下式表征［16］:

式中，σt為目標受幾何光學限定的尺寸;σ1為光學系統成像引起彌散的均方根值;σ2為光學系統衍射分辨極限產生像點彌散的均方根值;σ3為像移造成角彌散的均方根值;σ4為探測器引起角彌散的均方根值;σ5為大氣抖動造成像點彌散的均方根值;σ6為積分時間內跟蹤系統造成角彌散的均方根值。但由可分辨單元數比的推導過程可知，目標的張角在獲取RCR的過程中被抵消，因此大氣彌散對于RCR實際并無影響。RCR與目標的物理尺寸、距離無關，是一個適用于所有空間目標，能夠有效評價望遠鏡自適應光學系統對空間目標實際分辨率的指標。

4 結論

本文基于望遠鏡自適應光學校正后的角分辨率和系統參數，提出了一個能夠實時描述空間目標自適應實際分辨率的指標——可分辨單元數比。可分辨單元數比可以全面反映望遠鏡自適應光學系統對于空間目標實際分辨率的描述，物理意義更直觀;就可分辨單元數比的適用范圍進行了討論，其適用于所有可直接或間接獲取成像端波前特征的情況;分析了可分辨單元數比的誤差因素，其誤差主要取決于波前探測器的測量誤差;大氣彌散對可分辨單元數比的表征無影響，且與目標的物理特征、距離無關。可分辨單元數比對地基大口徑望遠鏡對空間目標的自適應光學實際分辨率的實時評價有重要參考作用。

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