輔助性機械臂的設計與運動學分析

袁 亮，陳錫伍

YUAN Liang,CHEN Xi-wu

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊 830047)

0 引言

隨著當前科技的發展，機器人早已超越了傳統的工業領域，服務機器人在一些發達國家得到了快速發展[1]。日本將家用機器人產業的發展提升到了一個戰略的高度，給予重大支撐。日本一系列先進的機器人不斷涌現，如本田公司的ASIMO。歐美等國家特別重視機器人學習的能力的開發，在美國產業化和公司運作很成功，培育了像iRrobot和WOWWEE這些專門做機器人的公司[2]。我國在服務機器人領域起步較晚，但在國家863計劃的支持下，一些高校和科研院所也研制出了較為先進的智能機器人，我國在服務機器人研究和產品研發方面也取得很大成績，但與美日等國家相比還有一定的差距。

本文將對安裝于機器人輪椅旁的輔助性機械臂進行研究，它作為一種服務輕型機械臂，機械臂的機械性能直接關系到機械臂控制系統的整體性能，因此合理的機械臂結構以及關節配置顯得尤為重要。本文在對所選機械臂構型進行運動空間分析的基礎上，運用三維軟件對機械臂進行具體設計，最終造出了四自由度機械臂一臺，實現了機械臂運動控制系統的硬件平臺。為了實現機械臂的運動控制研究，就要對機械臂進行軌跡規劃研究，而正確的機械臂運動學分析是軌跡規劃的前提和基礎。因此隨后進行了運動學分析，正逆解的求解，并且用MATLAB機器人工具箱進行了仿真及驗證。

1 四自由度機械臂構型

機械臂的關節形式主要有轉動關節和移動關節[3]。移動關節，特別是正交的移動關節具有結構簡單，運動位置精度高的特點，且不易產生運動學奇點，但所占空間較大，工作范圍相對較小。轉動關節動作靈活，所占空間小，工作范圍大，易于在狹窄空間內繞過各種障礙物。但運動學逆解求解較為復雜，并且容易出現運動學奇點，給軌跡規劃帶來困難。

但考慮到所設計的機械臂是安裝在室內郵差機器人的一個輔助型手臂，模仿人的手臂實現抓取、搬運物件等。轉動關節形式更為靈活，工作范圍大，更具有人臂的一些特點。所以關節形式選用轉動關節。同時由于手臂的工作性質并不需要太多的自由度，所以考慮成本因素，最終確定了4R機械臂的結構形式如圖1所示。

這里不再介紹機械臂構型的選型過程，僅對所選構型的機械臂運動空間進行分析，以驗證所選機械臂結構是否符合工作要求。這里采用Matlab軟件，首先要建立機械臂模型，這就要導入機械臂參數。結合機器人學[4]，為機械臂各個連桿建立坐標系后，寫出機械臂的D-H參數如表1所示。

表1 機械臂連桿參數

根據連桿四參數確定機械臂模型，并規定各個關節角的運動范圍。為了更形象直觀的觀察機械臂的運動空間，在表1所示關節角范圍內，利用rand()函數隨機產生1萬組關節角的值，然后將這1萬組值輸入機械臂模型，并利用MATLAB圖像功能生成空間點云圖。如圖2(a)、圖2(b)所示分別為工作空間點云的三維視圖、X-Z面投影視圖。

圖2 機械臂空間云圖

根據三維視圖同時結合X-Z面投影圖，觀察機械臂運動空間的形狀和工作空間邊界，圖上坐標是以毫米為單位的，可以看出機械臂的大概工作區域是以機械臂X0Y0Z0坐標系的原點為圓心，半徑為0.5米的一個空心球再去掉下面的一部分，有點像蘑菇的傘蓋，符合機械臂工作特點。同時點的分布特點在一定程度上反應了機械臂在各個空間位置的靈活程度。點密集度較高的空間位置，機械臂靈活度較高，即這些位置是機械臂的靈活工作空間；點在中心和邊緣較為稀疏，表明這些區域機械臂可能只能在一個位姿抵達，即只處于可達工作空間。

2 機械臂設計

確定了機械臂的構型，然后通過動力學方程的計算，求出機械臂各關節的需求力矩，進行電機和減速器的選型，并根據關節驅動部件的裝配形式對機械臂連桿進行具體設計，利用UG建立各個部件三維模型后，經裝配形成整機，如圖3所示。

圖3 機械臂三維整機裝配模型

然后按照最終的優化結果，進行機械臂部件的制造，以及電機、減速器等的購置，制造出的4R機械臂如圖4所示。

圖4 機械臂實物圖

3 數學模型的建立

要對機械臂進行運動控制，以使機械臂按指定路徑工作，就需要對機械臂進行軌跡規劃。而機械臂運動學的求解又是軌跡規劃和運動控制的前提和基礎，下面進行運動學正解和逆解的求解。

3.1 運動學正解

已知機械臂的各個關節角θ1、θ2、θ3、θ4，求取工具坐標系，即末端執行器的位姿（相對于基坐標系）為正運動學分析，位姿的解即運動學正解。由4R機械臂每個連桿之間的變換矩陣連乘就得到基座和末端執行器之間的總變換：

根據表1連桿參數，通過相鄰連桿變換矩陣可以得到末端執行器相對于基坐標系的總變換為：

即為運動學正解，其中：

3.2 運動學逆解

如果已知末端執行器相對于基坐標系的位姿，進行關節角θ1、θ2、θ3、θ4的求解，稱為逆運動學分析，正確的逆解求解直接關系到機械臂的軌跡規劃，也是運動學最重要的部分[5]。我們給出機器人的期望位姿的矩陣表示：

式中，a為機械臂的接近向量；o為機械臂滑動向量；n為機械臂法向向量；p為末端執行件的位置坐標。

那么可以通過求解方程（2）得到各個關節角：

即求解

通過求解方程(3)可以得到:

4 機械臂正逆解的驗證與仿真

由于機械臂的解的正確與否直接關系到后面的軌跡規劃能否實現，因此有必要對上述所求的解進行驗證。我們這里采用MATLAB機器人工具箱，它能夠建立機械臂的仿真模型，從而從視覺上更直觀的觀察機械臂的空間位姿；內置的Frank()函數能夠根據所輸入的一組關節角求出相應的位姿矩陣，即運動學正解；調用Irink()函數根據給定的位姿矩陣求出一組關節角，來驗證逆解是否正確。

4.1 正解仿真檢驗

根據第3節正逆解的求解結果用MATLAB GUI設計機械臂正逆解求解器。對機械臂解的檢驗方法是把求解器的運行結果和機器人工具箱的結果進行對比。為了更有說服力，我們在機械臂各關節角的運動范圍內通過rand()函數隨機產生一組關節角：0.8316- 0.3306- 1.0483 0.2158。如圖5所示，由于在設計求解器的時候，機械臂位姿矩陣即n、o、a、p為數據輸入輸出框雙用。將第一組解的位置同時作為輸入框和輸出框雙用，其它作為數據輸出顯示框。將這組解輸入第一組解的輸入框，在機械臂正解處點擊“求解”按鈕，運行后，在機械臂位姿矩陣的中顯示所算的位姿矩陣的結果如圖5所示。

圖5 機械臂正解求解結果

然后我們用MATLAB機器人工具箱進行仿真驗證。在MATLAB的Command Window中輸入相應程序運行結果如圖6所示。

圖6 MATLAB機器人工具箱仿真結果

機械臂各關節角如圖6中q1、q2、q3、q4的值，X、Y、Z的值為機械臂末端執行器的空間位置坐標，即P向量，可以看出圖5求解器中P列的數值與它一致，而ax、ay、az的值即代表了末端執行器的位姿，可以看出圖5求解器中a列的值與它一致。為了更好的對比，調用機器人工具箱的Frank()函數能夠得出一組矩陣，即機器人工具箱求解結果復制過來如下：

可以看出圖5所示求解器中位姿矩陣的值與其一致，這就證明了求解器的算法的正確性，即運動學正解的正確性。

4.2 逆解仿真檢驗

由于逆解求解和正解求解器編進了同一個求解器，只要在圖5所示位姿矩陣輸入框中輸入一組位姿矩陣的數據，點擊逆解求解按鈕，下面的各個關節角輸入框中就能得到四組關節角的值，這是因為機械臂只有4組解。

前面檢驗了機械臂正解的正確性，我們就可以用正解去檢驗逆解。直接用圖5的位姿矩陣作為已知進行逆解求解，如果能把輸入的那組值反求回來，就證明逆解的正確。如此點擊逆解求解按鈕，得到了如圖7所示的結果。

圖7 求解器逆解計算結果

觀察圖7可知前面輸入的那組解即式圖7中的第二組解，另外通過反復點擊正逆求解按鈕，發現機械臂的各個文本框中的數值變化不大，證明機械臂逆解完全正確。另外我們也可用MATLAB機器人工具箱進行再次驗證，下面將MATLAB的Command Window中的irink()函數的運行結果復制過來如下：

可以看出這個結果就與所輸入的那組關節角的值是一致的。

由此，通過MTALAB機器人工具箱結合編寫的MATLAB求解器的驗證，運動學正逆解完全正確。

5 結束語

完成一種四自由度輕型臂的設計與運動學模型的建立，首先確定了機械臂構型，用MATLAB軟件生成了機械臂工作空間云圖，以考察所選構型是否滿足工作要求。利用UG對機械臂連桿進行具體設計，建立了虛擬模型，以便進行前期優化。根據設計結果制造了一臺四自由度輕型臂。而后對這臺機械臂建立數學模型，重點進行了運動學正逆解的求解，編寫了求解器界面；結合MATLAB機器人工具箱進行了仿真及驗證。綜上完成了四自由度機械臂的設計，進行了運動學分析，這就為隨后的機械臂運動控制實現打下了堅實的基礎。

[1]熊光明,趙濤,龔建偉,等.服務機器人發展綜述及若干問題探討[J].機床與液壓,2007,35(3):212-215.

[2]宋章軍.服務機器人的研究現狀與發展趨勢[J].集成技術,2012,1(3):1-9.

[3]王光建,梁錫昌,蔣建東.機器人關節的發展現狀與趨勢[J].機械傳動,2004,28(4):1-6.

[4]約翰J.克拉格.機器人學導論[M].贠超,譯.北京:機械工業出版社,2006.

[5]孫亮,馬江,阮曉鋼.六自由度機械臂軌跡規劃與仿真研究[J].控制工程,2010,17(3):388-392.