基于α穩定分布模型的水聲信號白化濾波方法

李宗吉，張西勇

(海軍工程大學 新兵器技術與應用研究所，湖北 武漢430033)

0 引 言

在傳統的水聲信號檢測理論中，干擾背景多被假設為高斯分布。但在實際應用中，尤其是主動聲吶條件下，由于海洋噪聲背景和混響的聯合作用，干擾背景明顯偏離了高斯分布，具有顯著尖峰脈沖特性，其概率密度函數的衰減過程比高斯分布要慢，即呈現代數拖尾。

廣義中心極限定理指出，無限個無限方差的獨立分布同隨機變量的極限分布是一種穩定分布，而α 穩定分布是唯一的滿足廣義中心極限定理的分布族，比高斯分布有更廣泛的適用性。α 穩定分布的統計特性由其特征函數的4 個參數決定，其中最重要的參數為特征指數α ∈(0，2］，它決定著α 穩定分布概率密度函數拖尾的厚度。α 的取值越小，概率密度函數拖尾越厚，表明隨機信號的尖峰脈沖特性越明顯。因此，α 穩定分布可以很好地對水聲干擾背景噪聲信號進行描述。此外，α 能夠在(0，2］之間任意取值，因此α 穩定分布可以更加靈活地對水聲干擾背景噪聲信號進行描述。特別地，當α=2 時，α 穩定分布與高斯分布完全相同，即高斯分布是α 穩定分布的特例。α 穩定分布都可以由SαS 分布變換得到，不失一般性，本文將主要討論基于SαS 分布噪聲建模的白化濾波方法。

SαS 分布沒有顯性的概率密度函數表達式，但其特征函數可由式(1)明確表達:

1 共變譜與穩定白噪聲

對于SαS 分布過程，由于不存在二階矩，其功率譜不存在。為了進行頻域處理，引入共變譜的概念。

對于一個嚴平穩復SαS 過程{x(t);－∞＜t＜∞}，總存在如下一種譜表示:

其中ζ(ω)的獨立增量滿足如下關系:

式中:C(p，α)為依賴于p 與α 的常量;Φ(ω)為x(t)的一種稱作譜密度的非負函數。當α=2 時，譜密度Φ(ω)就是對應高斯過程的功率譜;0 ＜α ＜2 時，譜密度Φ(ω)并不表示x(t)的功率譜。但在一些如線性預測與濾波的應用中，它起著和功率譜一樣類似的作用，也就是說，譜密度Φ(ω)完全可以描述x(t)的一種頻率分布。當且僅當dζ(ω)具有全向或者旋轉不變增量時，過程{x(t)}為嚴平穩過程，并且有如下穩定過程的共變函數的表達式:

因此，穩定分布過程的自共變函數與二階過程的自協方差函數有著同樣的意義，它與譜密度Φ(ω)構成一個傅里葉變換對。根據自共變函數的定義:

可以建立如下準則:當且僅當自共變函數Γx(τ)在理論上滿足Γx(τ)=γxδ(τ)時，{x(t)}為穩定分布白噪聲過程，其中δ(τ)是沖激函數。自共變函數是對二階過程的自相關函數的廣義化，對自共變函數Γx(τ)進行傅里葉變換可以得到一種分數階譜——共變譜(Covariation Spectrum，CS):

若將自共變函數換成自相關函數，則得到功率譜密度函數。由于自相關函數是自共變函數當α=2時的特例，因此，二階過程的功率譜是共變譜的特例，共變譜是功率譜的廣義化形式。在離散時域，一個嚴平穩復SαS 序列{x(t)}也總存在如下一種譜表示:

因此，一個穩定分布白噪聲序列{x(n)}的自共變序列Γx(n)=［x(m)，x(m－n)］α應為序列γxδ(n)，其共變譜理論上應是平坦均勻直線。

2 基于廣義Yule-Walker 方程的白化濾波

對SαSAR(P)序列x(n)作如下改寫:

其中u(n)是一個特征指數為α，分散系數為γ 的SαS 分布白噪聲序列。

x(n)可以看成是無窮多個獨立同分布穩定白噪聲變量的線性組合，x(n)與u(n)具有相同的特征指數α。

對于嚴平穩穩定分布序列x(n)，其離差應該滿足:

可以得到x(n)的離差如下式所示:

因此，嚴平穩穩定分布序列x(n)是與u(n)具有相同的特征指數α、分散系數為γx(n)的穩定有色噪聲。

當滿足條件1 ＜α ≤2 時，在差分方程式(8)的兩端分別取關于x(n－m)的共變函數，可以得到:

可以得到:

即

式中:λu(n)x(n－m)為u(n)和x(n－m)的共變系數，記為λux(m);λx(n)x(n－m)為x(n)的自共變系數，記為λ(m)。

共變系數λux(m)和濾波器的脈沖響應相關，可得

上式最后一步利用了共變的偽線性。u(n)是穩定白噪聲，滿足如下條件:

結合式(12)、式(14)～式(16)可得:

因此，對于一個SαSAR(P)過程，自共變系數存在如下關系:

SαSAR(P)參數矢量a 可以通過求解Yule-Walker 方程組得到。

將使用自共變系數描述的Yule-Walker 方程稱為廣義(或分數低階)Yule-Walker 方程，記為Ca=p。穩定白噪聲離差γu(n)的估計值^γu(n)可以用下面的等式計算得到:

對于高斯過程而言，自共變系數矩陣C 是對稱和正定的。但對于非高斯過程而言，C 通常是非對稱，甚至是奇異的。

3 自共變系數的估計

基于廣義Yule-Walker 方程頻譜估計算法的性能除了取決于算法本身，自共變系數λ(i)的估計也至關重要。在實際應用中，需要根據觀測樣本值估計自共變系數矩陣C和加權矢量p，即需要估計自共變系數λ(i)［2］。

對于任何1 ≤p ＜α，聯合α 穩定分布隨機變量X和Y 的共變系數可定義如下:

對于獨立觀測值(X1，Y1)，…，(XN，YN)，共變系數的估計值如下式所示:

為了簡化計算量，可以令p=1，于是得到:

如果觀測值獨立，則上式一致收斂。然而，對于AR 過程，其輸出序列并不滿足獨立性，但FLOM估計依然滿足一致收斂［1］。在實際應用中，對于FLOM 估計，只需將式(22)和式(23)分別作如下改寫:

4 預白化濾波及實驗數據檢驗

在實際的主動信號檢測中，往往采用滑動窗技術，對每次的窗內數據進行“譜估計→預白化→檢測處理”。預白化濾波器的構建基于譜估計，得到AR 參數估計后，即可基于該估計建立起預白化濾波器。

顯然，這是具有MA 結構的濾波器。它可以從觀測樣本序列{xn}估計出激勵序列{un}，式(27)亦被稱為激勵估計器。一般來說，AR 濾波有時亦被看作基于前P 個的觀測樣點預測當前樣點的線性預測器，這樣{un}亦是預測誤差，該式又被稱為線性預測誤差估計器。

使用［0601 三亞海試］中一段基元級混響數據，發射信號為800 ～1 000 Hz 的HFM 脈沖，脈寬為4 s，采樣頻率為6 kHz。帶通濾波已向發射通帶兩端各擴展50 Hz，即為750 ～1 050 Hz。數據長度與脈寬同長。使用廣義Yule-Walker 方程算法對其進行AR(256)譜估計和預白化處理，設定p=1，處理結果如圖1所示。由圖1(b)可以看到，在全帶內，觀測樣本擬合CS 曲線與觀測樣本統計CS 曲線重合得很好，經過預白濾波后，通帶內成功實現了白化。

圖1 一段海試數據預白化前后的CSFig.1 Covariation spectrum of a segment of sea trial data before and after prewhitened

需要指出的是，對于AR 模型階數P 的選擇目前尚無有效的定階方法，因此在實際應用中，一般是憑借經驗來指定AR 模型的階數。在數據有效長度損失和運算時長允許的范圍內，為了達到理想的預白效果，通常將階數指定的偏高一些。

5 結 語

本文主要研究基于分數低階統計量AR 模型參數的估計方法。首先，介紹共變譜、α 譜的概念以及穩定白噪聲的判別準則，并采用實際海試數據檢驗分析了共變譜的性能;討論一種基于α 譜的頻域廣義白化濾波方法。然后，從α 譜的角度出發，推導出基于自共變系數的廣義Yule-Walker 方程。通過仿真深入討論了基于廣義Yule-Walker 方程頻譜估計算法中，各參數對算法性能的影響。

本文第2 個主要研究內容是基于譜估計的預白化技術。對于AR 模型擬合的有色數據而言，預白實際上就是一個基于各AR 參數估計建立起來的MA濾波，亦即AR 激勵估計，只要模型參數估計足夠準確，就能得到理想的預白效果。采用大量水池實驗、湖試、海試實際數據，考察了分數低階白化濾波器的性能。

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