舵葉固定式液壓球形關節運動學及性能分析

方守龍 王 亮 丁 帥

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

球面運動機構是一種介于平面機構和空間機構之間的特殊機構，其特點為機構末端的輸出軌跡都在一個球面上.球面機構具有結構緊湊、靈活可靠等諸多優點，因此在許多領域得到了廣泛的應用，如可用作微創手術機器人［1］、球面點定位設備［2］、機械加工的回轉工作臺等.近年來，國內外對球面運動機構的構形理論、性能等展開了大量的研究.文獻［3］采用了球面三自由度的串聯機構研制了機器人的手腕;文獻［4］詳細闡述了具有運動學各向同性特性的四轉軸三自由度球面串聯機構;文獻［5］介紹了一類球面四桿運動機構，給出了該類機構的構型分類及曲柄存在條件;文獻［6］討論了非對稱球面5R并聯機構，并且給出了曲柄存在的條件;文獻［7］研究了非對稱三自由度球面并聯機構結構綜合問題，討論了非對稱三自由度球面并聯機構的類型及達到所需球面運動的機構安裝幾何條件;文獻［8］提出了一類新的3-RRPRR結構的新型球面機構，分析了該類機構的幾何構型條件、奇異軌跡及工作空間等.類球鉸機構是球面機構的另一熱點研究領域，其中最有代表性的是球形電機.文獻［9］分析了磁極設計對于球形電機定位轉矩的影響;文獻［10］介紹了一種具有雙氣隙特性的多自由度球形電機.鑒于上述機構中串聯機構末端剛度小、承載力弱及并聯機構工作空間小、奇異位形多、靈活性差等問題，本文提出了一種新型的基于液壓驅動二自由度類球鉸關節機構，該機構采用了液壓驅動，兼有結構緊湊、大負載和大工作空間等特點，有效地彌補了上述串并聯機構中存在的不足.

1 機構模型及工作原理

1.1 機構簡介

圖1為該球形機構的結構簡圖.該機構由定子、球形轉子、超全周轉動馬達、舵葉、滑軌、碼盤等構成，機構的輸出部件為球形轉子.

圖1 球形關節機構示意圖Fig.1 Schematic drawing of spherical joint

圖2給出了球形關節的內部結構.球形轉子與上定子、舵葉間均為球面約束，舵葉軸上安裝超全周液壓轉動馬達［11］，所有球面共球心.球形轉子位置測量系統采用滑軌支撐框架結構，包括2個圓形滑軌支架、1個滑塊和3個碼盤，兩滑軌安裝于下定子且各滑軌轉軸過球心.碼盤Ⅰ和Ⅱ測量值為X和Y滑軌轉角值，碼盤Ⅲ測量值為超全周馬達輸出轉角值.圖3為舵葉及上定子結構圖.

圖2 關節內部結構Fig.2 Interior structure of joint

圖3 零件示意圖Fig.3 Schematic drawing of parts

1.2 坐標系建立

以球心O為原點，分別建立與定子相連的固定坐標系OXYZ和與舵葉及球形轉子相連的動坐標系Ox1y1z1和Ox2y2z2，如圖4所示.

圖4 球形關節坐標系Fig.4 Coordinates of spherical joint

固定坐標系中的X和Y軸分別與X滑軌及Y滑軌的轉軸軸線重合(Z軸由右手定則確定);舵葉坐標系中的x1與舵葉兩端圓柱面軸線重合，z1軸與Z軸重合;球形轉子坐標系z2與轉子軸軸線重合，x2軸與初始位置時的x1軸重合.在初始位置，所有坐標系重合(初始位置如圖1所示).

1.3 機構驅動描述

該球形關節采用舵葉擺動馬達及超全周轉動馬達進行驅動.如圖2所示，舵葉、球形轉子和上下定子間構成了兩個密封的油腔，由初始位置，當兩腔存在壓差Δp時，球形轉子繞舵葉x1軸擺動γ角，構成了舵葉擺動馬達;超全周轉動馬達初級定葉片［11］嵌于下定子內壁，這樣該馬達可以帶動舵葉繞Z軸轉動α角(α為碼盤Ⅲ測量值).當超全周馬達帶動舵葉繞Z軸轉動α時，由于舵葉兩端圓柱面恒與球形轉子接觸且兩油腔存在壓差Δp，使得球形轉子繞Z軸旋轉α角(如圖4所示，∠XOx1=α，∠ZOz2=γ).

兩馬達需要兩套獨立的油路進行配油.考慮使配油方式及油路簡潔，舵葉擺動馬達兩油路位于該機構的舵葉軸;超全周馬達兩油路分別位于舵葉軸及下定子壁(如圖2b、圖5所示).

圖5 馬達油路示意圖Fig.5 Schematic drawing of motor oil circuit

舵葉擺動馬達兩油腔由上下定子、舵葉及球形轉子4部分構成(圖2b).圖3中a，c，d處密封分別表示舵葉與球形轉子、舵葉與下定子、球形轉子與上定子間的密封.

球形轉子具有繞x1和Z軸兩個轉動自由度，這樣其末端能夠達到以坐標系原點為球心的球面上任意一點，從而球形轉子能夠實現全方位輸出.

2 機構運動學及性能分析

2.1 正解分析

由運動描述可知，球形轉子的運動均可分解為繞x1和Z軸的轉動，球形轉子最終位姿為

式中，γ為舵葉擺動馬達轉角;α為超全周轉動馬達轉角;Rk(θ)為繞k軸旋轉θ角的旋轉矩陣［12］.

如圖6所示，B和C分別為X滑軌和Y滑軌的中間位置點，D為兩滑軌的交點，下面推導滑軌支撐框架位置測量系統中兩碼盤轉角θx，θy與兩馬達轉角γ，α的關系.可將球形轉子最終位姿看作沿X滑軌運動的x-y-z歐拉角變換;或者看做沿Y滑軌運動的y-x-z歐拉角變換［12］.

圖6 滑軌支撐架示意圖Fig.6 Schematic drawing of support frame of slide rail

分別沿X滑軌和Y滑軌變換，球形轉子位姿分別如式(2)和式(3)所示.

式中，θx，θy為碼盤Ⅰ，Ⅱ轉角;ψz，βz為球形轉子繞z2軸轉角;ψy=∠BOD;βx=∠COD.

由式(1)、式(2)，式(1)、式(3)對應相等，可得

式(4)給出了兩碼盤轉角θx，θy與兩馬達轉角γ，α角的關系.

2.2 逆解分析

將式(4)代入式(1)，消掉γ和α可得以兩碼盤轉角θx和θy表示的姿態矩陣T3.令T3=T，可得

式中，m=tanθx;n=tan θy;atan 2(m，n)為 4 個象限內的反正切函數［12］.

由式(5)可知，逆解有兩組，即先轉γ角，再轉α角;或者先轉-γ角，再轉π+α角，球形轉子都將得到同一位姿.

2.3 奇異位形分析

根據旋量理論［13］，球形轉子在固定坐標系OXYZ中的角速度為

式中，s1=［cosα sinα 0］T;s2=［0 0 1］T.

式中，Gv為3×2階雅可比矩陣:

當γ=0時，機構處在奇異位形，此時超全周馬達帶動舵葉旋轉α時，球形轉子末端p點位置不變，即機構失去了一個自由度，如圖7所示.此時，舵葉的運動可由碼盤Ⅲ進行觀測.

圖7 關節奇異位形Fig.7 Singular configuration of joint

由于機構設計參數的限制，γ＜π.

2.4 靈巧度評價指標

機構的靈巧度反應了機構的輸入與輸出之間的傳遞關系的失真程度，文獻［14］定義了機構的角速度各向同性指標:

式中，||||為矩陣Frobenius范數;G+為速度雅可比矩陣廣義逆;kG＞1［15］，為了描述方便，通常取1/kG作為機構的靈巧度指標:

1/kG的取值范圍為(0，1］，該值越接近1，說明機構各向同性就越好，靈巧度就越高.

3 仿真

3.1 運動分析

由初始位置，假設關節的擺動馬達轉速為π/40rad/s，超全周馬達轉速為π/5 rad/s，仿真時間10s.取球形轉子末端點p(設=100 mm)為觀測點，利用式(1)計算p點在基坐標系中X，Y，Z位置坐標值，在Matlab及Pro/E中的仿真曲線如圖8所示;利用式(4)計算兩碼盤轉角θ(單位:(°))，碼盤轉角在Matlab及Pro/E中仿真圖線如圖9所示.

圖8 p點位置曲線Fig.8 Position curves of point p

由圖8、圖9可以看出，推導的運動學正解公式及兩碼盤轉角公式在Matlab中仿真與Pro/E中模型運動仿真結果一致，證明了理論分析的正確性.

3.2 機構性能分析

由式(6)～式(9)可求得該機構靈巧度性能指標，如圖10所示.

圖9 碼盤旋轉角度曲線Fig.9 Rotation angle curves of code wheel

圖10 靈巧度性能指標曲線Fig.10 Dexterity index curve

由圖10可知，機構的靈巧度指標取決于擺動馬達轉角γ，而與超全周轉動馬達轉角α無關.γ越大，靈巧度指標越高;在奇異點位置(γ=0 rad)，機構靈巧度指標接近于0，此時馬達輸入轉角與球形轉子末端點位置輸出關系嚴重失真.對該指標的分析可以得到機構良好工作空間為γ≥0.7 rad的區域，此區域內機構靈巧度指標接近且達到最大值，機構各方向運動傳遞性能類似，有利于該關節控制.

4 結論

1)提出了一種新型的基于液壓驅動二自由度球面運動關節，該關節機構采用了液壓驅動，可以承受大負載;通過兩馬達轉角的疊加，可以實現球面上任意位置的輸出.

2)γ=0 rad時，該機構處于奇異位形狀態;γ和α的取值決定了球形轉子的最終位姿，其值可由位置測量系統中的碼盤進行測量，由此為關節控制創造了條件.

3)在奇異點位置，機構靈巧度指標接近于0.γ越大，靈巧度指標越高.在γ≥0.7 rad的區域，機構靈巧度指標接近且達到最大值，機構各方向運動傳遞性能類似，有利于該關節控制.

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