圓柱齒輪分扭傳動系統的配齒研究

李枝軍，朱如鵬，鮑和云，靳廣虎

(南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京，210016)

圓柱齒輪分扭傳動系統在航空、船舶等傳動系統中具有良好的應用前景。同行星齒輪傳動相比，采用圓柱齒輪分扭傳動系統實現扭矩分流，傳動零部件少，因此結構簡單，可靠性好，且終端減速比大，可有效減小主減傳動系統的質量。自20世紀80年代以來，國外學者對其進行了多方面的研究。White[1]研究了圓柱齒輪分扭傳動系統的構型特點，并在傳動效率、可靠性、質量及噪聲等方面與行星齒輪傳動進行了對比。Rashidi等[2?7]對具有平衡梁的圓柱齒輪分扭傳動系統進行了動力學分析。Krantz等[8?10]提出了一種不使用均載裝置的均載設計方法，并進行了實驗研究。Gmirya等[11?12]研究了采用彈性元件的均載方法。Wolff等[13?15]對圓柱齒輪分扭傳動系統在航空、船舶等領域的應用進行了進一步研究。鑒于圓柱齒輪分扭傳動系統的諸多優勢及其廣闊的應用前景，國內學者也相應開展了研究，李杰等[16?21]在配齒、參數優化和動力學特性等多方面取得了一定的研究成果。圓柱齒輪分扭傳動系統獨特的構型特點，使其在配齒條件及方法上有異于傳統的行星齒輪傳動配齒。本文作者 根據其構型特點，并考慮配齒結果對系統動力學特性的影響，討論了該系統應滿足的配齒條件，提出了3種不同的配齒方法，推導了相應的配齒公式，并分別進行了相應的配齒計算分析，為圓柱齒輪分扭傳動系統的設計提供了必要的理論依據。

1 圓柱齒輪分扭傳動系統的配齒條件

圓柱齒輪分扭傳動系統的構型如圖1所示。輸入齒輪G1同時與齒輪G2L和齒輪G2R(統稱為G2)嚙合，實現扭矩的分流；齒輪 G3L和齒輪 G3R(統稱為 G3)同時與輸出齒輪G4嚙合，實現扭矩的匯流。因此，傳遞的轉矩或功率被分流成2支，每個分支僅傳遞其原載荷的1/2。齒輪的大小是由嚙合力決定的，因此基于分扭傳動技術的齒輪節圓直徑可以大大減小，進而大幅度降低了齒輪的線速度，使整個輪系的體積和質量明顯減少。由于輸入齒輪G1通過2個分支來驅動輸出齒輪G4，有一個分支對傳遞運動不起獨立作用，引入了虛約束，因此，在配齒時必須考慮虛約束的影響。在確定圓柱齒輪分扭傳動的各輪齒數、位置角等系統參數時，除了滿足給定的傳動比外，還應滿足與其裝配有關的鄰接條件、同心條件和安裝條件。此外，還要考慮與其性能有關的同步嚙合條件。

圖1 圓柱齒輪分扭傳動系統Fig. 1 Split torque transmission system

1.1 傳動比條件

設輸入齒輪G1的齒數為z1，齒輪G2的齒數為z2，齒輪G3的齒數為z3，輸出齒輪G4的齒數為z4，則系統的總傳動比i為

式中：第1級傳動比i1=z2/z1，第2級傳動比i2=z4/z3。

設系統的輸入轉速為n1，輸出轉速為n3，則系統的給定傳動比ig=n1/n3。在一般情況下，實際傳動比與給定傳動比存在一定誤差 Δi，其許用值[Δi]一般取4%[22]，即圓柱齒輪分扭傳動系統的傳動比條件為

1.2 鄰接條件

為使圓柱齒輪分扭傳動系統各齒輪之間不產生相互碰撞，必須保證齒輪 G2L和齒輪G2R的齒頂圓之間有一定的間隙。設兩分支與輸入齒輪 G1的位置角為αp，兩分支與輸出齒輪 G4的位置角為αg，則αg取最小值和最大值時系統的極限排布圖分別如圖2和圖3所示。圖中，di(i=1，2，3，4)和dai(i=2)分別為齒輪Gi(i=1，2，3，4)的分度圓和齒頂圓直徑。由圖2和圖3可知，圓柱齒輪分扭傳動系統的位置排布必須滿足以下不等式：

1.3 同心條件

如圖2所示，圓柱齒輪分扭傳動系統的同心條件為兩分支齒輪G2與齒輪G3的旋轉軸線必須與雙聯軸的軸線重合。因此系統需滿足下式：

將各齒輪分度圓直徑代入上式，得到圓柱齒輪分扭傳動系統的同心條件為：

結合同心條件和鄰接條件可以看出，給定齒輪的基本參數后，并不能完全確定2個位置角αp和αg，但可以計算位置角的取值范圍。結合安裝條件及同步嚙合條件，通過選擇不同的配齒方法，就可以進一步討論位置角的取值。

圖2 αg最小時的結構示意圖Fig. 2 Schematic of minimum system position angle αg

圖3 αg最大時的結構示意圖Fig. 3 Schematic of maximum system position angle αg

1.4 安裝條件

為了描述系統安裝條件的需要，定義了雙聯齒輪的相位角φ。如圖4所示，設小齒輪G3標記齒的承載面齒廓同節圓的交點為A，大齒輪G2標記齒的承載面齒廓同節圓的交點為B，則相位角φ為雙聯齒輪圓心與此交點連線OA和OB之間的夾角，且齒輪G2的標記齒逆時針方向至齒輪G3的標記齒為正。

考慮到生產、使用及維護成本，兩分支的雙聯齒輪應具有互換性，即左、右分支的雙聯齒輪應完全一樣。假設兩分支雙聯齒輪在圖示位置的相位角分別為φ1和φ2，要想滿足互換性，則左分支雙聯齒輪上的某位置也必然有一個和右分支相等的相位角φ2，如圖5所示。

圖4 雙聯齒輪相位角示意圖Fig. 4 Schematic of phase angle of double-gear

圖5 系統兩分支雙聯齒輪的相位角示意圖Fig. 5 Schematic of phase angle of two paths

左分支雙聯齒輪的相位角關系如圖6所示。其中，θ2為雙聯齒輪中齒輪G2單個齒距對應的角度；θ3為雙聯齒輪中齒輪G3單個齒距對應的角度。由圖6得出圓柱齒輪分扭傳動系統的安裝條件為

式中：l2和l3為整數，且?z2≤l2≤z2，?z3≤l3≤z3。

圖6 左分支雙聯齒輪相位角示意圖Fig. 6 Schematic of phase angle of left path

1.5 同步嚙合條件

圓柱齒輪分扭傳動系統兩分支時變嚙合剛度的相位差如圖7所示。文獻[7]研究結果表明，兩分支的嚙合相位差是影響分扭系統動態響應的重要參數，在相位差角為0°時，兩分支的嚙合剛度同步變化，系統的振動能量最小。因此，對圓柱齒輪分扭傳動系統來說，為實現傳動平穩和減振降噪，希望兩分支在傳動過程中嚙合剛度同步變化，即滿足同步嚙合條件。

為滿足同步嚙合條件，從幾何關系上來說，必須保證位置角αp對應的輸入齒輪節圓弧段和位置角αg對應的輸出齒輪節圓弧段均包含整數個齒距，如圖8所示。設齒輪G1單個齒距對應的角度為θ1，齒輪G4單個齒距對應的角度為θ4，則圓柱齒輪分扭傳動系統的同步嚙合條件為

式中：k1和k4為整數，且 0＜k1＜z1，0＜k4＜z4。

圖7 兩分支時變嚙合剛度的相位差Fig. 7 Mesh phase of time-varying mesh stiffness

圖8 兩分支同步嚙合示意圖Fig. 8 Schematic of synchromesh

2 圓柱齒輪分扭傳動系統的配齒分析

傳動比條件、同心條件、安裝條件及鄰接條件是系統必須滿足的基本配齒條件；同步嚙合條件是為了提高系統性能的附加配齒條件，并不影響系統的安裝和運轉。研究發現系統滿足基本配齒條件時，很難完全實現同步嚙合，因此，需要針對不同的使用需求對配齒條件進行取舍，滿足安裝和運轉要求的配齒方法主要有 4種：(1) 滿足基本配齒條件和同步嚙合條件的配齒方法；(2) 僅滿足基本配齒條件的配齒方法；(3)滿足同步嚙合條件但雙聯齒輪不能互換的配齒方法；(4) 滿足基本配齒條件且近似滿足同步嚙合條件的配齒方法。

2.1 滿足基本配齒條件和同步嚙合條件的配齒方法

同步嚙合條件對系統的動力學特性影響很大，所以首先考慮完全滿足同步嚙合條件的配齒方法。

假設系統滿足同步嚙合條件，即位置角αp和αg均包含整數個齒，調整輸入、輸出齒輪，可使系統兩分支第 1級、第 2級齒輪均在節點處嚙合，如圖 9所示。

圖9 第1種方法配齒示意圖Fig. 9 Schematic of the first tooth matching method

根據相位角的定義，φ1=αs，φ2=?αs，代入式(4)可得

由圖9可見，齒輪的中心連線組成四邊形，因此，

將式(5)和式(6)代入式(7)得

式中，θi= 2π/zi(i=1，2，3，4)，θi為相應齒輪 Gi(i=1，2，3，4)單個齒距對應的角度。

令k2=?l2，k3=?l3，代入式(8)可得滿足第 1 種方法的配齒公式為

式中，0＜k1＜z1；?z2≤k2≤z2；?z3≤k3≤z3；0＜k4＜z4。k1和k4可根據系統的鄰接條件及同步嚙合條件進一步縮小取值范圍。

此方法配齒難度大，配齒過程較復雜，其配齒計算流程圖如圖10所示。其中，m1為第1級齒輪模數；m2為第2級齒輪法面模數；β為第2級齒輪螺旋角。

圖10 第1種方法配齒流程圖Fig. 10 Flow chart of the first tooth matching method

根據以上分析，對第1種方法就某直升機主減速器圓柱齒輪分扭傳動系統進行了計算。其主要參數如下：輸入轉速n1為7 050 r/min，輸出轉速n3為220 r/min，輸入功率P1為500 kW，工作壽命為40 000 h。齒輪材料選用18Cr2Ni4WA滲碳淬火鋼，6級精度。

將初始條件輸入圓柱齒輪分扭傳動系統的優化設計軟件，以質量最小為目標函數對系統進行優化設計，圓整后的系統參數如表1所示(第2級采用人字齒輪)。

經計算發現，表1給出的齒數不能滿足配齒公式(9)，因此，需對齒數進行微調，將z2調整為 70，z4調整為 126。系統的給定傳動比為 32.045，調整前的實際傳動比為32.099，傳動比相對誤差為0.2%；調整后的實際傳動比為32.308，傳動比相對誤差為0.8%，符合傳動比條件。

表1 優化設計結果Table 1 Optimization results

按式(9)對調整后的齒數執行搜索，得到了3組有效解，如表2所示。結合式(5)可以看出，k1和k4是位置角αp，αg對應節圓弧段包含的齒距數。經驗證，3組解均滿足鄰接條件和強度要求，可根據具體要求從中選擇。

表2 第1種方法的有效解Table 2 Effective solution of the first tooth matching method

2.2 僅滿足基本配齒條件的配齒方法

經計算分析，要滿足配齒式(9)需要根據傳動比條件對系統各齒輪的齒數進行微調，若對各齒輪齒數進行微調后，仍找不到有效解，則需要一個折中的配齒方法。考慮到同步嚙合條件僅是性能條件，因此在配齒時可以先不考慮，最后在結果中尋找近似滿足同步嚙合條件的解。

如圖8所示，若不滿足同步嚙合條件，則調整輸入、輸出齒輪，可使系統左分支第1級、第2級齒輪在節點處嚙合。則系統左分支的相位角φ1為

設位置角αp包含的輸入齒輪節圓弧段的弧長對應到齒輪G2R上的角度為αps，位置角αg包含的輸出齒輪節圓弧段的弧長對應到齒輪 G3R上的角度為αgs，則：

將式(10)～(13)代入式(4)，并聯立式(7)可得滿足第2種方法的配齒公式為

式中：l2和l3為整數，且?z2≤l2≤z2，?z3≤l3≤z3。

按此方法配齒的計算步驟如下：

(1) 根據系統給定條件得到初步設計參數。

(2) 由同心條件和鄰接條件確定位置角αp和αg的取值范圍。

(4) 聯立式(3)和(14)求解，得到位置角αp和αg的所有解，從中選擇位置角包含的齒數最接近整數的解。

根據以上分析，對第2種方法進行了計算，初始條件見表1。計算位置角αp和αg的取值范圍并求解配齒式(14)，得到共520組有效解。

表 3所示為所有Np最接近整數的解。其中，Np為位置角αp對應節圓弧段包含的齒距數，Ng為位置角αg對應節圓弧段包含的齒距數。從表3可以看出：第2組解最接近同步嚙合條件。

表3 第2種方法的部分有效解Table 3 Effective solution of the second tooth matching method

2.3 滿足同步嚙合條件但雙聯齒輪不能互換的配齒方法

安裝條件中的互換性要求主要考慮的是工程實際中生產及維護成本，理論上系統可以不具有互換性。如果按第1種方法配齒沒有有效解，系統又必須完全滿足同步嚙合條件，可以考慮取消安裝條件中的互換性要求，此時，式(5)即為滿足第3種方法的配齒公式。

按此方法配齒的計算步驟如下：

(1) 在位置角αp和αg的取值范圍內，尋找滿足式(5)的位置角αp，然后尋找滿足式(5)且最接近同心條件的位置角αg。

(2) 將位置角αp和αg代入同心條件，調整齒輪參數(m1，m2，β)。

(3) 由同心條件和鄰接條件重新確定位置角αp和αg的取值范圍，選取在位置角取值范圍內的解。

根據以上分析，對第3種方法進行了計算，初始條件同表1。根據位置角αp和αg的取值范圍，原則上應有20組有效解。表4所示為其中7組對模數改變較小的有效解。

表4 第3種方法的部分有效解Table 4 Effective solution of the third tooth matching method

2.4 滿足基本配齒條件且近似滿足同步嚙合條件的配齒方法

由表2和3的計算結果可知：在執行第2種方法時，很可能所有的解中均沒有近似滿足同步嚙合條件的解。這時如果系統需要高度近似滿足同步嚙合條件，就不能采用第2種方法了。但是在第2種方法所有520組解中，其實每2個解之間位置角的角度間隔很小，其中αp為 0.08°，αg僅 0.03°。故此可以結合配齒第 2種方法和第3種方法，先執行配齒第3種方法，得到滿足同步嚙合條件的齒輪參數，然后執行配齒第2種方法，即可得到位置角αp和αg包含的齒數均非常接近整數的解。

按此方法配齒的計算步驟如下：

(1) 執行第3種方法，從中選擇合適的解。

(2) 將該解代入第 2種方法計算，得到高度接近同步嚙合條件的解。

根據以上分析，對第4種方法進行了計算，初始條件同表1。在表4中選擇模數改變最小的第1組代入第2種方法計算，得到的結果見表5。從表5可以看出：其配齒結果已經非常接近同步嚙合條件下的結果。

表5 第4種方法的部分有效解Table 5 Effective solution of the fourth tooth matching method

3 結論

(1) 配齒第 1種方法能滿足同步嚙合條件，但配齒難度大，需要對系統各齒輪的齒數和模數進行微調。

(2) 配齒第 2種方法不需要調整系統各齒輪的齒數和模數；但不能滿足同步嚙合條件。

(3) 配齒第 3種方法能滿足同步嚙合條件，不需要調整系統各齒輪的齒數，但兩分支的雙聯齒輪不能互換，維護成本高，且需要對系統各齒輪的模數進行微調。

(4) 配齒第4種方法綜合考慮了配齒第2種方法和第3種方法，此方法能高度接近同步嚙合條件，是在配齒第1種方法不能實現時的優選方法。

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