廣播星歷參數物理意義分析與相關性研究

黃 華，何 峰，劉 林

(1.61876部隊，三亞572022;2.北京衛星導航中心，北京100094;3.南京大學天文與空間科學學院，南京210093)

0 引言

廣播星歷參數的擬合精度與穩定性直接影響衛星導航系統的服務性能，目前廣播星參數模型主要有兩種，一種是GPS采用的基于開普勒根數及其攝動變化量的星歷模型，另一種是GLONASS采用的基于衛星位置速度和簡化動力學模型參數的星歷模型。GPS采用的16參數模型具有擬合精度高，用戶算法簡單等特點，此后發展的衛星導航系統基本都采用類似參數模型。導航衛星軌道幾何特征和動力學特征是廣播星歷參數設計的重要依據。GPS星座由周期大約12小時、軌道傾角約55度的MEO衛星組成，其廣播星歷參數的設計主要針對該類衛星。GEO衛星的軌道幾何和動力學特征與MEO存在較大差異，如果采用傳統方法進行擬合，各參數之間相關性較強，而且存在部分參數變化幅度偏大等問題。國內的很多專家和學者對GPS廣播星歷參數模型在GEO衛星中的運用進行了研究和探討。文獻［2］研究了GEO衛星廣播星歷擬合中出現的Δn變化幅度過大和出現半月振蕩周期等問題，提出了基于參數嶺估計的解決方案，文獻［3］、［6］對比分析了18參數和16參數兩種廣播星歷模型之間的差別。本文主要通過研究GPS廣播星歷參數的物理意義，進一步分析不同類型衛星擬合中參數間的相關性，最后探討GPS廣播星歷參數對GEO衛星擬合不穩定的內在原因，為混合星座(由GEO，IGSO，MEO衛星組成)的廣播星歷參數設計以及擬合算法研究提供參考，進一步提高衛星導航服務精度和穩定性。

1 導航衛星軌道變化規律

導航衛星軌道高度較高，主要攝動源包括地球非球形引力、日月引力和太陽輻射壓。從衛星軌道運動分析解［1］中可以看出，在以上主要攝動力作用下，導航衛星軌道變化存在以下幾個特征:

(1)地球非球形引力和日月引力屬于保守力，太陽輻射壓在理想模型(球模型)和不考慮地影的情況下也屬于保守力，因此軌道沒有能量耗散，軌道半長徑A無長期變化項;

(2)由于地球非球形引力田諧項共振的影響，MEO、GEO和IGSO衛星軌道半長徑都存在一階(J2的量級)長周期項，其中GEO和IGSO衛星的一階長周期項量級比MEO大;

(3)偏心率e不存在長期變化，在非球形引力J3項和太陽輻射壓的影響下存在一階長周期項;

(4)軌道傾角i沒有長期變化項，但在日月引力攝動下存在一階長周期項;

(5)升交點赤經Ω、近點角距ω和平近點角M存在一階長期變化項和一階長周期變化項;

(6)所有軌道根數都存在短周期變化項。短周期項的頻譜分布為:最大項為半軌道周期項，其次是1倍軌道周期和3倍軌道周期項，大小與半軌道周期項相差一個偏心率因子。

由以上特征可以將軌道根數的變化用以下公式表達:

其中短周期項可寫成如下形式

2 廣播星歷參數物理意義分析

導航系統衛星精密軌道不采用普通的多項式或其它純數學意義的參數擬合，而是設計具有一定物理意義的廣播星歷參數，可以獲得更高的擬合精度和更強的預報能力。下面針對廣播星歷參數物理意義做一些分析。

GPS廣播星歷參數擬合弧長一般采用2到3個小時，短弧條件下長周期項的影響與長期項相近。

由第1節中對軌道攝動變化特征的介紹，GPS的16 參數廣播星歷模型中，(，e，i0，Ω0，ω0，M0)表達參考時刻的平根數(Ω0的意義與慣性系下的值并不一致)。

(Crs，Crc，Cus，Cuc，Cis，Cic)為短周期項改正的振幅，對應的改正項幅角為2u，廣播星歷中短周期項的改正項表達式為［4］:

解算正弦和余弦項振幅與解算余弦項振幅和相位等價，從式(4)可以看出，這6個參數只改正了短周期項的主項，即式(2)中的a cos(2u+φ1)項。廣播星歷參數并沒有針對每一個軌道根數做短周期項修正，而是對沿跡向幅角u、徑向距離r以及軌道傾角i進行修正。如果對每一個軌道根數都做短周期項修正，總的短周期項修正參數將達到12個，參數太多對星歷的擬合也會帶來不利的影響。所有的短周期項都可以歸算到三軸分量上，即R、T、N方向，對徑向距離r的修正實際上相當于對徑向R方向的修正，對沿跡向幅角u的修正相當于對切向T方向的修正，對軌道傾角i的修正相當于對軌道面法向N方向的修正，只需6個參數就可以表達對軌道的短周期項修正。廣播星歷的短周期改正項只吸收了短周期項的主項，其余的周期項殘留在了其他參數當中，對不同參考時刻的星歷參數作圖［6］就可以看出這一點，主要是與u，3u相關周期項。

Δn為平均角速度的修正值，導航衛星的偏心率較小，對于MEO和IGSO衛星來說，主要吸收了M和ω的長期項和長周期項，Ω·吸收了Ω的長期項和長周期項，idot吸收了i的長周期項。GPS新的18參數廣播星歷模型新增的兩個參數為半長徑A的變化率A·和Δn變化率Δ˙n，A·主要吸收半長徑的長周期項，Δ˙n主要吸收由A·引起的衛星運動角速度變化率。

與短周期項修正參數的考慮一樣，長期項和長周期項的修正實際上也相當于加在三軸方向，Δn為沿跡向修正，idot和Ω·為軌道面整體擺動的修正。在擬合弧段較短的情況下可以不考慮徑向的長周期變率，因此16參數模型中并沒有針對徑向的長期修正項，18參數模型引入了徑向相關的長期項修正參數即半長徑A的長期變化率，有利于進一步提高擬合精度。

3 廣播星歷參數相關性

利用經典擬合方法［5］對傾角為55度的MEO衛星軌道數據進行擬合，擬合弧段為3小時，軌道數據歷元間隔5分鐘。表1～表3給出了部分參數之間的相關系數(由于篇幅限制，這里不再列出所有參數之間的相關系數)，具有以下特點:

(2)參數 i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·之間相關性較強;

(3)Δn與所有參數的相關性基本相同。廣播星歷參數計算衛星位置的算法中最后一個公式［4］為:

表1 MEO衛星■A與其他參數的相關系數表Table 1 The correlation of■A and other parameters for MEO satellites

表2 MEO衛星i0與其他參數的相關系數表Table 2 The correlation of i0 and other parameters for MEO satellites

表3 MEO衛星Δn與其他參數的相關系數表Table 3 The correlation ofΔn and other parameters for MEO satellites

其中 xk、yk由，e，ω0，M0，Crs，Crc，Cus，Cuc以及 Δn得出，ik、Ωk由 i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·確定。xk、yk決定了位置矢量的大小和在軌道面內的指向，而ik、Ωk則決定了軌道面的空間指向，因此它們各自之間的相關性較強。Δn平均角速度的修正值，其中與日月引力相關的項為后面的式(8)，當軌道傾角較大(55度)時，Δn由A，e，i，Ω決定，所以它與其他參數的相關性基本相同;當i接近0時，Δn的大小主要由i決定，因此它與表達軌道面定向參數之間的相關性會增大，表4給出了GEO衛星Δn與其它參數之間的相關系數，Δn 與 i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·的相關性明顯增大。

表4 GEO衛星Δn與其他參數的相關系數表Table 4 The correlation ofΔn and other parameters for GEO satellites

4 GEO衛星的小傾角問題

GEO衛星與IGSO/MEO衛星軌道幾何特征的差別之一在于其軌道傾角較小，基于開普勒根數的廣播星歷參數本身具有一定奇異性，即存在小傾角奇點。

4. 1 Δn等參數振幅的分析

對GEO衛星軌道擬合還發現，Δn的變化有半月周期［2］，如圖2 所示。

地球的非球型引力J2項和日月引力是GEO衛星的主要攝動力。J2項攝動引起的Δn一階長期項如下式:

圖1 Δn、+ Δn 變化圖Fig.1 The evolution ofΔn， + Δn

其中 p=a(1 －e2)，J2=1.082 63 ×10－3，當i=5°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時，J2引起的Δn=2.5×10－9(用 π 量化，即將標準單位(弧度 /秒)對應的值再除以π)，由式(7)可以看出，J2引起的長期項中不包含奇點，不會引起Δn超限，日月引力攝動的長期項也不含奇點，且量級比J2小，所以也不可能造成超限問題。J2引起的長周期項沒有奇點，也不可能造成超限現象。日月引力引起Δn的長周期項中含有奇點，包含奇點的項為:

其中β=m'/(r')3，m'為攝動天體的質量，r'為攝動天體到地球的距離，i'為攝動天體軌道傾角，u'=2中Δn變化幅度增大且出現半月周期的原因。量級估算為:

i=1°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時，Δn=7 × 10－9;

i=5°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時，Δn=1.5 × 10－9。

由此可見i=1°比i=5°引起的Δn要大許多。但在i=5°的情況下，Δn的變化范圍仍然較大。

4. 2 對擬合穩定性的影響

造成GEO衛星擬合效果不佳和部分參數振蕩范圍增大的主要原因是參數之間的相關性太強，特別是在小偏心率和小傾角兩個奇點的同時影響下，Δn和Ω·的相關性太強，甚至可能接近線性相關的條件，這種情況下會導致擬合的法方程病態，最終導致擬合發散。在e→0，i→0的情況下:ω'+M'為攝動天體近地點角距與平近點角之和，θ=Ω－Ω'為升交點赤經與攝動天體升交點赤經之差。式(8)表明，Δn的長周期變化項周期為攝動天

tk=t－toe，為數據歷元與參考歷元之差。這種情況下法方程將出現虧秩現象，導致擬合難以收斂。

4. 3 解決策略探討

小傾角引起的奇點并不是本質奇點，而是由于坐標系的選取不當導致，有學者提出了坐標系基本參考面旋轉一個角度的方法來改善GEO衛星的擬合效果［5］，相當于重新選取坐標系。只改變坐標系基本參考面的情況下，新的坐標仍然是慣性系，衛星在新坐標系下的攝動變化規律基本不變，軌道形狀的變化規律無論在那個慣性系下都不會變，軌道面整體的南北擺動、西退或東進等規律也不會變，因此，在新坐標下各參數的值有所變化，但其物理意義并沒有嚴重扭曲，新坐標系下不存在小傾角引起的奇點，參數的振幅變小，法方程的病態性也得到了很大改善，不會出現擬合發散的現象。圖3給出了傾角為1度的GEO衛星，坐標系旋轉55度以后Δn與Ω·的變化圖，可以看出，Δn和Ω·的變化幅度都比圖1小。

圖3 GEO 衛星 Δn、Ω· 以及Ω· + Δn變化圖Fig.3 The evolution ofΔn，Ω· and Ω· + Δn for GEO satellites

5 結論

通過對廣播星歷參數物理意義和參數之間相關性的分析得出以下幾點結論:

(1)廣播星歷參數的設計基本依據了衛星軌道的幾何和動力學特征，對于MEO衛星，參數之間相關性的特點是:反映衛星位置矢量大小及其在軌道面內指向的參數之間相關性較強，表征軌道面定向的參數之間相關性較強，Δn與所有參數的相關性一樣。

(2)GEO衛星廣播星歷擬合過程中Δn與表征軌道面定向的參數之間相關性增大，主要原因是小傾角條件下參數奇異性的影響，這也是導致擬合過程中Δn變化幅度偏大和部分情況下擬合發散的根本原因。

(3)GEO衛星擬合中的小傾角奇點問題主要反應在日月引力攝動中，這是GEO衛星廣播星歷參數Δn出現半月振蕩周期的原因。

(4)通過將坐標系基本平面旋轉一定角度可以改善GEO衛星的擬合效果，角度的選擇不宜太小，否則仍然可能出現參數超限現象。

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