問題解決因充滿“創造”而精彩

趙玉城，甘肅省定西市第一中學教研室主任，甘肅省特級教師。主持完成“數學思維教育研究”等省級課題3項，均獲“甘肅省基礎教育優秀科研成果獎”：參與完成（材料統籌）甘肅省專項課題、規劃課題3項：主持完成全國教育科學“十五”規劃重點課題《數學教學綜合評價的方法與策略》子課題“構建課堂評價體系促進教師能力發展研究”工作：發表論文40余篇：曾被中國數學會評為“優秀教練員”，榮獲國家中學數學教育最高獎——蘇步青數學教育獎。

問題解決不僅是一項數學課程目標，還是一個發現與探索的過程，又是一個使學生實現“再創造”的過程，讓學生借此過程可以認識和理解數學。同時，問題解決也是我們實現數學教育目的的重要手段。此時，問題解決就獨立于一般的具體數學內容而成為數學學習的重要方面。在中學數學教學中，培養學生探索問題的能力和勤于思考的良好習慣，對學生的健康發展大有好處，而創造性思維的發掘又是培養學生的創新能力和刻苦鉆研精神的基礎。

一、問題解決是一種適宜的教學形式

數學教育的目的并不僅僅是為了學生學到一些數學知識，更重要的是讓學生學會在這個充滿疑問、有時連問題和答案都不是確定的世界里生存的本領。

對問題解決過程的探討歷來受到許多哲學家和心理學家的高度重視，就數學解題過程來說，波利亞將其分為：弄清題意、擬定計劃、實現計劃、回顧四個階段并制訂出相應的解題表。盡管有些數學家、教育家對它做過一些改進，但都沒有超出它的范圍。波利亞認為數學是一種創造活動，不要把數學理解為一種常規的、形式主義的演繹學科，而應類似于自然科學，它取決于猜想、頓悟和發現。他認為，問題解決是一種“實踐的藝術”，問題解決技術應該由教師闡明，并和學生一起討論。

現代的數學觀已由靜態的數學觀向動態的數學觀轉變，應把它看成是一種人類活動和文化過程。它不再是概念、定理等各種數學事實的簡單堆積，而是由問題、語言、命題、方法、核心思想、數學傳統、啟發性成分等組成的復合體。問題和問題解決都是數學活動的核心所在。因此，數學學習也是在一定的共同體下參與交流、討論、批評和反思的過程，而問題解決無疑是一種適宜的教學形式。

二、問題解決中的創造性思維及主要表現形式

問題解決作為一種適宜的教學形式，總是有不斷改進和追求的目標。除了掌握基礎知識，人們更關注“少投入多產出”的效果，甚至通過一定的基礎與技能開創新領域。這就必須具有開創意義的思維活動——創造性思維。廣義上講，創造性思維不僅表現為作出了完整的新發現、新發明的思維過程，而且還表現為在思考的方法和技巧上，在某些局部的結論和見解上，具有新奇獨到的思維活動。

其關鍵在于怎樣具體地進行創新性思維，在于多角度、多側面、多方向地看待和處理事物。在中學數學教和學的領域內，其核心突出地表現為：對問題的加工、對解決方案的選擇和對整個過程的監控與及時調節。具體講，就是整個教學活動圍繞材料的組織化、邏輯化、數學化、內化展開，教師則要承擔起各個環節的引領與時機掌控。

1.聯想思維

聯想是每一個正常人都具有的思維本能。由于有些概念、現象往往在時空中伴隨出現，或表現出某種對應關系，被人腦以一種特定的記憶模式接受，并以特定的記憶表象結構儲存在大腦中，一旦以后遇到其中一類似情形時，大腦就會自動地搜尋過去確定的聯系，從而聯想到不在現場的或眼前沒有發生的另外一些概念或現象。

案例一：源于生活實際的“超范圍”問題求解

例1：在一個有n（n≥2）人參加的畢業聯歡晚會上，學生間均要互贈相片一張，問這個晚會上互贈的相片共有多少張？該問題對于未學過“排列”的學生而言，屬“超范圍”問題。我們可按布魯納的觀點，設計個初中生比較熟悉也易于接受的模型。

思路1：提示，如這幾名同學站在n邊形n個頂點（n≥3）會想到什么？（馬上有學生聯想到這與n邊形的邊及對角線條數有關）；再問，n=2時成立嗎？（注意求解的完備幽。

思路2：構造圖表，只需要考慮目標“元素”與“行數”關系，這是個非常簡單的方案（此略）。

很明顯，如能在所給坐標平面內得到方程，問題即可獲解。但是，這種“位置”的橢圓沒有學生學過。事實上，橢圓所處位置與“坐標系旋轉”有關。現行課本沒有列入這一內容，因而使學生的思維受阻。

教師提示：通過題設與結論的分析，對點的位置描述方法可以改進（調整）嗎？學生：選用極坐標系，就能獲解（此略）。

可見，“超范圍”問題的處理是恰當地變換問題。其實，兩個坐標系都屬于學生掌握的，之所以將其定位于“超范圍”，是由于開始給出的直角坐標系以及長時間的應用把他“固化了”。

3.側向思維

當我們在一定的條件下解決不了問題，或雖能解決但只是用習以為常的方案時，可以用側向思維來產生創新性的突破。具體運用方式有以下兩種。

一是側向移入，即擺脫習慣性思維，側視其他方向，將注意力引向更廣闊的領域。二是側向轉換，即不按最初設想或常規直接解決問題，而是將問題轉換成為其側面的其他問題，或將解決問題的手段轉為側面的其他手段等。

案例三：換位思考2例

學習了等差數列、等差中項以后，特意安排了下面的問題。

學生運用了判別式，進行了這樣的分類：①兩根均為正；②兩根中一正一負；③兩根中一正一零。

有一部分學生已經將③“遺忘”（節點處教師要提醒）了，運算的繁雜、結果的“多元”，使學生的積極性再次受挫。至此，如果僅僅“質疑”運算能力，是不可取的，若有強大的刺激或進行正確的引導，必然帶來思維的變革。

師：“方程至少有一個正根”的反面可以研究一下嗎？

（學生茫然。教師堅持）

生：方程兩根均為負數或兩根中一負一零。

師：二者有關嗎？

（有的學生已經悟出了“內幕”。）

生：想到了求補集。

師：請給出答案（目的是與前者做出“自醒性”比較）。

以上過程體現的核心價值觀并不只是對“補集”的實驗，重要的是運用了逆向思維方法，從而從兩極世界中的另一極披露出事物的本質，彌補了單向思維的不足。

三、培養創造性思維的基本途徑

1.關注知識發生過程

在教學過程中，教師應把握創新思維培養契機，通過創設問題情景、展示知識背景，使學生感受整個思維過程。

如函數概念是初中階段最抽象的概念之一，升入高中后大部分學生對此概念仍模糊不清，尤其對函數圖像概念的理解更是一頭霧水，這將直接影響學生利用函數圖像解決數學問題的意識和能力。鑒于此，教師就可以利用“幾何畫板”預設函數概念的形成過程，讓學生主動參與經歷函數圖像概念的形成過程，幫助學生理解函數圖像的概念。可見，數學知識發生的思維過程，應充分體現在問題的提出過程、概念建立的過程、命題的探究過程和解題思維的展現過程與系統之中。

2.創設問題變換情景

創造性思維體現在問題解決中，就是問題變換與問題解決的創新。教會學生解決問題的策略與教會學生發現問題的方法同樣重要，這是教學論、學習論和方法論在教學中的體現。問題變換是培養發現能力的有效途徑，知識積累越多，問題變換的范圍就越廣泛。中學數學的各個知識點，都有相當豐富的資源，供我們去探索和發掘。

其中，問題變換是發現問題和規律的重要方法，引導學生進行問題變換不但可以發展數學認知結構，還可以培養學生刻苦學習，博覽群書的學習習慣和積極主動的創新精神。值得一提的是，由于心理安全和心理自由是學生進行創造性活動的基本前提；所以，構建民主平等的師生關系，即創設民主寬松的課堂教學氛圍，保障學生的主體地位，也是創設問題變換情境必不可少的一個環節。教師在教學過程中如果能保障學生的主體地位，學生就會感到自己受到尊重，就會主動參與并積極地提出問題，甚至直接參與到問題的變換之中。

學生長期形成的思維定勢，對接受新概念、新知識具有一定的影響，對創新更有一定的阻礙作用。既學到知識又發展思維并最終形成能力的課堂教學，應該是教學活動的最高境界。它自然地將創新教育作為預設和先導，在問題解決中，促成學生的思維創新。作為人類主要的活動方式和內容的創造性思維，必將隨著問題充滿“創造性地解決”而大放異彩。（責任編輯羅登廉）