應用多抽頭譜估計和小波變換的寬帶頻譜感知方法?

朱永建

（海軍駐蘇州地區通信軍事代表室 蘇州 215101）

1 引言

當前靜態頻譜分配政策導致了頻譜平均利用率低下的問題，認知無線電是一項有望解決該問題的智能無線通信技術。頻譜感知［1］是認知無線電的一項關鍵技術，其目的在于尋找當前未被主用戶占用的頻譜空穴，供認知無線電使用，因此其需要在很寬頻段內進行搜索，即寬帶頻譜感知。針對寬帶頻譜感知問題，目前研究人員已進行了大量研究，提出了一些頻譜感知方法［2］。這些方法可以歸納為兩種實現途徑，一種是將感知頻段劃分成多個窄帶，然后對各個窄帶進行判決，這種方法感知時間過長。另一種途徑是針對寬帶采樣后的信號，估計各個主用戶信號子帶的邊界，從而得到頻譜空穴。本文采用后一種途徑，提出了一種應用多抽頭譜估計和小波變換相結合的寬帶頻譜感知方法，仿真分析了該方法的性能。相對于周期圖估計功率譜再利用小波變換的方法，本文方法具有更好的性能。

2 多抽頭譜估計

周期圖譜估計是一種常用的非參數功率譜估計方法，給定時間序列x（n），n＝0，1，…，N－1，周期圖采用式（1）對功率譜進行估計：

為降低估計方差，還可采用如下平均周期圖估計：

其中N／L為將x（n）順序均勻劃分的分段數，每段包含L個數據，段與段之間不重疊。

在實際中，周期圖法可以用FFT實現，由于其實現簡單，周期圖法獲得了廣泛的應用。但是不可避免地存在缺陷，即無法解決估計偏差與方差的矛盾。那么，如何才能通過減少加窗引入的信息丟失來解決該矛盾？答案即為采用多個正交抽頭（窗），即為 多 抽 頭 譜 估 計 方 法［3］（multi－taper spectrum estimation，MTSE）的核心思想。多抽頭譜估計使用的窗為Slepian序列，有時也被稱為離散扁長球面小波函數［4］。Slepian序列的重要特征在于有限點數約束下它們的Fourier變換在帶寬2W 內具有最大的能量集中度。這使得可以利用譜分辨率來交換譜特征，即可以在不增加估計偏差的情況下減少譜估計方差。換句話說，原有的偏差與方差的折中變成了偏差與分辨率的折中。因此，多抽頭方法可以得到期望功率譜的準確估計。

令n表示離散時間，給定時間序列x（n），n＝0，1，…，N－1，MTSE估計采用式（3）：

K為可控制多抽頭譜估計方差的自由度。參數Co以及K的選擇提供了譜分辨率、偏差、方差之間的折中。偏差在很大程度上由最大特征值ρ0（N，W）決定，其值由下式近似給定：

式（5）給出了總旁瓣能量。總旁瓣能量隨著Co的增加快速減少。基于前幾個具有最小旁瓣泄露的特征譜的譜估計由式（6）給定：

雖然低階的特征譜具有很好的偏差性能，但是隨著階數K趨近于式（4）定義的極限值，特征譜的性能逐漸下降。文獻［5］中采用一系列自適應權重｛dk（f）｝來降低高階特征譜的影響。采用均方誤差優化過程，得到如下權重公式：

其中，S（f）為真實功率譜，Bk（f）為第k個特征譜的寬帶偏差，E［·］表示求均值，并且具有如下關系：

其中，σ2為方差：

為采用式（7）計算dk（f），需要知道真實功率譜S（f）。顯然，如果知道真實功率譜，就不需要進行任何譜估計了。式（7）的作用在于可以建立一個迭代過程用來進行自適應譜估計：

由此，可以得到如下遞推式：

自適應譜估計得到的另一個有用參數是估計的穩定性度量，即：

3 寬帶頻譜感知方法

3.1 功率譜密度的小波變換

在頻譜感知的應用中，小波變換［6］用來分析功率譜密度。令φ（f）表示具有m消失矩的緊支撐小波平滑函數，其m階可微。φ（f）由尺度因子s擴展后為

對于二進制尺度，s取2的指數次，即s＝2j，j＝1，2，…，J。令＊表示卷積運算，功率譜密度Sx（f）的連續小波變換為

注意式（16）是針對功率譜Sx（f）進行計算的。從接收信號x（t）得到WsSx（f）有兩種途徑。一種是先計算x（t）的自相關函數Rx（τ）＝E｛x（t）x（t＋τ）｝，然后計算Rx（τ）的Fourier變換得到Sx（f），最后根據式（16）得到WsSx（f）。另一種途徑則是先求φs（f）的Fourier反變換得到Φs（τ），并計算Rx（τ）＝E｛x（t）x（t＋τ）｝，然后求得Rx（τ）·Φs（τ），最后求Rx（τ）·Φs（τ）的Fourier變換得到WsSx（f）。

3.2 基于多抽頭譜估計和小波變換的感知方法

寬帶頻譜感知最為關鍵的問題是如何估計得到各個子帶的邊界｛fn｝。PSDSx（f）在尺度s下的邊界不規則點定義為WsSx（f）的局部劇烈變化點。函數的邊界通常由其導數的形狀表征。WsSx（f）的一階導數為

其中F｛·｝表示Fourier變換。一階導數的局部極值點反映了待分析信號（功率譜）的不規則（畸變）特征［6～7］。因此，可以通過尋找一階導數絕對值的局部極大值點來確定各個子帶的頻率邊界［7］，即：

在邊界突變劇烈的情況下，W′sSx（f）的局部極值點是能很好反映Sx（f）的突變特性，但是，當邊界變換緩慢或受噪聲影響嚴重的情況下，W′sSx（f）的局部極值點就不能很好地與Sx（f）的突變位置匹配，此時WsSx（f）的局部極值點更能反映Sx（f）的邊界。因此，可以采用如下多尺度小波積［8］：

頻率邊界｛fn｝表現為｜VJSx（f）｜的局部極大值點。Sx（f）的各個子帶邊界通常具有不同的傾斜度，如果采用同一組尺度｛sj｝進行分析，則可能會漏掉一些邊界。一種解決途徑是采用多組尺度進行分析，然后再對各組尺度下估計所得的邊界進行合并。

4 仿真分析

以下對本文方法性能進行仿真分析，仿真采用Haar小波，主用戶信號為BPSK和QPSK信號，個數為3。圖1給出了多尺度小波一階導數積以及多尺度小波積的性能比較。其中圖1（a）是周期圖譜估計結果，圖1（b）是多抽頭譜估計結果，對比可知，多抽頭譜估計更好地保持了功率譜子帶邊界的突變特性。圖1（c）是針對多抽頭譜估計進行小波變換的結果，圖1（d）是最終找到的邊界。由圖可知多尺度小波積在第三組尺度下（s＝2j，j＝7，8，9，10）找到了各個子帶的邊界。

圖1 多組尺度下小波（一階導數）積

5 結語

寬帶頻譜感知是認知無線電的一項關鍵技術。本文在討論多抽頭譜估計和小波變換的基礎上，給出了一種結合多抽頭譜估計和小波變換的寬帶頻譜感知方法，利用了多尺度小波積。仿真結果表明在功率譜子帶邊界突變不是非常劇烈的情況下，該方法能夠找到主用戶信號頻率邊界，從而找到頻譜空穴。

［1］S.Haykin.Cognitive radio：Brain－empowered wireless communications［J］.IEEE J.Sel.Areas Commun.，2005，23（2）：201－220.

［2］T.Yucek，H.Arslan.A survey of spectrum sensing algorithms for cognitive radio applications［J］.IEEE Communications Surveys ＆ Tutorials，2009，11（1）：116－130.

［3］S.Haykin，D.J.Thomson，J.H.Reed.Spectrum sensing for cognitive radio［J］.Proceedings of the IEEE，2009，97（5）：849－877.

［4］D.Slepian.Prolate spheroidal wave functions，Fourier analysis，and uncertainty v：The discrete case［J］.Bell Syst.Tech.J.，1989，57：1371－1429.

［5］D.J.Thomson.Spectrum estimation and harmonic analysis［C］／／Proc.IEEE，1982，70：1055－1096.

［6］S.Mallat，W.Hwang.Singularity detection ＆ processing with wavelets［J］.IEEE Trans.Info.Theory，1992，38：617－643.

［7］Z.Tian，G.B.Giannakis.A wavelet approach to wideband spectrum sensing for cognitive radios［J］.CrownCom，2006：1－5.

［8］E.P.L.de Almeida，P.H.P.de Carvalho，P.A.B.Cordeiro，et al.Experimental study of a waveletbased spectrum sensing technique［J］.IEEE Asilomar，2008：1552－1556.