平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式

文 輝，李風(fēng)玲，趙 潔，林超慧，唐壯麗

(惠州學(xué)院建筑與土木工程系，廣東惠州 516007)

在輸水工程設(shè)計(jì)中，主要有圓形、城門洞形和馬蹄形等幾種過水?dāng)嗝嫘问剑鼈兌季哂辛W(xué)條件好、水流平順等特點(diǎn)。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)圓形、城門洞形和馬蹄形斷面的正常水深、臨界水深等水力計(jì)算問題進(jìn)行了較為深入的分析研究，得到許多簡(jiǎn)捷的計(jì)算公式，解決了不少常規(guī)算法中存在的工程實(shí)際問題［1-9］。平底Ⅰ型馬蹄形斷面由標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面演化而來(lái)，即將底拱改為平底，它對(duì)于基底壓力不大的地質(zhì)情況或斷面尺寸較小的Ⅰ型馬蹄形隧洞較為適合，且施工尺寸容易控制，受力條件好，因而應(yīng)用廣泛［10］。文輝等［11］給出了這種斷面形式的臨界水深的直接計(jì)算公式，但該公式為分段函數(shù)，需要根據(jù)水深的具體情況來(lái)判別，選擇相應(yīng)的計(jì)算公式，不便應(yīng)用。為此，本文從平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深基本方程出發(fā)，依據(jù)給水排水工程規(guī)范及水利工程規(guī)范等要求，考慮工程實(shí)際應(yīng)用情況，確定公式的適用范圍，對(duì)無(wú)量綱臨界水深和無(wú)量綱參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)一步分析研究，應(yīng)用擬合優(yōu)化方法，得到平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。

1 臨界水深基本方程及水力要素

1．1 臨界水深的基本方程

明渠水流中存在緩流、臨界流和急流3種流態(tài)。臨界水深是相應(yīng)于明渠水流斷面單位能量最小的水深，在明渠水力計(jì)算中是很重要的，它必須滿足臨界流方程:

式中:Q為流量，m3/s;α為動(dòng)能修正系數(shù)，本文取1.0;g為重力加速度，m/s2;A為相應(yīng)于臨界水深時(shí)的過水?dāng)嗝婷娣e，m2;B為相應(yīng)于臨界水深時(shí)的水面寬度，m。

1．2 斷面的構(gòu)成

平底Ⅰ型馬蹄形斷面將標(biāo)準(zhǔn)I型馬蹄形斷面的底拱改為平底，如圖1所示(圖中r為頂拱半徑，它是構(gòu)成平底Ⅰ型馬蹄形斷面最基本的幾何參數(shù);θ為底拱的弦所對(duì)應(yīng)的圓心角的一半，亦為兩側(cè)拱對(duì)應(yīng)的圓心角;γ為過水?dāng)嗝鎮(zhèn)裙皩?duì)應(yīng)的圓心角;φ為過水?dāng)嗝骓敼皩?duì)應(yīng)的圓心角;hd為平底Ⅰ型馬蹄形的特征高度)。

圖1 平底Ⅰ型馬蹄形斷面

1．3 斷面的水力要素

根據(jù)平底Ⅰ型馬蹄形斷面的幾何特點(diǎn)，2種水力條件下斷面的臨界水深h和其他水力要素的計(jì)算公式如下:

a．當(dāng)0＜h≤hd或0≤γ≤θ時(shí)，有

式中:c為常數(shù)，取1.667322。

1．4 臨界水深的隱函數(shù)表達(dá)式

設(shè)無(wú)量綱臨界水深為臨界水深與斷面頂拱半徑之比，即

那么2個(gè)未知的圓心角就可用無(wú)量綱臨界水深 X來(lái)表示:

將式(2)～(5)代入式(1)并整理，可得平底I型馬蹄形斷面臨界水深帶反三角函數(shù)的高次隱函數(shù)表達(dá)式:

2 臨界水深計(jì)算公式的適用范圍

根據(jù)DL/T 5195—2004《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》［12］，為了保證在水位變化情況下無(wú)壓隧洞仍能保持無(wú)壓流狀態(tài)，要求通過最大流量時(shí)隧洞過水?dāng)嗝婷娣e不大于隧洞斷面總面積的85%，即

式中:A*、A0分別為通過最大流量時(shí)隧洞的過水?dāng)嗝婷娣e和總面積。

根據(jù)水力要素計(jì)算公式可知:

將式(8)和式(9)代入式(7)，得到三角函數(shù)超越方程，即

經(jīng)試算解得 φ=1.9134，X=1.447。為了提高公式的適用性，適當(dāng)外延h的上限取值，即h上=1.60r;考慮到大多數(shù)工程實(shí)際應(yīng)用情況，過小水深沒有太大的實(shí)際意義，h的下限取值h下=0.05r，所以無(wú)量綱臨界水深計(jì)算公式的工程適用范圍為0.05≤X≤1.60。

3 臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式

為了方便研究，將式(6)左側(cè)的已知量設(shè)為無(wú)量綱參數(shù)，即

本文以冪函數(shù)形式構(gòu)造計(jì)算公式，通過進(jìn)行大量試算，并采用編程逐步擬合優(yōu)化的方法，得到無(wú)量綱臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式:

4 誤差分析

表1 簡(jiǎn)化公式誤差分析

從表1可以看出，在工程適用范圍內(nèi)，臨界水深計(jì)算值的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為0.485%，最小僅為0.020%，且絕大多數(shù)小于0.400%，可見式(12)具有較高的精度，可極大地方便工程設(shè)計(jì)人員在平底Ⅰ型馬蹄形斷面隧洞工程設(shè)計(jì)中直接使用。

5 算例

某水庫(kù)輸水隧洞采用平底Ⅰ型馬蹄形斷面，初設(shè)頂拱半徑r=2.5 m，計(jì)算通過流量Q=100 m3/s時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界水深h。

6 結(jié)論

a．對(duì)平底Ⅰ型馬蹄形斷面的臨界水深基本方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，以冪函數(shù)形式構(gòu)造公式，采用優(yōu)化擬合方法得到臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。

b．該簡(jiǎn)化計(jì)算公式不是分段函數(shù)，無(wú)論水深位于隧洞下部扇形還是上部半圓形內(nèi)，都可以直接計(jì)算臨界水深，計(jì)算簡(jiǎn)捷方便，通用性強(qiáng)，適用范圍廣。

c．在工程適用范圍內(nèi)，簡(jiǎn)化公式最大相對(duì)誤差的絕對(duì)值為0.485%，計(jì)算結(jié)果精度較高，可為平底馬蹄形斷面隧洞工程設(shè)計(jì)提供參考。

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［12］DL/T5195—2004 水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．