衛星姿態控制系統的可重構性分析

樊 雯，程月華，姜 斌，劉文靜

(1.南京航空航天大學自動化學院，南京210016;2.南京航空航天大學航天學院，南京210016;3.北京控制工程研究所，北京100190;4.空間智能控制技術國家級重點實驗室，北京100190)

0 引言

近年來，隨著空間技術的發展，對衛星姿態控制系統安全性和可靠性的要求不斷提高，故障重構方案的研究受到了廣泛的重視。這些方案包括硬件冗余和容錯控制器的設計［1－5］，但對衛星姿態控制系統自身的可重構性卻鮮有研究。可重構性是指在資源配置一定的情況下，系統發生故障后恢復全部或部分性能的能力［6］，是系統的一個基本特性。如果能像可靠性一樣提出一套合理的可重構性評價和設計體系，將對提高衛星姿態控制系統的可重構性設計水平進而提高系統故障處理能力具有重要意義。因此，針對衛星姿控系統提出合理的可重構性評價指標，能夠為系統可重構性設計提供初步的思路和理論依據。

目前，可重構性在航天領域的研究尚處于初步階段，在國內外現有文獻中，針對衛星姿態控制系統的可重構性研究鮮有報道。另一方面，針對控制系統，已有一些研究在理論上提出了控制可重構性的概念，并通過仿真算例進行了分析，可以在一定程度上作為本文研究工作的理論借鑒。Frei等人［7］利用可控性和可觀性格蘭姆矩陣的行列式來描述線性定常系統的可重構性;而 Wu，Zhou 和 Salomon［6］提出利用最小二階模態［8］，也就是可控性和可觀性格蘭姆矩陣乘積的最小奇異值，對線性定常系統的控制可重構性進行分析;Hoblos等人［9］分析了可恢復故障集的大小和不可恢復故障發生前的平均時間，以此評價線性定常系統的可重構性;基于系統性能，Staroswiecki［10］提出了在一定能量約束條件下，系統對執行器故障的可重構性，即故障后系統的控制問題有可容許的解。此外，文獻［11］對一類線性混合系統的控制可重構性進行了研究，認為故障后仍保留可控性的系統是控制可重構的;Yang等人［12－13］則針對切換系統，定義了切換系統的可控性格蘭姆矩陣并以此作為故障可恢復性的評價指標。然而，這些基礎性的工作僅僅是基于系統方程對系統特性進行分析，并未針對特定的控制對象結合其系統配置等特點展開研究。

本文將針對衛星姿態控制系統，開展可重構性分析研究，旨在對姿控系統的可重構性分析進行探索，以期為衛星姿態控制系統的可重構性設計提供一些可行的理論依據。因衛星姿態控制系統模型是較為復雜的非線性系統，而現有理論工具均是基于線性系統理論的，故將系統模型在工作點附近線性化處理，以此考察系統局部的可重構性。首先針對衛星姿態控制系統的特定執行機構及傳感器配置，分別分析其故障情況，然后從系統級的角度分析可控性、可觀性與可重構性之間的關系，進而提出可重構性評價方案。最后在仿真中對所提出的評價方案進行驗證。

1 系統模型

配置反作用飛輪的三軸剛體衛星姿態動力學方程可表示為:

式中:J為衛星的慣量矩陣;ωi=［ωxωyωz］T為星體相對與慣性空間的角速度在星體坐標系中的投影矢量;hω為飛輪角動量;Mc為飛輪控制力矩;Md為各種干擾力矩總和;ωi*定義為

3－1－2轉序下由歐拉角描述的運動學方程為

式中:ω =［ω1ω2ω3］T為衛星姿態相對軌道坐標系的轉動角速度在星體坐標系下的投影;ω與ωi的關系為ω =ωi－Cobωo，Cob為軌道坐標系到星體坐標系的轉換矩陣，ωo=［0 ωo0］T為軌道角速度;φ、θ、ψ 為歐拉角。

定義狀態變量x=［ωxωyωzφ θ ψ］T，y為傳感器測量輸出，u(t)是控制力矩，把系統(1)和(2)改寫為狀態空間的形式:

式中:f(x，t)=［f1f2］T，f1= － J－1［ωi*］J，f2的定義如下

B= ［J－1Bw03×3］T與反作用飛輪安裝方式有關，Bw為反作用飛輪的安裝矩陣;C由傳感器的配置方式決定。

將系統模型(4)在工作點附近進行線性化處理，得到姿控系統的線性化系統模型為:

其中A是通過令f(x，t)在工作點線性化得到。

注1.下文對衛星姿態控制系統的可重構性分析將基于線性模型(6)，因其是在工作點附近線性化獲得，該模型只能代表局部的姿控系統動力學，故本文的分析結果并不是全局適用的，而是對系統局部的可重構性的一個分析。

2 可重構性分析

2. 1 執行機構可重構性特性分析

衛星姿態控制系統由衛星本體、控制器、執行機構和傳感器等部分組成。反作用飛輪是常見的執行機構，它通過調節轉速，進行飛輪和衛星星體之間的角動量轉換，實現衛星姿態控制。其常見配置有三軸正交安裝、三正交加一斜裝和四斜裝等［14］。

考慮執行結構發生恒增益失效故障，令a=［a1，a2，…，ai］T為執行機構失效因子向量，i為反作用飛輪的個數。a中各元素均為0到1之間的常數，1表示飛輪正常工作，0表示飛輪完全失效。執行機構失效因子 a通過 Bf(a)=［b1a1，b2a2，…，biai］作用于衛星姿態控制系統，其中b1，b2，…，bi是B的列向量。于是由式(6)改寫的衛星姿控系統執行機構故障狀態方程為:

對于衛星姿態控制系統，在故障后系統是否仍然可控關系到系統能否通過控制重構恢復系統性能。執行機構作為執行系統控制指令的部件，其故障將直接影響系統的可控性。若控制系統喪失可控性，則需要通過硬件備份替換等方式恢復系統的可控能力從而維持系統運行。若利用硬件重構仍無法恢復系統的可控性，則可認為系統不再具備可重構性。故針對執行機構故障，從故障后系統的可控性入手，對系統的可重構性特性進行分析很有必要。

命題1.對于線性系統˙x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，x(t0)=x0，t≥t0，其中x為n維狀態向量，u 為 p 維控制輸入，A ∈ Rn×n，B ∈ Rn×p，并定義Φ(t0，t)為系統的狀態轉移矩陣。如果存在t1＞t0，τ)B(τ)BT(τ)ΦT(t0，τ)dτ 非奇異，則系統完全可控;反之亦然。

下面只對此命題的充分性進行分析:

若系統的可控性格蘭姆矩陣Wc(t0，t1)非奇異，則t0，t1)存在。對任意非零初始狀態 x0，可選取控制u(t)為

則在控制律(8)作用下，系統狀態x(t)在t1時刻的值為

這表明，對任意取定初始狀態x0≠0，都存在有限時刻t1＞t0和容許控制(8)能使系統由狀態x(t0)=x0轉移到t1時刻的x(t1)=0。于是根據可控性定義，系統完全可控。

顯然，有J*≤J1，于是使得控制能耗J*小于一個給定上界ξ＞0的一個充分條件是J1≤ξ。故若控制律(8)的能耗滿足能量約束條件，即是可容許的，則系統的最優控制律也一定是可容許的。

計算J1的大小，得

進一步將能量約束條件放寬為

鑒于x0為系統給定初始值，故可用λmax(W－1c)作為系統控制能耗的一個度量指標。只要λmax()足夠小，使得不等式(12)成立，則在［t0，t1)期間系統需要控制狀態的能量將滿足控制能耗要求。

下面對故障后的衛星姿態控制系統(7)進行分析:系統的可控性格蘭姆矩陣Wc由{A，Bf(a)}對決定，而執行機構失效因子a直接影響Bf(a)，于是執行機構故障將影響系統的可控性且Wc的特征值是a的函數。也就是說，反作用飛輪的失效將導致系統的可控性降低，同時控制系統所需的控制能耗也將增大。考慮到星上能源有限和反作用飛輪的最大輸出力矩限制，若要實現系統重構，控制能耗必須低于一個閾值。因此，對于執行機構故障，系統的可重構性包含如下兩層含義:系統在故障發生之后仍然可控;系統的控制能耗滿足能量約束條件。

2. 2 傳感器可重構性特性分析

為提高精度和可靠性，星上一般不單獨采用某一敏感器進行姿態測量和確定，而采用幾種敏感器的組合。參考國內外現有的幾種典型姿態確定系統組合方案，本文選取“陀螺+星敏感器”的方案進行可重構性特性分析。在這種方案中，我們認為陀螺用來測量姿態角速度，星敏感器用來測量姿態角。因姿態確定系統本身涉及到信息融合濾波算法等，較為復雜，故在此不考慮傳感器的定姿算法和測量精度變化，只考慮陀螺和星敏感器不同的故障情況下，傳感器的測量輸出對系統輸出方程的影響。

系統輸出方程為

其中 y為系統輸出，x = ［ωxmωymωzmφmθmψm］T，C則與傳感器的配置方式有關。

考察輸出方程(13)，傳感器故障對系統級的影響實際反映在矩陣C上，而{A，C}決定了系統的可觀性。可觀性是系統可重構性所需要考慮的一個重要特性，失去可觀測性的系統將無法通過系統的輸入和輸出(如建立觀測器)獲取狀態信息，因而無法采取有效的重構策略維持系統性能，失去可重構性。因此，我們針對各傳感器不同的故障情況，將其影響反映到系統級，分析對應的系統可觀性，從而判斷系統的可重構性。

對于陀螺，為了測得較準確的三軸姿態角速度信息，星上一般都會安裝三個以上陀螺來提供備份，常見的配置方案有三軸正交冷備份、3+1S、正十二面體安裝等等。下面以3+1S陀螺組件為例進行分析。

3+1S陀螺組件包括4個陀螺單體，4個陀螺的安裝方向如圖1所示。編號1、2、3的三個陀螺沿著星體的3個坐標軸安裝，第4個陀螺作為備份，沿斜軸S安裝，斜軸S的方向與X軸、Y軸、Z軸的夾角為a，b，c，當 a=b=c=54.75°時是最優的配置結構。

圖1 3+1S陀螺安裝示意圖Fig.1 Four gyros in the3+1S configuration

根據圖1，測量方程為:

其中，m=［m1m2m3m4］T為測量值，H為測量矩陣。

對于陀螺組件，在檢測定位故障后，在測量方程的輸出測量值m及測量矩陣H中刪去與故障陀螺輸出測量值相對應的那一行，重新進行組合，就可以對故障陀螺進行隔離，實現陀螺冗余系統重構。因此，對于陀螺故障的情況，我們首先將測量矩陣中對應故障陀螺的那一行處理為“0”，然后分析測量矩陣是否滿秩，是否能夠獲取姿態角速度的信息。

對于星敏感器，其測量方程為

將受傳感器故障影響的系統輸出方程記為

對于上述傳感器故障，若{A，Cf}仍然可觀，則系統具備可重構性，否則不可重構。

2. 3 姿態控制系統可重構性評價

綜合上述分析，衛星姿態控制系統的可重構性從如下兩個層次來評價:

(1)系統在故障發生之后仍然可控可觀;

(2)系統的控制能耗必須滿足能量約束條件，否則即使系統可控可觀，實際上也無法實現重構。

定理1.對于故障后的衛星姿態控制系統(7)和(16)，定義ρ=λmin(Wc)，λmin(Wc)表示系統可控性格蘭姆矩陣Wc的最小特征值。若系統可控可觀且滿足ρ(a)≥η，其中η是在系統設計時給定的最小可重構性閾值，則系統具有可重構性。

定理1給出了故障后系統是否具備可重構性的判別方法，ρ表征了系統的可重構性大小:λmin(Wc)越大，則 λmax(W－1c)越小，系統控制能耗越小，可重構性越大。

由此，我們給出了系統可重構能力大小的定量標準，同時也可以為系統冗余配置的設計提供理論指導。

3 仿真分析

本節以配置四軸斜裝反作用飛輪和3+1S陀螺組件及星敏感器正交安裝的衛星姿態控制系統為例，利用上述方法對其可重構性進行分析。具體仿真參數如下:

四軸反作用飛輪安裝示意圖如圖2［15］，分別編號1、2、3、4，安裝角 α =45°，相對俯仰軸 β =54.74°。

圖2 四飛輪斜裝示意圖Fig.2 Four reaction wheels in a tetrahedral configuration

表1 部分執行機構故障下的系統可重構性Table 1 Reconfigurability of ACSin partial actuator fault cases

針對執行機構，部分分析結果見表1。假設系統設計要求的最小可重構性指標η=0.03，從表中可以看出，在兩軸飛輪完全失效的情況下，雖然系統仍具有可控性，但和前2種故障情況相比ρ＜η，控制能耗過大，故認為此時的系統不具備可重構性。三軸飛輪完全失效的情況也是如此。而當全部飛輪完全失效時，系統不再可控，也不具備可重構性。

圖3 故障情況1對應的系統可重構性Fig.3 Reconfigurability of ACSfor Case 1

考慮兩種故障情況:(1)飛輪3、4正常，飛輪1、2發生失效故障(Case1);(2)飛輪1完全失效，飛輪4正常，飛輪2、3失效故障(Case2)。圖3、圖4分別是Case1和Case2對應的ρ的變化情況，并與設定的閾值平面進行比較。從圖中可以看出，系統可重構性隨執行機構故障程度的變化規律，隨著飛輪失效程度的增加和冗余程度的減少，系統的可重構性也逐漸減小。當設定閾值η=0.03時，對圖3的故障來說，只要飛輪1或者2的有效率高于50%，系統還是可重構的;對圖4的故障來說，因飛輪1已完全失效，系統要保持可重構性，則飛輪2和飛輪3的有效率要保持較高的水平，如當飛輪3只有50%的有效率時，飛輪2必須100% 有效才能保證ρ不低于0.03。

圖4 故障情況2對應的系統可重構性Fig.4 Reconfigurability of ACSfor Case 2

針對傳感器，部分可重構性分析結果見表2。可以看出，在出現兩個以上陀螺故障而星敏感器測姿正常時，雖然陀螺組件自身無法進行重構，但系統仍具備可觀性，可建立觀測器重構角速度信息。而當星敏感器出現故障時，系統不再可觀，無法重構角度信息。

基于上述仿真分析，在系統可重構性設計過程中，在多種故障情況下保證系統的可控性和可觀性是一個基本的要求。在此基礎上，可以規定一定的設計約束指標η，對于不同配置和不同故障程度的系統，若有ρ≥η，則系統具有可重構性并能以此對系統的可重構性做出預計，否則應重新考慮如硬件冗余等方面的設計問題。

4 結論

本文針對衛星姿態控制系統，從系統的可控性、可觀性與可重構性之間的關系出發，利用可控性格蘭姆矩陣給出了系統可重構性的評價方法并考慮故障對一定配置下的衛星姿控系統進行了可重構性分析，從根本上分析系統在故障后能否進行重構。

本文從系統自身特性的角度，對衛星姿態控制系統在故障后是否能夠通過故障重構手段恢復全部或部分性能的能力進行了分析評價，可為系統在設計階段提高可重構性水平提供理論依據，也對提高系統的故障處理能力具有重要參考價值。

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