公路自行車的動力學分析及仿真研究

蔡 睿，陳 亮，何申杰，江崇民，李 然，劉 智

隨著人們物質文化生活水平的提高，自行車在作為交通工具的同時，也已成為一種體育活動的器械。健身自行車可以模擬戶外騎行的用力和做功過程，可以起到與公路自行車相似的健身效果。交互式健身自行車集計算機技術、傳感技術及人機工程等多項技術于一體，可以提供給騎乘者全方位的感官刺激，實現對自行車駕駛更為逼真的模擬，而如何在騎行過程中提供現實場景的身臨其境，不僅表現在視覺上，更重要的是實現健身車騎行的負荷與實地騎行感覺的一致性。

公路自行車屬于體能主導類耐力性項目，騎行過程具有單周期不間斷、持續時間長、普通騎行強度中等偏大、沖刺時強度大的特點，這些特點一方面對騎行者不同階段的功率輸出提出了相應的要求，另一方面，體能消耗與技、戰術使用的緊密結合是獲取比賽勝利的關鍵。公路自行車騎行過程的力學原理復雜，騎行者踩動踏板驅動自行車時，需要克服由車體、地面和空氣造成的諸多阻力，而騎行中的加減速、路線、風向等因素的實時變化都會綜合影響騎行者的用力做功過程。顯然，從直觀感覺上，若人與車的總質量越低，迎風面積和風速越小，鏈條傳動效率越高，路線越平滑，則騎行中的能量消耗越小。實際上，當限定其它因素時，某些因素會與能量消耗線性相關，但是，當諸多因素疊加在一起時，變量的綜合效應與能耗之間的關系會瞬間變得復雜。為此，本研究從公路自行車騎行過程的受力機制出發，建立數學模型，應用仿真技術對騎行中的各種變量進行模擬，由此獲得的動態參數將運用于健身車力覺控制系統的研發。

1 自行車騎行過程的力學分析

自行車騎行過程中，騎行者和自行車構成的總體主要受到重力、地面支撐力、空氣和地面阻力的作用。但自行車的前行不同于普通的剛體運動，人－車之間形成的結構鏤空會改變最大迎面面積和風阻系數，車輪旋轉與下肢蹬踏動作則會產生馬格努斯效應。另外，與場地自行車賽相比，戶外環境中的風力變化以及路面起伏都會使受力結構與過程更為復雜。

在運動方向垂直于地面內構建的二維坐標系中，騎行中的人－車總體受力主要由重力Fg、地面支撐力Fs、人－車迎面空氣阻力Fd、車輪旋轉時的空氣阻力Fw、輪胎與地面摩擦力Ff以及車體機械摩擦力Fm構成（圖1），而人在騎行過程中的蹬踏用力是人與車體前行的保證。

圖1 自行車騎行過程的受力示意圖Figure 1. The Sketch Map of the Force Analysis of Cycling

在非水平路面上騎行時，重力Fg可分解出運動方向的分力F′g，當上坡騎行時，F′g與運動方向相反，是騎行的阻力，當下坡騎行時，F′g與運動方向相同，是騎行的助力，其的表達式為：

其中，M為人與車體的總質量；θ為地面與水平面的夾角，上坡騎行時取正值，下坡騎行時取負值，水平路面騎行時取0。

水平路面上騎行時，人與車體在Y方向形成等同于重力的正壓力Fg；而在非水平路面上騎行時，重力在垂直于路面方向上的分力形成對地面的正壓力F″g。壓力的擠壓導致輪胎發生彈性形變，加之輪胎與路面粗糙，車體相對路面存在相對運動，形成了車輪與路面間摩擦力。騎行過程中，踩動踏板轉動鏈條帶動后輪轉動，使之產生與地面有相對運動的動摩擦，這是驅動自行車向前正常行駛的動力，而前輪不直接受動力的帶動，與地面的摩擦與運動方向相反，是阻礙自行車前行的摩擦阻力。車體與地面的摩擦力的表達式為：

其中，Cr為車輪輪胎與地面的滾動摩擦系數。滾動摩擦系數取決于路面和輪胎的材質，一般情況下認為，輪胎材質確定，Cr的大小由騎行路面狀況以及輪胎的胎壓決定。

人－車騎行前進時，前方的空氣被壓縮產生壓力，兩側表面與空氣的摩擦產生摩擦力，這些作用共同形成與運動方向相反的空氣阻力。空氣阻力的作用部位位于迎風面積中心處（近似與質心重合），其表達式為：

其中，Cd為空氣阻力系數；A為迎風面最大橫截面積；ρ為所處海拔高度下的空氣密度；V為車體相對于空氣流動的相對速度。

旋轉的物體在粘性流體中會產生非對稱流體的動力效應，車輪運動的空氣阻力正是由車輪在空氣中旋轉產生的。Greenwell（1995）研究表明，旋轉阻力的大小主要取決于車輪大小及輪轂的外形，不會隨著車輪的轉速發生明顯改變，同時，由于人體及自行車豎梁的作用，后輪所受的空氣阻力會減少25%。一般情況下，公路自行車前、后輪的半徑和車輪輪輻相同，前、后車輪轉動時所受總的空氣阻力計算公式為：

其中，Cw為自行車車輪的空氣阻力系數，r為車輪半徑，ρ為所處海拔高度下的空氣密度；V為車輪相對于空氣流動的相對速度。

2 數學模型方程的建立

由牛頓第二定律，可以建立公路自行車騎行過程中的基本動力學方程，具體表達為：

其中，F為騎行者蹬踏腳蹬產生的前進力。由于腳繞曲柄中軸蹬踏一圈的過程中用力并不恒定，因此，前進力F可通過即時功率和速度的比值來表示。另外，鏈條在帶動后輪轉動時會損失部分能量，國外研究顯示，鏈條的傳遞效率與騎行用力呈正相關，一般情況下，公路自行車的鏈條傳遞效率損耗約為98.5%。

根據上述受力分析，可列出公路自行車騎行時的動力學方程：

其中，Ir和If分別表示前輪和后輪的轉動慣量。

公路自行車騎行受力模型計算的邊界和初始條件由環境指標、人體指標和車體指標構成（表1）。環境指標方面，在常溫（20℃）標準大氣壓下的空氣密度為1.266kg／m2。人體指標方面，有研究表明，我國優秀男子公路自行車運動員身高為1.80±0.07m，體重為72.73±7.33kg，該身高下正常公路自行車騎行姿勢下的最大迎風面積約為0.5m2，風阻系數為0.5。車體指標方面，公路自行車的輪胎半徑約為0.35m，公路自行車常見的24或28輪輻車輪的空氣阻力系數約為0.0397，車輪的轉動慣量為0.08 kgm2。另據Kyle（1988）報道，寬度20mm胎壓120P輪胎的滾動摩擦系數在木質賽道上為0.001，在平滑的混凝土地面上為0.002，在瀝青柏油路上為0.004，在粗糙的鋪面道路上為0.008。

表1 本研究模型方程初始參數一覽表Table 1 The List of the Initial Parameter of Model

3 仿真結果分析

3.1 途中騎行階段的速度選擇

途中騎行階段是指從騎行出發到沖刺前的階段，包括水平、起伏、長距離上坡和長距離下坡4種基本路段形式。顯然，由動力方程可知，在其他條件穩定的情況下，較快的騎行會導致較大的風阻，也會產生越大的能量消耗，本研究均設定迎面風速為3m／s。國外研究表明，正常情況下，途中騎行在相對平緩的路面上時，運動員的平均輸出功率約為350W。圖2a中的虛線表示以350W的額定功率，分別以6m／s、8m／s、10m／s、12m／s、14m／s、16m／s進入水平路面后的速度變化。可以看出，在水平路面騎行時，初始時速為6m／s、8m／s、10m／s時，速度逐漸上升，為加速騎行階段；初始時速為14m／s、16m／s時，速度逐漸下降，為減速騎行階段；而初始速度為12m／s時，速度基本保持恒定，通過腳踏力量傳動的前進動力與空氣阻力基本持平。因此，以12m／s的速度通過相對平緩的路面是最為有效的騎行方式，該結論與大型國際公路自行車賽事優秀運動員各時段平均時速約為11.0～13.3m／s相吻合。

圖2a中的實線為以上述條件通過伏路面騎行時的速度變化曲線。圖2b為騎行經過的連續起伏路面及角度變化圖，路線方程模型為y＝5sin（x／10），x∈ ［5π，25π］，該路線最大傾斜度為5%，符合普通公路最大傾斜度不大于8%，高速公路最大傾斜度不大于5%的規定。

圖2 本研究額定功率下水平和起伏路面上騎行的速度變化圖Figure 2. The Velocity Change Diagram of Cycling on Horizontal and Rolling Road under Rated Power

與水平路面騎行相比，在5s的起伏路面騎行中，速度變化呈單峰型波動，即下坡時速度上升，加速度逐漸下降，在通過谷底后，隨著上坡角度的增大，加速度漸變為負值，速度隨之降低。從各速度下的變化曲線看，隨著初始速度的增加，速度上升增幅減小，下降幅度增大；在經過連續的起伏路面時，速度變化周期縮短，并且下次速度上升期的初始速度有所降低。圖像顯示，當初始速度為8m／s時，經過每個起伏路面周期的初始速度基本持平，每個周期用時約為5.2s。因此，在連續起伏路面騎行過程中，應根據路段的具體長度選擇相應的騎行速度，當距離較短時，可加大騎行速度快速通過起伏路段，而當距離較長時，可相應降低速度，相對平穩地通過起伏路面。

圖3 本研究額定功率下上坡和下坡騎行的速度變化圖Figure 3. The Velocity Change Diagram of Cycling on Uphill and Downhill Road under Rated Power

圖3為以12m／s的初始速度，350W騎行功率分別通過傾斜度為2%、4%、6%、8%的上坡路段，以及－2%、－4%、－6%、－8%下坡路段時速度變化的曲線。上坡騎行時，重力在運動方向上的分力起到阻力作用，下坡騎行時則變為前行的動力，而空氣阻力與騎行的速度正相關。因此，上坡開始階段速度下降，但隨著速度的降低風阻減小，下坡開始階段速度上升，速度的加快又會導致風阻的增大，最終，無論是上坡還是下坡騎行都會保持一個相對穩定的前行速度。風阻和重力分力的共同作用交互影響，從傾斜度變化對速度增加和減小的關系來看，下坡時隨著傾斜角度增大速度增加幅度減小，上坡時隨著傾斜角度的增大速度降低幅度加大。因此，幅度較小的上坡和幅度較大的下坡對速度影響均不明顯，而在較大的上坡和較小的下坡時，可加大騎行用力以獲取階段性優勢。

3.2 沖刺階段的距離選擇

沖刺階段要求保持較快的騎行速度，并且在最短的時間沖過終點。若選擇的沖刺距離過短，運動員未能充分利用極限強度下的速度優勢，甚至在未出現最高速度前便已比賽結束；若選擇沖刺的距離過長，運動員難以支撐高強度的運動負荷，速度在沖刺的最后階段反而下降，因此，選擇合理的距離對沖刺效果至關重要。

圖4 沖刺騎行時速度變化圖Figure 4. The Velocity Change Diagram of the Sprint Cycling

研究表明，我國優秀公路自行車運動員平均無氧功率為820.17±113.22W，無 氧 峰 值 功 率 為1 209.75±280.80W。圖4為平均功率820W，在第4s達到最大功率1 200W，以12m／s的初始速度，在水平路面沖刺的速度變化圖。圖4顯示，沖刺過程的速度類似拋物線型變化，200m時達到速度的峰值。經計算，沖刺距離為100m、150m、200m、250m、300m結束時的瞬時速度分別為15.5m／s、16.3m／s、16.4m／s、16.2m／s、16.0m／s，由此可以看出，雖然沖刺在150～250m之間均可實現較高的沖刺速度，但當距離低于200m時，高速行駛保持時間較短，未能實現最佳的沖刺效果；而距離在200～250m之間，不但可以達到較高的沖刺速度，而且可以將這一速度相對持續，因此是完成沖刺階段的最佳距離。

4 結論

1.自行車的騎行是一個多種物理作用力綜合作用的過程，這些力包括重力、地面支撐力、空氣和地面摩擦力。公路自行車的騎行在戶外環境中進行，風力的變化以及路面的起伏使受力組成與過程更為復雜。

2.在以額定功率350W的水平路面騎行時，12m／s的騎行速度可基本保持勻速狀態，騎行效果最佳，該速度組成也為目前世界優秀公路自行車運動員所采用。

3.當通過起伏路面騎行時，較快的速度并不一定導致理想的騎行效果，應根據路段的具體長度選擇相應的騎行速度。當距離較短時，可加大騎行速度快速通過起伏路段，而當距離較長時，可相應降低速度，相對平穩的通過起伏路段。

4.長距離上坡和下坡騎行時，速度變化受到風阻和重力分力的共同作用和交互影響，幅度較小的上坡和幅度較大的下坡對速度影響均不明顯，而在較大的上坡和較小的下坡時，可加大騎行用力以獲取階段性優勢。

5.全力沖刺過程的速度曲線類似于拋物線型變化。模型仿真顯示，沖刺距離在200m時可達到速度的峰值，而在距離終點200～250m之間進行沖刺，既能保持相對高速的騎行狀態，速度下降又不會過于明顯，是完成沖刺的最佳距離。

［1］何其昌，范秀敏，馬登哲，等.交互式自行車模擬器的力覺反饋系統研究［J］.系統仿真學報，2005，17（4）：797－797.

［2］李昕，楊秉龍.第2屆環青海湖國際公路自行車賽中外運動員騎行速度分析［J］.首都體育學院學報，2004，16（3）：104－106.

［3］孫在，余廣鑫，郭美，等.乒乓球弧圈球的空氣動力學原理及其飛行軌跡的仿真分析［J］.體育科學，2008，28（4）：69－71.

［4］徐文熙，徐文燦.粘性流體力學［M］.北京：北京理工大學出版社，1989.

［5］印松.交互式自行車模擬器運動及力覺提示系統研究［D］.上海：上海交通大學，2007.

［6］周志雄，季鋼，張凡.優秀男子公路自行車運動員專項體能特征研究［J］.體育科學，2009，29（9）：50－55.

［7］CRAIG GOOD，JOHN MCPHEE.Dynamics of mountain bicycles with rear suspensions：Modeling and simulation［J］.Sports Engine，1999，2（3）：129－143.

［8］D I，GREENWELL.Aerodynamic characteristics of Low－drag bicycle wheels［J］.Aeronaut J，1995，99（983）：109－120.

［9］GARCIA－LOPEZ J，RODRIGUEZ－MARROYO J A，JUNEAU CE，et al.Reference values and improvements of aerodynamic drag in professional cyclists［J］.Sports Sci，2008，26（3）：277－286.

［10］JAMES C，MARTIN，DOUGLAS L，et al.Validation of a mathematical model for road cycling power［J］.J Appl Biomech，1998，（14）：276－291.

［11］MATTHEW N，GODO，DAVID CORSON，et al.A practical analysis of unsteady flow around a bicycle wheel，fork and partial frame using CFD ［J］.Am Instit Aeronaut Astront，2011，（2）：1－29.