移動機器人定點目標控制的線性分解方法*

唐麗娜，宿 浩，郭忠文

（中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島 266100）

移動機器人定點目標控制問題是機器人位置控制的基本問題，其中點鎮定問題是移動機器人定點目標控制的主要研究課題之一。點鎮定研究的問題是設計控制策略，當時間t→∞時，使移動機器人無限接近于預先給定的位置。由于輪式機器人是一類具有非完整運動約束的非線性系統，使其點鎮定控制的運動控制成為具有挑戰性研究課題。近年來，移動機器人點鎮定的研究取得了長足的發展。由于系統模型是一類較特殊的非線性系統，利用反饋線性化可以較方便的實現輪式移動機器人獨立驅動的同步跟蹤［1］和點鎮定控制［2］。另一類控制方法是利用非光滑的控制規律研究移動機器人的點鎮定問題，如文獻［3］提出了一種兩輪輪式機器人點鎮定的分段比例智能控制和文獻［4］利用分段連續控制律保證了非完整移動機器人位置逐步收斂于期望的目標，并保證了閉環系統的指數穩定性。針對非完整運動學系統的不確定模型，提出了一種動態反饋控制律，使得移動機器人的姿勢和方向收斂到期望值，并證明了系統的魯棒穩定性［5］。利用蟻群優化算法，提出了一種四輪移動機器人具有4個獨立驅動車輪的全方位智能運動控制器［6］。對一類具有飽和輸入的非完整運動約束的移動機器人，提出了半全局實用鎮定控制方案［7］。文獻［8］通過使用高階的擴展，控制移動機器人的速度和方向，控制策略保證了移動機器人能漸近收斂到給定的目標點和運動軌跡。針對模型的質心與幾何中心不重合的情況，文獻［9］利用時變連續控制律解決了移動機器人的鎮定控制問題，并且利用自適應技術解決了兩者之間距離未知時的鎮定控制問題。

然而，在實際問題中，往往希望在有限時間內，使移動機器人到達預先給定的位置。基于切換策略來消除不可控的現象，文獻［10］研究了非線性參數化系統的自適應有限時間鎮定問題，并設計了能保證系統狀態全局有限時間收斂到原點的控制算法。

本文針對移動機器人的非線性模型提出一種線性分解控制方法。通過將機器人的運動分解為原地旋轉運動控制和直線運動控制，實現了移動機器人在給定的有限時間內的定點目標控制。

1 問題描述

輪式移動機器人通過調節速度和航向達到位置和運動軌跡的控制。假設移動機器人的位置用笛卡爾直角坐標系描述，如圖1所示，機器人狀態由其質心在坐標系下的位置及姿態（即航向）來表示。機器人當前位置由直角坐標 （x（t），y（t））表示，機器人當前的姿態用前進方向和x軸正方向的夾角θ（t）（即航向角坐標）表示。

因此描述機器人的狀態是三維的，其中狀態向量用z（t）＝［x（t），y（t），θ（t）］T表示。假設控制輸入向量為u（t）＝［ν（t），ω（t）］T，其中v（t）和ω（t）分別表示機器人當前的線速度和角速度。并假設控制量線速度v（t）和角速度ω（t）是獨立的，即線速度v（t）和角速度ω（t）可以單獨設定，互不影響。這一假設說明，移動機器人可以在運動中轉彎，也可以原地轉圈。

圖1 移動機器人的位位置和姿態坐標Fig.1 Position and attitude coordinates of mobile robot

由牛頓定律易知，移動機器人運動學方程可以描述為：

由（1）有，

因此，狀態向量z的分量滿足約束條件

由（1）和（2）知，這是一個典型的非完整約束的非線性系統。

定點行駛控制問題就是要尋求控制律u（t）使機器人在有限時間 0，（T］內到達笛卡爾直角坐標系原點，即

稱其為移動機器人的定點目標控制。

2 定點行駛控制律設計

從系統模型（1）和（2）知，移動機器人的位置和運動軌跡控制是一類非完整性非線性系統可知，通常非完整性非線性系統的控制策略設計問題是較難解決的研究課題。本文根據系統模型（1）和（2）的特點，提出一種線性分解控制策略。線性分解控制策略的思路是將n階系統的n個狀態變量按順序分解為N（N≤n）組，按分組順序將控制過程分為N個階段完成控制任務，在每個階段完成一組狀態變量的控制。從而實現非線性系統的線性解耦控制。

以下描述移動機器人的定點目標控制的線性分解控制策略的設計過程。將系統（1），（2）的狀態變量分為2組：z1＝θ，z2＝［x，y］T。在時間區間t∈ （0 ，T1］，機器人只作原地旋轉運動，即ω≠0，v＝0。在時刻T1，使得

其中θ0＝θ（0），α0＝α（0），定義

在時間區間t∈ （T1，T］，機器人只作直線運動，即ω＝0，v≠0。在時刻T，使得（3）成立。

以下研究具體設計過程和分析機器人運動控制過程。在階段1，即在時間區間t∈ （0 ，T1］，只考慮

系統（6）為一個簡單的線性系統。要完成控制目的（4），選擇控制律為

其中k1＞0為待定的系數。將（7）代入（6），得到（6）的閉環系統

求解（8）得到

將（4）代入（9），可以得到

將（10）代入（7），得到階段1的控制律

在階段2，即在時間區間t∈ （T1，T］，只考慮

注意到當ω＝0，v≠0時，θ（t）≡θ（T1）＝α0±π為常數，所以系統（12）為線性定常系統

且滿足約束條件

并注意到

由（13），（14），（15）和（16）得到

要完成控制目的（3），即

選擇控制律為

其中k2＞0為待定的系數。將（19）代入（17），得到（17）的閉環系統

求解（20）得到

將（18）代入（21），得到

將（22）代入（19），得到階段2的控制律

綜合（11）和（23），得到機器人定點控制律：

至此，本文實現了移動機器人定點目標控制的線性分解，即將移動機器人定點目標控制系統的非線性模型（1）按不同時間簡化為簡單的線性系統。在時間區間t∈ （0 ，T1］，將非線性系統（1）簡化為簡單的線性系統（6），而在時間區間t∈ （T1，T］，將非線性系統（1）簡化為簡單的線性系統（17）。并且由線性系統（6）和（17）得到了在有限時間t＝T到達目標的控制律（24）和（25）。

3 結語

本文針對移動機器人的定點目標控制問題，提出一種線性分解方法。線性分解方法在時間上將具有非完整約束的移動機器人模型分解為兩個線性系統，實現了非線性系統的線性解耦分解。利用線性分解方法簡化了移動機器人的定點目標控制其設計，實現了移動機器人的有限時間定點目標控制。

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