彈簧蛇形振子的制作與探究

盧海濤，陳向梟，王 玨，楊旭東，劉敏薔

（北京工業(yè)大學(xué)a.環(huán)境與能源工程學(xué)院；b.應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京100124）

1 引 言

常見的蛇形擺是由若干個(gè)具有不同周期位于同一高度的擺球等間距地排列在成一條直線構(gòu)成.雖然單擺具有不同周期，但相鄰單擺間具有恒定的頻率差，同時(shí)擺動(dòng)時(shí)，擺球間的相對(duì)位置將成周期性變化［1-2］.

擺角小于5°單擺的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)［3］.隨著初始角度的增大，單擺周期的相對(duì)誤差也逐漸增大［4］.但由于空氣阻力等因素的影響，擺角太小的單擺蛇形擺很快會(huì)停止擺動(dòng).另外，由于構(gòu)成蛇形擺的單擺的擺長(zhǎng)各不同，很難達(dá)到各擺初始擺角相同，也就很難達(dá)到更好的視覺效果.與單擺相比較，彈簧振子更容易構(gòu)成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且不受運(yùn)動(dòng)角度和運(yùn)動(dòng)位置的影響.因此，我們將單擺蛇形擺中的單擺用彈簧振子代替，構(gòu)成豎直運(yùn)動(dòng)的彈簧蛇振子.

2 彈簧蛇形振子簡(jiǎn)介

彈簧蛇形擺是由若干個(gè)具有不同周期的彈簧振子等間距地排列在成一條直線構(gòu)成的.彈簧振子位于同一高度，當(dāng)振子底部受到向上的抬升，各振子將作不同周期的簡(jiǎn)諧振動(dòng).當(dāng)彈簧的勁度系數(shù)為定值時(shí)，彈簧的周期只與振子的質(zhì)量有關(guān).

設(shè)計(jì)共有周期為T0＝20s，由n＝10個(gè)彈簧振子構(gòu)成的彈簧蛇形振子.彈簧的勁度系數(shù)為k.由于共有周期為T0＝20s，則每個(gè)彈簧振子的周期ti應(yīng)為共有周期T0＝20s的整數(shù)分之一，即

對(duì)于第i個(gè)彈簧振子，有

則

又由于

其中Δxi為彈簧靜止時(shí)的伸長(zhǎng)量.由（3）和（4）式，可得

由（4）式可知彈簧的伸長(zhǎng)量受到勁度系數(shù)和擺重的共同影響，由（5）式可知彈簧的伸長(zhǎng)量與周期有關(guān).為了便于制作，通常控制伸長(zhǎng)量Δxi來獲得合理的周期，伸長(zhǎng)量取0.2～0.85m，則有：

Ni取正整數(shù)，

為了提高精度，取N1＝11，則

取定k值，根據(jù)（12）式可以計(jì)算出每個(gè)彈簧振子的擺重.

3 彈簧蛇形擺的制作

3.1 彈簧的選取

選擇外徑為10mm，內(nèi)徑為9mm，長(zhǎng)為200mm的不銹鋼密繞彈簧，測(cè)量其勁度系數(shù)約為1.64N／m.當(dāng)所掛重物越重，其彈性系數(shù)越小.先取初始值k＝1.64N／m，計(jì)算擺重（如表1），再利用實(shí)驗(yàn)值迭代2～3次，可獲得較為精準(zhǔn)的值.

表1 每個(gè)彈簧振子的理論值周期和初始擺重

3.2 懸掛重物的制作

根據(jù)彈簧的勁度系數(shù)計(jì)算彈簧振子的擺重.向有機(jī)玻璃錐形圓筒內(nèi)加入不同質(zhì)量的彩沙，調(diào)節(jié)質(zhì)量（精度為0.01g）.

3.3 組裝重物和彈簧

將重物掛在彈簧上，彈簧與框架用細(xì)線連接，細(xì)線的長(zhǎng)短可通過手?jǐn)Q螺栓調(diào)節(jié)，以保證圓筒底部在同一高度.

3.4 校準(zhǔn)各個(gè)彈簧振子的勁度系數(shù)

3.5 微調(diào)

重復(fù)3.2，3.3，3.4步驟，直到彈簧的實(shí)際周期與理論周期的偏差在0.2%以內(nèi)，一般重復(fù)2次就可以達(dá)到，最后結(jié)果見表2.

表2 每個(gè)彈簧振子的理論周期、勁度系數(shù)和修正后的擺重

3.6 整體測(cè)試

用托盤將所有有機(jī)玻璃錐形圓筒向上托起一定高度，并迅速撤去托盤，觀察整體的振動(dòng)情況.并觀察它的共有周期，與理論值進(jìn)行比較.結(jié)果見表3.圖1～3分別為彈簧振子運(yùn)動(dòng)過程中的3種狀態(tài).

表3 每個(gè)彈簧振子的理論周期、實(shí)際周期及相對(duì)誤差

圖1 初始狀態(tài)時(shí)的彈簧振子

圖2 正弦狀態(tài)時(shí)的彈簧振子

圖3 反相狀態(tài)時(shí)的彈簧振子

4 制作中應(yīng)注意的細(xì)節(jié)

1）彈簧不要直接掛在框架上，用直線連接便于調(diào)節(jié)各個(gè)彈簧振子的整體高度；

2）控制彈簧振子的整體伸長(zhǎng)，以避免產(chǎn)生共振現(xiàn)象；

3）對(duì)于細(xì)小的彈簧，其勁度系數(shù)在掛不同重物時(shí)，會(huì)有微小的變化，必須通過幾次實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行校核調(diào)整，以保證彈簧振子的周期與理論值接近；

4）圓筒的容量設(shè)計(jì)滿足大部分的彈簧振子的擺重，對(duì)于擺重在120g以上的彈簧振子，選擇加入一些鐵粉進(jìn)行調(diào)節(jié)重量；

5）用底部為錐形的細(xì)長(zhǎng)圓筒有利于減小空氣阻尼的影響，可以提高彈簧蛇形擺的整體效果；

6）由于彈簧蛇形擺的整體振動(dòng)時(shí)間過長(zhǎng)，所以會(huì)有誤差累計(jì)，后期的振動(dòng)會(huì)存在一些偏差.

5 結(jié)束語

彈簧蛇形振子把傳統(tǒng)的單擺蛇形擺的左右擺動(dòng)改為上下振動(dòng)，能夠減小誤差.對(duì)于蛇形擺，主要是控制每個(gè)擺的周期，來實(shí)現(xiàn)整體的周期變化的.而對(duì)于彈簧蛇形振子，通過控制每個(gè)彈簧所掛重物質(zhì)量與勁度系數(shù)之比，來調(diào)整振動(dòng)周期，以實(shí)現(xiàn)整體周期變化.當(dāng)加入不同顏色的細(xì)沙，彈簧蛇形振子運(yùn)動(dòng)起來，提高了觀賞性.所以與傳統(tǒng)的單擺蛇形擺相比，彈簧蛇形振子則更是一種較為理想的簡(jiǎn)諧振動(dòng)演示裝置.

［1］薄春衛(wèi)，孔祥明，賈肖嬋，等.蛇擺的研究與制作［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（4）：27-29.

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［3］吳華平，鄧遲，尹紹全，等.單擺實(shí)驗(yàn)中sinθ≈θ近似對(duì)周期的影響［J］.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2007（20）：58.

［4］秦鳴雷，肖一凡，楊海亮，等.大角度下阻尼對(duì)單擺擺動(dòng)周期的影響［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2012，32（5）：42-45.

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