Gaussian-Hermite矩旋轉不變矩的構建

張朝鑫 席 平 胡畢富

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

在圖像處理與模式識別中，矩及矩的方程已被證明是一種非常實用的工具［1-3］.在所有不同種類的矩中，應用最為廣泛的是幾何矩.幾何矩及其不變矩最早在1962年由Hu［4］提出.但幾何矩不是正交矩，這也導致當用幾何矩描述圖像時產生信息冗余，而且不能由幾何矩進行圖像重構;另外，幾何矩是定義在連續空間上的，在數字圖像上計算時會不可避免地引入近似而導致離散誤差.為了解決以上第1個問題，Teague提出了正交的Legendre矩與 Zernike 矩［5］.同時，復數矩［6］以及Gaussian-Hermite(GH)矩［7］也相繼被提出.針對第2個問題，一些離散形式的正交矩也相繼被提出.Mukundan等基于Tchebichef多項式提出了離散的 Tchebichef矩［8］，Yap 等提出了離散正交的Krawtchouk 矩［9］，以及 Zhu 等提出 了離 散 的Racah 矩［10］和 Dual Hahn 矩［11］.離散正交矩在計算的時候不需要進行近似也沒有信息冗余，因此具有一定的優勢.在這期間，也有一些其他形式的矩被提出并應用［12］，甚至推廣到三維空間中［13］.自從Hu基于代數的方法提出了著名的7個幾何不變矩之后，關于矩的不變矩成了研究的熱點，并被廣泛應用到圖像處理與模式識別中.不變矩包括位移不變、旋轉不變、尺度不變和仿射不變等.在圖像處理領域，旋轉不變的性質最為重要.有很多研究集中在幾何矩的不變矩，其中貢獻最大的是Flusser［14］，他通過復數矩，推導幾何矩的旋轉不變矩的獨立完備集，對幾何矩的尺度不變矩也做了一定的研究［15］.Zernike矩的旋轉不變矩很容易就可以得到，因為它是定義在極坐標下的矩.Chong等給出了推導Zernike矩的位移不變矩的方法［16］，還推導了Legendre矩的位移與尺度不變矩［17］.也有一些研究集中在離散正交矩的不變矩的推導上，例如，Zhu等推導了離散的Tchebichef矩的位移與尺度不變矩［18］.

雖然GH矩是定義在連續空間上，比起離散的正交矩，在圖像處理中，GH矩依舊有一些優勢.GH矩基函數的過零點的分布就是一個很好的例證.GH矩基函數的過零點分布比其他矩更加均勻，例如離散的Tchebichef矩，這也就說明GH矩具有更強的圖像特征表述能力［19］.另外，從計算角度講，Tchebichef矩等基函數中存在階乘的運算，使得它們計算非常耗時，而GH矩的計算相對簡單許多.因此，對GH矩的研究具有實際應用意義.Yang等在文獻［19］中嘗試推導了GH矩的旋轉不變矩，只說明幾何矩的旋轉不變矩形式也適合不帶歸一系數的GH矩.但他們并沒有考慮到不變矩的獨立性與完備性，而且去掉歸一系數的做法有可能使矩的計算出現溢出.Refregier在文獻［20］中定義極坐標形式下的Hermite多項式以及“Shapelet”，并用于星云圖像分析中，但沒有研究其旋轉不變的性質.事實上，“Shapelet”與Shen提出的GH矩［7］是完全一樣的，只是叫法與應用領域不同.本文從文獻［14，19-20］得到啟發，重點研究了GH矩的性質，側重旋轉不變矩的獨立性與完備性，把GH矩推廣到極坐標下，定義極坐標形式的GH矩，并通過極坐標下的形式推導了GH矩的旋轉不變矩，給出推導所有GH矩旋轉不變矩的獨立完備集的方法.

1 GH矩

1.1 GH矩基函數

首先定義GH多項式:

其中，n是非負整數;Hn(x)是n次Hermite多項式，一般形式為

圖1給出了GH矩前5階矩的基函數的灰度圖像.

圖1 GH矩的前5階矩的基函數Fig.1 Basic functions under order 5 of GH moments

1.2 GH矩定義

給定圖像函數f(x，y)，并由式(1)的基函數，GH矩定義為

由定義可知，事實上，GH矩是由圖1中GH矩的基函數與圖像進行卷積運算得到.

1.3 用升降算符計算GH矩的基

事實上，GH矩的基函數是量子力學中量子諧振子的本征函數，而階數m，n即為本征函數對應的本征值.具體階數的本征函數可以通過初始本征函數與算符的迭代作用計算得到.因此，GH矩的基函數可以通過構建升降算符來計算.

量子諧振子的降算符和升算符分別為

其中表示共軛，它們的對易關系是［a^，a^］=1.

利用升算符，給定初始函數，以及以下的遞推關系，可以計算得到一系列本征函數:

因此，所有的GH矩的基函數都可以通過(0，0)階基函數與升算符計算得到.

1.4 離散形式

GH矩是定義在連續區間(-∞，∞)上的.GH矩中存在尺度因子σ，在計算矩之前應先設定好大小.對于不同大小的圖像，為了更方便設定尺度因子，應把圖像坐標轉換到一個固定的區間里.因此，這里根據通常的使用習慣選擇區間［-1，1］，即對于一個定義在區間［0≤i，j≤K-1］上的數據圖像I(i，j)，圖像坐標首先通過下面的式子進行轉換:

那么，定義在圖像I(i，j)上p+q階的GH矩就可以通過式(13)計算得到:

2 PGH矩

2.1 PGH矩的基函數

為了構造極坐標下的 GH矩(PGH，Polar-Gaussian-Hermite)的基函數，先定義左右降算符如下:

同樣，利用左右升算符，給定初始函數，以及以下遞推關系，可以計算得到一系列本征函數:

把左右升算符轉換成極坐標形式，由式(7)代入式(14)和式(15)，并由x=rcosθ，y=rsinθ可以得到:

那么PGH矩的基函數定義為

圖2給出了PGH矩的前5階矩的基函數的灰度圖像.

圖2 PGH矩前5階矩基函數Fig.2 Basic functions under order 5 of PGH moments

2.2 PGH矩定義

給定圖像函數 f(r，θ)，并由式(20)的基函數，可以定義PGH矩為

2.3 GH矩與PGH矩的關系

前面已經給出了GH矩和PGH矩的定義，以及它們的基函數，同時也給出了各自用升降算符來計算所有基函數的方法.

那么由遞推關系式(11)與式(16)，并聯立兩組升算符之間的關系，二項式展開，可以得到GH矩和PGH矩一一對應的相互轉換公式:

3 GH矩的旋轉不變矩

由圖2a可以看出，當p=q，即對角線上的實數部分的基函數是旋轉不變的.已經知道，GH矩與PGH矩是一一對應的，所以，由轉換公式(24)就可以推導GH矩的旋轉不變矩的形式.但是這樣得到的GH矩的旋轉不變矩并不是獨立的，更重要的，僅僅只是由p=q的實數部分推導得到的GH矩的旋轉不變矩不是完備集.本文的目的是推導GH矩的旋轉不變矩的獨立完備集.

3.1 旋轉不變的推導

為了推導GH矩的旋轉不變矩，已經把GH矩推導到極坐標空間中，即PGH矩.而由于PGH矩是定義在極坐標空間中，具有以下重要的旋轉性質.

定理1 假設圖像f經過旋轉一個角度α后為 f'，f'(r，θ)=f(r，θ+ α)，f'的 PGH 矩表示為P'p，q，那么

證明是顯而易見的.

如果只是用PGH矩的模來構造一組旋轉不變矩，并不能構成一組完備集，遺失了很多有用的不變矩.下面的理論將構建一組旋轉不變矩的獨立的完備集.

定理 2 n ≥ 1，ki，pi，qi為非負整數，如果:

已知如何推導旋轉不變矩，定理3將解決怎樣推導給定階數的旋轉不變矩的獨立完備集.

定理3 考慮r≥2階以上的PGH矩，一組旋轉不變矩集構造為

其中，p0，q0滿足 p0+q0≤r且 p0-q0=1同時Pp0，q0≠0.那么，B 就是一組對于給定的階數 r的旋轉不變矩的獨立完備集.

以上推導了GH矩的旋轉不變矩的獨立完備集.現在給出其詳細證明.

證明 集合B的完備性.使I為任意旋轉不變矩:

因此

這就證明了任意的不變矩I都可以由J推導出，從而證明了集合B的完備性.

集合B的獨立性.假設B是非獨立的，即存在 ω(p，q)∈B 依賴于 B-{ω(p，q)}，那么當 p=p0和q=q0時，也是成立的.也就是，在B-{ω(p，q)}中存在 ω(p1，q1)，…，ω(pn，qn)與 ω(u1，v1)，…，ω(un，vn)使得

由于上式右邊等于1，并且不同的矩之間各自獨立，所以下列等式對所有i都成立:t=s，n=m，pi=ui，qi=vi，ki=li

那么代入式(31)和式(32)得到K1=0和K2=0，矛盾.因此證明了獨立性. 證畢

3.2 GHM旋轉不變矩的獨立完備集

根據定理3，給定矩的階數，就可以得到一組獨立完備的旋轉不變矩集.以下給出前6階矩的旋轉不變矩集.

2，3 階矩:

其中，Re代表實數部分;Im代表虛數部分.

根據以上給出的形式，以及PGH矩展開成GH矩公式(24)，可以得到GHM的旋轉不變矩形式.這里給出2階矩、3階矩的6個不變矩形式如下:

4 實驗證明

本實驗是為了驗證所提出的不變矩的正確性與數字穩健性.圖3a是原始醫學圖像，分辨率為256像素×256像素，7個不同旋轉角度的圖像是由電腦嚴格生成，分別為圖3b～圖3h.

圖3 醫學灰度圖像及其旋轉版本Fig.3 Medical image and its rotational versions

分別計算8幅圖像的旋轉不變矩.尺度因子設為0.2，尺度因子的大小只用于計算需求，并不會影響旋轉不變性.實驗數據記錄在表1中.

表1 18個不變矩的數字穩定性實驗結果Table 1 Results of digital stability of 18 invariants

5 結 束 語

本文介紹了GH矩PGH矩，并給出了用升降算符計算GH矩與PGH矩的方法.利用GH矩與PGH矩的一一對應關系，詳細推導了GH矩的旋轉不變矩，并給出GH矩的旋轉不變矩的獨立完備集.從實驗結果可以看出，所提出的旋轉不變矩具有良好的數字穩健性，GH矩的旋轉不變矩的推導方法具有一般性，在推導其他形式的矩的旋轉不變矩時可以借鑒.但本文并未詳細研究GH矩的旋轉不變矩的應用，例如應用于圖像配準與檢索，下一步將著手這一方面的研究.

References)

［1］ Xiao B，Ma J F，Cui J T.Combined blur，translation，scale and rotation invariant image recognition by Radon and pseudo-Fourier-Mellin transforms［J］.Pattern Recognition，2012，45(1):314-321

［2］ Papakostas G A，Koulouriotis D E，Karakasis E G，et al.Momentbased local binary patterns:a novel descriptor for invariant pattern recognition applications［J］.Neurocomputing，2013，99:358-371

［3］ Yang J，Xie S，Yoon S，et al.Fingerprint matching based on extreme learning machine［J］.Neural Computing and Applications，2013，22(3/4):435-445

［4］ Hu M K.Visual pattern recognition by moment invariants［J］.IRE Transactions on Information Theory，1962，8(2):179-187

［5］ Teague M R.Image analysis via the general theory of moments［J］.Optical Society of America，1980，70(8):920-930

［6］ Abu-Mostafa Y S，Psaltis D.Image normalization by complex moments［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1985，PAMI-7(1):46-55

［7］ Shen J.Orthogonal Gaussian-Hermite moments for image characterization［C］//Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering.Bellingham WA:SPIE，1997:224-233

［8］ Mukundan R，Ong S，Lee P A.Image analysis by Tchebichef moments［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2001，10(9):1357-1364

［9］ Yap P T，Paramesran R，Ong S H.Image analysis by Krawtchouk moments［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2003，12(11):1367-1377

［10］ Zhu H，Shu H，Liang J，et al.Image analysis by discrete orthogonal Racah moments［J］.Signal Processing，2007，87(4):687-708

［11］ Zhu H Q，Shu H Z，Zhou J，et al.Image analysis by discrete orthogonal dual Hahn moments［J］.Pattern Recognition Letters，2007，28(13):1688-1704

［12］ Zhang C X，Xi P，Dai M.Gaussian-geometric moments and its application in feature matching［J］.Advanced Materials Research，2013，718-720:2113-2119

［13］ Mangin J F，Poupon F，Rivière D，et al.3D moment invariant based morphometry［J］.Lecture Notes in Computer Science，2003，2879(Part2):505-512

［14］ Flusser J.On the independence of rotation moment invariants［J］.Pattern Recognition，2000，33(9):1405-1410

［15］ Suk T，Flusser J.Affine moment invariants generated by graph method［J］.Pattern Recognition，2011，44(9):2047-2056

［16］ Chong C W，Raveendran P，Mukundan R.Translation invariants of Zernike moments［J］.Pattern Recognition，2003，36(8):1765-1773

［17］ Chong C W，Raveendran P，Mukundan R.Translation and scale invariants of Legendre moments［J］.Pattern Recognition，2004，37(1):119-129

［18］ Zhu H，Shu H，Xia T，et al.Translation and scale invariants of Tchebichef moments［J］.Pattern Recognition，2007，40(9):2530-2542

［19］ Yang B，Li G，Zhang H，et al.Rotation and translation invariants of Gaussian-Hermite moments［J］.Pattern Recognition Letters，2011，32(9):1283-1298

［20］ Refregier A.Shapelets-I:a method for image analysis［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，2003，338(1):35-47