模型及參數(shù)不確定下鋼筋銹蝕率動(dòng)態(tài)演進(jìn)分析

張建仁 ，馬亞飛 ，王磊

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 橋梁工程湖南省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410114;2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410114)

鋼筋銹蝕會(huì)造成截面積減少、性能改變，嚴(yán)重時(shí)將導(dǎo)致混凝土順筋開裂，是導(dǎo)致混凝土橋梁可靠性下降和耐久性退化的主要原因之一[1]。鋼筋銹蝕量預(yù)測(cè)是既有鋼筋混凝土橋梁性能評(píng)估的前提，已成為服役混凝土橋梁耐久性研究的關(guān)鍵問題之一。混凝土橋梁中的鋼筋銹蝕是一個(gè)電化學(xué)過程，銹蝕時(shí)間與速率決定銹蝕量。目前，引起鋼筋銹蝕的自然環(huán)境和材料內(nèi)部等因素尚未完全被認(rèn)知，一些學(xué)者基于半經(jīng)驗(yàn)、半理論的方法，以銹蝕鋼筋的質(zhì)量或截面積損失率表征其銹蝕程度，提出了鋼筋銹蝕率的預(yù)測(cè)模型[2?3]。姬永生等[4?6]對(duì)腐蝕速率的時(shí)變規(guī)律及預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了相關(guān)研究。Val等[7]提出了考慮氯離子擴(kuò)散理論模型和臨界氯離子濃度等影響因素的鋼筋銹蝕初始時(shí)間評(píng)估方法。這些模型尚未考慮不確定性的影響，各公式也存在局限性。袁迎曙等[8]提出了鋼筋銹脹開裂前、后的鋼筋銹蝕量分布模型表達(dá)式。宋志剛等[9]通過銹蝕路徑概率模型，研究了不同時(shí)刻銹蝕率概率分布函數(shù)的時(shí)變過程。從概率角度建立銹蝕模型在一定程度上彌補(bǔ)了檢測(cè)手段難以獲得完備信息的缺陷。王磊等[10]考慮模糊性和隨機(jī)性因素影響，模擬了鋼筋截面積均值和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)變特征。上述研究均假設(shè)鋼筋銹蝕為一特定形態(tài)，但實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)中影響鋼筋銹蝕因素復(fù)雜且多變，鋼筋銹蝕形態(tài)可能發(fā)生改變。服役橋梁的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是結(jié)構(gòu)后繼服役期銹蝕率預(yù)測(cè)的最真實(shí)信息。但有時(shí)數(shù)據(jù)樣本少、不確定性大，若能把有限的實(shí)測(cè)信息與先驗(yàn)信息結(jié)合起來，將有助于減小主觀不確定性的影響。信息更新為解決該類問題提供了有效手段，近年來在一些領(lǐng)域得到了應(yīng)用。Enright等[11]對(duì)結(jié)構(gòu)體系更新前后的累積失效概率進(jìn)行了分析，討論了不同先驗(yàn)分布對(duì)結(jié)果的影響。Zhang等[12]通過無損檢測(cè)獲得了裂縫寬度的信息，對(duì)疲勞可靠度計(jì)算模型的選擇權(quán)重進(jìn)行了更新。張俊芝等[13]研究了服役結(jié)構(gòu)抗力影響因子概率特性的Bayes方法。衛(wèi)軍等[14]采用實(shí)測(cè)信息對(duì)抗力分布參數(shù)等進(jìn)行了更新。劉書奎等[15]提出了橋梁結(jié)構(gòu)基于貝葉斯更新物理參數(shù)的剩余強(qiáng)度估計(jì)兩步法。目前對(duì)鋼筋銹蝕量預(yù)測(cè)尚無普適性很好的模型，結(jié)合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)既有模型和參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新是一種較好的方法。本文作者針對(duì)氯離子腐蝕環(huán)境，以一座具有檢測(cè)信息的拆除的服役鋼筋混凝土橋梁為工程背景，考慮鋼筋銹蝕形態(tài)發(fā)生的可能性，采用信息更新的方法，建立了既有RC橋梁中鋼筋銹蝕率的演進(jìn)分析框架，通過與拆除構(gòu)件中鋼筋實(shí)測(cè)銹蝕率進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 混凝土橋梁中鋼筋銹蝕

1.1 鋼筋銹蝕初始條件

氯離子侵蝕環(huán)境下的鋼筋混凝土橋梁，當(dāng)鋼筋表面氯離子濃度達(dá)到臨界濃度時(shí)鋼筋開始銹蝕，對(duì)應(yīng)的時(shí)間為銹蝕初始時(shí)間。氯離子在混凝土中擴(kuò)散符合Fick第二擴(kuò)散定律，銹蝕初始時(shí)間Ti可表達(dá)為[7]：

式中：Dc為擴(kuò)散系數(shù)；C0為混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)；erf為誤差函數(shù)；C為保護(hù)層厚度(cm)；Ccr為臨界氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

1.2 銹蝕發(fā)展

鋼筋銹蝕開始后，表面銹層逐漸發(fā)展。根據(jù)鋼筋表面形態(tài)，銹蝕可分為均勻銹蝕和局部銹蝕，或兩者的疊加。在銹蝕發(fā)展時(shí)間t?Ti內(nèi)，鋼筋銹蝕率ρ可表達(dá)為

式中：As為鋼筋原始截面積；ΔAs為銹蝕截面損失，需按不同銹蝕形態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

1.2.1 均勻銹蝕

均勻銹蝕中，鋼筋的直徑D(t)可用下式計(jì)算[16]：

即：

于是，均勻銹蝕的鋼筋截面積A(t)為

1.2.2 局部銹蝕

隨銹蝕的發(fā)展，其不均勻性和離散性逐漸增大，銹損鋼筋的表面凹凸不平，形成很多銹坑。局部銹蝕下銹坑近似呈半球形，鋼筋表面銹坑深度p(t)可由下式計(jì)算[17]：

式中：R為銹蝕不均勻系數(shù)，通常在4～8之間取值。銹蝕電流密度icorr(t)[18]為

式中：icorr為銹蝕電流密度，μA/cm2；w/c為水灰比；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度。聯(lián)立上述方程，得

在銹坑深度已求得的情況下，鋼筋剩余面積計(jì)算參見文獻(xiàn)[6]。

1.2.3 不同銹蝕形態(tài)下鋼筋截面積減小

現(xiàn)有研究[10,17?18]多假設(shè)局部銹蝕和均勻銹蝕2種形態(tài)分別發(fā)生，然而這僅是理想狀況。實(shí)際工程中，由于材料的不均勻性和環(huán)境的不確定性，上述2種銹蝕分別發(fā)生的概率較小，多為同時(shí)發(fā)生，如圖1所示。

圖1 鋼筋銹蝕Fig. 1 Corrosion loss of reinforcement

2種銹蝕形態(tài)發(fā)生的可能性或比例決定鋼筋銹蝕率預(yù)測(cè)結(jié)果。為合理解決該問題，通過權(quán)重綜合考慮局部銹蝕與均勻銹蝕發(fā)生的可能性，銹蝕率表達(dá)式為

式中：ρ1和ρ2分別為局部銹蝕與均勻銹蝕下的銹蝕率；P(M1)和P(M2)分別為局部銹蝕與均勻銹蝕發(fā)生的概率，即2種形態(tài)下模型權(quán)重。

2種銹蝕形態(tài)發(fā)生概率及模型物理參數(shù)需結(jié)合實(shí)橋檢測(cè)數(shù)據(jù)，基于信息更新的方法確定。

2 銹蝕模型選擇及參數(shù)更新基本原理

銹蝕的不確定性有2層含義：銹蝕自身的隨機(jī)性和認(rèn)知不完善導(dǎo)致的不確定性。前者主要為模型參數(shù)的不確定性，環(huán)境的差異導(dǎo)致參數(shù)有時(shí)不能直接獲得，需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定，存在一定主觀性。后者主要涉及模型的選擇，銹蝕問題復(fù)雜且銹蝕形態(tài)也有不同特點(diǎn)，選擇哪一種計(jì)算模型難以確定。Bayes方法將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息融入到統(tǒng)計(jì)推斷中，進(jìn)而更新模型參數(shù)和模型選擇，提高銹蝕預(yù)測(cè)精度。

對(duì)于橋梁中鋼筋銹蝕的某一影響因子Θ，無實(shí)測(cè)值時(shí)該因子的先驗(yàn)分布為 π(θ)，若該因子有實(shí)測(cè)值x樣本，其似然函數(shù)(條件密度函數(shù))為p(xθ)，則Θ的后驗(yàn)分布密度函數(shù)為π(θx)為

若θ為離散隨機(jī)變量，則先驗(yàn)分布可用先驗(yàn)分布列π(θi)，i=1，2，3，…表示，此時(shí)后驗(yàn)分布也是離散形式：

上述理論可有效地對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行更新，而實(shí)際中往往存在多種模型可能適用的情況，這同樣可以通過Bayes理論得到解決。

對(duì)于混凝土橋梁，假設(shè)描述銹蝕率ρ的模型為M，模型M有m種選擇：{M1，M2，M3，…，Mm}，每種選擇模型Mi中參數(shù)的隨機(jī)變量θi=[θi1，θi2，…，θin]T，則銹蝕率的邊際分布為[12]：

式中，P(Mi)為銹蝕模型Mi的概率分布，即發(fā)生的權(quán)重；π(θixi)為模型Mi參數(shù)的先驗(yàn)分布；P(ρθi，Mi)為在模型Mi下發(fā)生的條件概率。

若P(Ki)為模型與參數(shù)(Mi，θi)組合的先驗(yàn)概率：

某時(shí)刻銹蝕率的觀測(cè)值為x，模型與參數(shù)(Mi,θi)組合的后驗(yàn)概率：

通過對(duì)式(8)進(jìn)行積分，可得到模型Mi的后驗(yàn)概率為：

通過上述過程中式(11)～(12)可實(shí)現(xiàn)對(duì)影響參數(shù)的更新，而依據(jù)式(13)～(16)可得到模型的更新結(jié)果。

3 銹蝕率預(yù)測(cè)方法及流程

本文將橋梁服役期銹蝕率預(yù)測(cè)分為2個(gè)過程：首先，利用Bayes方法將參數(shù)檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行更新；然后，基于參數(shù)更新后的結(jié)果，融入銹蝕率實(shí)測(cè)信息，進(jìn)一步獲得銹蝕模型權(quán)重，得到銹蝕率的后驗(yàn)?zāi)Ｐ停M(jìn)而對(duì)銹蝕率進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體步驟如下：

(1) 視氯鹽環(huán)境下影響鋼筋銹蝕各隨機(jī)參數(shù)為θi，i=1，2，3，…，根據(jù)參數(shù)的初始資料(如設(shè)計(jì)圖紙等)，確定θi的先驗(yàn)分布 π(θi)，i=1，2，3，…。

(2) 根據(jù)鋼筋銹蝕形態(tài)發(fā)生的可能性，選擇采用式(3)或式(6)，通過式(1)獲得銹蝕初始時(shí)間的概率密度函數(shù)，同時(shí)由式(7)考慮不同時(shí)段的銹蝕電流密度，采用Monte Carlo數(shù)值模擬方法，結(jié)合式(10)建立鋼筋銹蝕率先驗(yàn)概率模型。

(3) 結(jié)構(gòu)在某一服役時(shí)刻，通過檢測(cè)獲得第i個(gè)參數(shù)(如混凝土強(qiáng)度、保護(hù)層厚度等)θi的樣本x(x1，x2，…，xn)，根據(jù)最大似然函數(shù)法對(duì)參數(shù)樣本進(jìn)行估計(jì)，得到樣本的均值和樣本方差σn2。

(4) 根據(jù)銹蝕影響參數(shù)θi實(shí)測(cè)值x，結(jié)合θi的先驗(yàn)分布類型，采用式(11)得到參數(shù)的后驗(yàn)分布形式π(θix1,x2,… ,xn)，即 π(θix)，重復(fù)步驟(2)，進(jìn)而可獲得參數(shù)更新后的鋼筋銹蝕率后驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

(5) 根據(jù)某時(shí)刻銹蝕率的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)y(y1，y2，…，yn)，通過式(16)對(duì)模型選擇進(jìn)行更新，并將其代入由步驟(4)得到的結(jié)果，從而建立參數(shù)與模型均更新的鋼筋銹蝕率預(yù)測(cè)模型。

(6) 采用更新得到的后驗(yàn)預(yù)測(cè)模型對(duì)后繼服役期鋼筋銹蝕率進(jìn)行預(yù)測(cè)。第1次利用實(shí)測(cè)信息對(duì)先驗(yàn)分布更新后的模型又成為下次更新前的先驗(yàn)分布，如能多次得到實(shí)測(cè)樣本，則重復(fù)上述步驟。如此反復(fù)下去，就能夠充分利用有效信息，不斷的修正原有模型，可對(duì)鋼筋銹蝕狀況進(jìn)行更好的估計(jì)。銹蝕率預(yù)測(cè)流程如圖2所示。

圖2 銹蝕率預(yù)測(cè)流程Fig. 2 Flow chart of corrosion loss prediction

4 工程實(shí)例分析

4.1 工程概況

某橋建于1967年，為裝配式RC簡(jiǎn)支梁橋。主梁為Π型，梁長(zhǎng)L=8.0m，寬b=1.05m，高h(yuǎn)=0.66m，肋寬b1=0.15m；主筋配置在梁肋下緣，采用6根三排直徑分別為Ф22(中排)和Ф24，箍筋Ф8，混凝土為C30。此橋在服役36 a時(shí)，拆除部分梁運(yùn)回實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行研究，如圖3所示。

圖3 主梁橫截面(單位：cm)Fig. 3 Main beam cross-section

依據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，并結(jié)合該地區(qū)臨界氯離子濃度、擴(kuò)散系數(shù)和混凝土表面氯離子濃度的統(tǒng)計(jì)，以及《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[19]對(duì)混凝土保護(hù)層厚度、混凝土強(qiáng)度、鋼筋初始直徑等參數(shù)的初始統(tǒng)計(jì)結(jié)果，銹蝕影響參數(shù)的先驗(yàn)信息取值如表1所示。

表1 初始計(jì)算參數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 1 Initial calculation parameters

4.2 銹蝕率影響參數(shù)選擇

該橋在服役30 a和36 a時(shí)，分別對(duì)其進(jìn)行了檢測(cè)，得到了保護(hù)層厚度和混凝土強(qiáng)度等檢測(cè)信息。由于 2次檢測(cè)保護(hù)層厚度的結(jié)果較接近，本文只給出了30 a時(shí)主筋保護(hù)層厚度的100個(gè)樣本值，其頻率直方圖如圖4所示。

圖4 保護(hù)層樣本頻率直方圖Fig. 4 Frequency histogram of protective layer samples

服役 30 a時(shí)混凝土強(qiáng)度 10個(gè)區(qū)域檢測(cè)樣本的fc={28.7，24.6，25.1，29.3，22.5，23.7，26.8，27.9，32.2，26.5}MPa；36 a時(shí)混凝土強(qiáng)度10個(gè)區(qū)域檢測(cè)樣本的fc={30.4，25.2，28.7，31.5，23.8，26.7，24.8，33.4，24.4，29.5} MPa。

為研究檢測(cè)信息數(shù)量對(duì)最后結(jié)果的影響，限于篇幅，這里僅對(duì)混凝土強(qiáng)度后驗(yàn)分布的影響進(jìn)行了分析，以混凝土強(qiáng)度30 a時(shí)的檢測(cè)結(jié)果為例，將該年的前5個(gè)、10個(gè)混凝土強(qiáng)度數(shù)據(jù)分別作為樣本的實(shí)測(cè)信息，結(jié)合前文更新過程中的步驟(3)和步驟(4)，得到了該服役時(shí)刻混凝土強(qiáng)度的后驗(yàn)概率密度，如圖5所示。

圖5 混凝土強(qiáng)度樣本數(shù)量對(duì)更新的影響Fig. 5 Effect of samples number of concrete strength on updating results

從圖5可知：融入實(shí)測(cè)信息的混凝土強(qiáng)度概率密度曲線更陡，說明更新后的結(jié)果離散性逐漸減小，分別用5個(gè)樣本與10個(gè)樣本更新的結(jié)果也不同，這說明樣本數(shù)量對(duì)更新結(jié)果也有影響。在給定先驗(yàn)信息的情況下，決定后驗(yàn)信息符合實(shí)際情況程度的關(guān)鍵是實(shí)測(cè)信息的準(zhǔn)確性和實(shí)測(cè)信息數(shù)量，因此，實(shí)際中獲得較多的準(zhǔn)確信息，對(duì)有效減少信息的不確定性有利。

當(dāng)不能確定模型的權(quán)重時(shí)，可依據(jù)現(xiàn)有成果大致假定初值，文獻(xiàn)[10]指出局部銹蝕發(fā)生的可能性更大，因此，本文分別令式(10)中P(M1)=0.60，P(M2)=0.40。將以上2次檢測(cè)的混凝土強(qiáng)度和保護(hù)層厚度數(shù)據(jù)分別與先驗(yàn)信息相結(jié)合，由更新過程中的步驟(3)和(4)，可得到參數(shù)更新后的鋼筋銹蝕率預(yù)測(cè)模型。以結(jié)構(gòu)服役36 a時(shí)為例，其概率密度如圖6所示。

圖6 參數(shù)更新后銹蝕率概率密度Fig. 6 Updating parameters of probability density of corrosion loss

由圖6可知：分別選用2種模型得到的計(jì)算結(jié)果不同，更新前后的概率密度曲線也存在一定差異，更新后的結(jié)果離散性較小；服役30 a與36 a時(shí)更新前后的變化逐漸減小，這說明更新次數(shù)越頻繁，對(duì)減小信息的不確定性效果越顯著。

4.3 銹蝕率預(yù)測(cè)與驗(yàn)證

為了測(cè)定實(shí)際銹蝕率結(jié)果，36 a時(shí)將梁破損取出鋼筋，獲得45個(gè)直徑為24 mm鋼筋樣本(圖7)，其頻率直方圖見圖8，測(cè)得平均銹蝕率為4.6%，變異系數(shù)為0.3。

根據(jù)鋼筋銹蝕率的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，由更新過程中得步驟(5)可得到模型選擇的后驗(yàn)結(jié)果，如表2所示。從表2可以看出，更新后的模型發(fā)生了較大變化，模型的選擇更偏向于局部銹蝕模型，說明該RC橋梁中鋼筋銹蝕狀況較接近于局部銹蝕。

圖7 銹蝕鋼筋樣本Fig. 7 Samples of corrosion reinforcements

圖8 實(shí)測(cè)銹蝕率頻率直方圖Fig. 8 Frequency histogram of measured corrosion loss

為檢驗(yàn)更新后銹蝕率的理論分布類型，以該橋梁服役36 a、直徑為24 mm的鋼筋為例，采用Monte Carlo法得到了該時(shí)刻銹蝕率的500 000個(gè)隨機(jī)樣本，通過對(duì)其進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，說明銹蝕率的對(duì)數(shù)不拒絕服從正態(tài)分布，即銹蝕率可用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來描述，這與實(shí)測(cè)結(jié)果較為一致(圖9)。

銹蝕率概率分布如圖10所示。由圖10可知：相對(duì)先驗(yàn)均勻銹蝕而言，采用先驗(yàn)局部銹蝕模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果較接近實(shí)測(cè)值，但其與實(shí)測(cè)值差異仍較大。從圖10還可以看出：本文最終得到的銹蝕率后驗(yàn)預(yù)測(cè)概率模型在該時(shí)刻的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)際，然而理論預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值尚存在較小差異。這主要是由于影響銹蝕的因素較多，文中只對(duì)少量參數(shù)進(jìn)行了更新，且更新的次數(shù)也不多，為此，相關(guān)部門應(yīng)進(jìn)一步完善橋梁管理系統(tǒng)，對(duì)既有橋梁進(jìn)行長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，從而可獲得更多不同服役年限的實(shí)測(cè)信息，在此基礎(chǔ)上的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)更新將使預(yù)測(cè)結(jié)果更為準(zhǔn)確。

圖9 理論銹蝕率對(duì)數(shù)的正態(tài)概率圖Fig. 9 Normal probability chart of logarithm of calculation corrosion loss

圖10 更新后銹蝕率概率分布圖Fig. 10 Updating cumulative probability of corrosion loss

根據(jù)更新后的模型，可獲得橋梁后繼服役期鋼筋銹蝕率均值和標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖11和12所示。更新后得到的銹蝕率預(yù)測(cè)值與先驗(yàn)結(jié)果相比明顯變小，該研究可為既有 RC橋梁的耐久性評(píng)估提供依據(jù)。

圖11 銹蝕率均值Fig. 11 Mean of corrosion loss

圖12 銹蝕率標(biāo)準(zhǔn)差Fig. 12 Standard deviation of corrosion loss

5 結(jié)論

(1) 鋼筋銹蝕影響因素復(fù)雜，現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)信息的不完善、試驗(yàn)手段及環(huán)境的差異性，導(dǎo)致對(duì)鋼筋銹蝕的研究存在很大的不確定性，目前尚無普適性很好的預(yù)測(cè)模型，因此，可有效利用實(shí)測(cè)信息，用信息更新方法對(duì)既有模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新。

(2) 模型的不確定性對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響不容忽視。未考慮更新的鋼筋銹蝕率預(yù)測(cè)模型與實(shí)測(cè)結(jié)果差異較大，基于檢測(cè)數(shù)據(jù)的信息更新可使預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)際。

(3) 更新的次數(shù)越頻繁對(duì)后驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性越有利，實(shí)測(cè)信息的數(shù)量對(duì)后驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確程度具有一定影響，后驗(yàn)分布的離散性較小，在實(shí)際工程中應(yīng)注重檢測(cè)信息積累和橋梁管理系統(tǒng)的完善，將采集的觀測(cè)信息融入到預(yù)測(cè)模型中。

(4) 本文給出的更新方法是在現(xiàn)有銹蝕模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)模型仍有依賴性，但該更新過程對(duì)其他模型同樣適用。建立的鋼筋銹蝕率預(yù)測(cè)模型適用于服役多年的既有RC橋梁的耐久性評(píng)估及可靠性分析。如何考慮點(diǎn)蝕的空間變異性將有待進(jìn)一步研究。

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