橢圓齒輪齒根過渡曲線擬合*

□ 劉永平 □ 王 鵬 □ 縣喜龍

蘭州理工大學 機電工程學院 蘭州 730050

一對相互嚙合的橢圓齒輪，因其機構緊湊、傳動平衡、能實現單向循環變速運動和一定要求的變速傳動［1～4］，在許多機械動力機構中都有應用并且在工業上的應用越來越廣，故對橢圓齒輪的設計與加工有了更高的要求［5,6］。目前，生成非圓齒輪齒廓的方案一般有兩種，一種是模擬實際加工的過程，用展成運動通過VC等來獲得包絡后的齒廓數據，并提取其齒廓數據至AutoCAD（CAXA）等軟件中對數據進行處理，然后在UG（Pro/E）等軟件中生成三維模型，并對其進行運動仿真，或在ANSYS（ADMAS）中進行動力學分析。另外一種方法是用折算齒形法來繪制非圓齒輪的漸開線齒廓。本文對生成橢圓齒輪齒廓的第二種方法進行了研究。

1 橢圓齒輪設計的理論基礎

1.1 橢圓齒輪的節曲線設計

橢圓齒輪的節曲線是比較常見的封閉型節曲線，如圖1所示，當橢圓齒輪的回轉中心在左焦點上O時，橢圓的極坐標方程為：

▲圖1 橢圓齒輪節曲線

圓齒輪的輪齒在分度圓上位置是可以任意分布的，但非圓齒輪的輪齒不能隨意分布，由于其兩個相互嚙合的非圓齒輪的節曲線的切點位置是一一對應的［7］，因此必須保證輪齒在非圓齒輪節曲線上均勻分布，即橢圓齒輪的輪齒須均勻地分布于其節曲線上。不失一般性，假設橢圓齒輪的齒數為z，模數為m，橢圓的節曲線的周長為L，即此三者必須滿足：

1.2 橢圓齒輪齒廓的數學模型

非圓齒輪的齒廓形狀可由齒形漸屈線的漸伸線來確定，而漸伸線可以由作圖法獲得，其理論基礎為根據漸屈線的求長法來確定漸伸線。但非圓齒輪節曲線的曲率中心和齒形漸屈線的曲率中心沒有公共軌跡，因此齒形漸屈線不可能是齒輪節曲線的法向等距線，所以求齒形的漸屈線并用數學方程量化的描述有困難［8］。故采取相對于上述齒形漸屈線的漸伸線較為簡單的折算齒形法來繪制橢圓齒輪的齒廓。

▲圖2 折算齒形法繪制橢圓齒輪齒廓

橢圓齒輪的齒形較漸開線圓齒輪要復雜得多，因為其任意一輪齒其左右齒形是不相同的。用折算齒形法生成橢圓齒輪的漸開線齒形的數學模型如圖2所示。圖中：O為橢圓齒輪節曲線中心也是坐標系YOX的坐標原點；ρ為折算齒形輪齒節曲線的曲率半徑；O1既是ρ的端點，又是坐標系Y1O1X1的坐標原點；A為折算齒形漸開線4上任意一點；B為漸開線齒形4在A點的法線與基圓6的交點；C為漸開線齒形的起點；μ為O1C與O1B的夾角；β為X軸與O1B的夾角；m、n分別為坐標系Y1O1X1的原點在坐標系YOX中的橫、縱坐標；1為橢圓齒輪的節曲線，2為齒頂曲線，3為折算齒形的左側漸開線，4為折算齒形的右側漸開線，5為曲率圓，6為基圓，7為齒根曲線。

對于漸開線右齒形4的方程在坐標系Y1O1X1中可描述為：

坐標系Y1O1X1中的坐標可以通過變換矩陣M01轉換至坐標系YOX中，即：

2 齒根過渡曲線的設計

齒根的過渡曲線對齒輪的嚙合性能沒有影響，當用滾刀或齒條刀加工漸開線齒輪時，齒根過渡曲線會自然生成［9］，但其對齒輪的齒根強度和壽命影響很大。如圖2所示，從漸開線的起點C至橢圓齒輪的齒根曲線是沒有漸開線的，即每一個折算后的輪齒，其基圓內無漸開線，故用折算齒形法繪制齒廓齒根過渡曲線，有時候是無法生成的，只能通過拾取已得到的漸開線上的數據來擬合，理論上只要拾取的數據足夠多，采取的方法合理，那么擬合的曲線就會有足夠的精度。

在圖2中提取折算齒形漸開線3、4上的點見表1，用其坐標點擬合的曲線如圖3、4所示。

圖3中3xy為15個提取的樣本點，quadratic為二次擬合曲線：

cubic為三次擬合曲線：

圖4中4xy為15個提取的樣本點，quadratic為二次擬合曲線：c

▲圖3 漸開線3上點的擬合曲線

▲圖4 漸開線4上點的擬合曲線

▲圖5 橢圓齒輪折算齒形漸開線

表1 漸開線3、4的坐標點/mm

ubic為三次擬合曲線：

通過上述圖形可知，其擬合曲線采用三次擬合曲線方程較為合理。

用折算齒形法繪制齒廓時，從圖5中可看到，在橢圓齒輪節曲線上不同點處，隨著曲率半徑的變化，漸開線至齒根曲線的距離是變化的，其趨勢為隨著曲率半徑的增加，折算齒形漸開線的起點至齒根曲線的距離在減小，這在用折算齒形法繪制三階橢圓時尤為明顯，如圖6所示。

因為圓齒輪分度圓大于基圓而齒頂圓大于齒根圓，但基圓和齒根圓的大小關系則不一定［10］。基圓直徑和齒根圓直徑分別為：

▲圖6 三階橢圓齒輪折算齒形漸開線

式中：ha*為齒頂高系數，一般為1；c*為頂隙系數，一般為0.25；α為刀具齒形角，一般為200。

當滿足：Df≥Db，即：

將參數代入式（12）得：z≥41.454，即 z≥42 時，用折算齒形法可以得到整個齒廓曲線。

3 實例計算與說明

以橢圓齒輪為例。

實例1：當各參數為橢圓長半軸a=21.046 1 mm、短半軸b=16.836 9 mm、偏心率 e=0.6、模數 m=2 mm、齒數z=19時，如圖5由對稱性只須擬合X軸上方輪齒的數據即可，用上述方法擬合的三次曲線方程為：

表2 實例1擬合曲線的系數

▲圖7 實例2橢圓齒輪折算齒形漸開線

▲圖8 橢圓齒輪三維模型

式中：A1、B1、C1、D1為 20 維的列向量矩陣數據，見表 2，表中1～10為圖5中輪齒序號,R、L為其對應齒的左右齒廓。

實例2：當各參數為橢圓長半軸a=30 mm、短半軸b=24 mm、偏心率 e=0.6、模數 m=2 mm、齒數 z=28時，由對稱性知只須繪制8個齒形即可，其順序如圖7所示，用上述擬合方法得到三次擬合曲線方程為：

圖中，1～8為折算齒形法生成的齒廓，9為三階橢圓齒輪齒根曲線，10為節曲線，11為齒頂曲線，A2、B2、C2、D2為20維的列向量矩陣數據，見表3。表中1～8為圖7中輪齒序號,R、L為其對應齒的左右齒廓。

在Pro/E中通過調節漸開線與擬合曲線的曲率，使兩者的曲線曲率能平滑過渡，得到的橢圓齒輪三維模型如圖8所示。

表3 實例2擬合曲線的系數

4 結論

（1）通過作圖與計算得到，當折算齒數大于41時，非圓齒輪的齒廓皆為漸開線。

（2）提出了用折算齒形漸開線的點來擬合齒根過渡曲線，并做了驗證。通過作圖得知：有的齒根曲線的擬合即使用上述三次曲線方程也得不到滿意的結果，但有時輪齒左右齒廓的擬合曲線中有一條是較為合理的，這時可通過曲率半徑的鏡像得到另一條擬合曲線，從而代替不理想的擬合曲線。用這種方法來獲取齒根過渡曲線計算量比較大，擬合曲線較復雜。

（3）通過其曲線曲率來控制，使擬合曲線與折算后的漸開線能平滑過渡，消除齒廓曲線的奇點比較復雜費時。

（4） 這種擬合過渡曲線的方法可用于高階橢圓齒根過渡曲線的生成。

（5）齒廓曲線方程給線切割加工的編程能有所指導。

［1］ 李華敏,李瑰賢.齒輪機構設計與應用［M］.北京:機械工業出版社，2007.

［2］ 武傳宇,金玉珍,賀磊盈.基于包絡特征的非圓齒輪齒廓計算方法研究［J］.中國機械工程,2008,19（15）:1796-1799.

［3］ 史勇.非圓齒輪加工法研究及斜齒非圓齒輪滾齒加工過程仿真［D］.上海：東華大學,2013.

［4］ 胡赤兵,姚洪輝.基于MATLAB及Pro/E的參數化非圓齒輪設計［J］.機械傳動,2010,34（7）:33-35.

［5］ 賀敬良,吳序堂,李建剛.變性橢圓齒輪連桿機構的運動特性及齒輪副設計［J］.機械工程學報,2004,40（1）:62-65.

［6］ 賀敬良,李建剛,王準,等.非圓齒輪的成形砂輪展成磨削原理［J］.農業機械學報,2007,38（10）:145-149.

［7］ 吳序堂,王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動［M］.北京:機械工業出版社,1997：40-42.

［8］ 李福生編譯.非圓齒輪［M］.北京:機械工業出版社,1975：49-58.

［9］ 姚文席.非圓齒輪設計［M］.北京:機械工業出版社,2013:71-73.

［10］磨齒工作原理編寫組.磨齒工作原理［M］.北京:機械工業出版社,1975:10-11.