支架導學，抵達思維深處

黃春芬

蘇教版《數學》第九冊《解決問題的策略——列舉法》一課，旨在用列舉的方法去解決實際問題。所謂列舉，即把事情發生的各種可能逐個羅列，并用某種形式進行整理，從而得到問題的答案。生活中有許多實際問題，列式計算往往比較困難。如果聯系生活經驗，用一一列舉的方法能比較容易地得到解決。因此，一一列舉是解決問題的常用策略之一。教學生認識列舉法，且在一一列舉的時候要學會有序地思考，做到不重復、不遺漏，這對小學生來說，有一定的挑戰。數學是理性思維的學科，小學生卻正處于感性思維的年齡。如何針對小學生的特點而又逐步發展學生的數學理性思維呢？依維果斯基的最近發展區理論看來，這就需要在學生思維發展起點與目標之間搭建支架，讓學生經過淺近目標的實現，而逐步抵及思維發展的彼岸。本節課教學通過設計一系列的支架，在學生心理情緒糾結處設計情境，紓解引導;在知識技能掌握未竟處提供實踐平臺，加強鞏固等等，步步引導，及時幫扶，將學生引入思維深處，取得良好的教學效果。

一、創設問題支架，快樂感知列舉法

【課例】師：以前我們曾學過一些解決問題的策略，知道在生活中遇到難題時，要學會思考。今天我們來學習一種新的解題策略。

1. 出示：在練習本上畫出周長是6厘米的長方形（長和寬都是整數），并標出長和寬。

（1）投影展示學生的畫法。

（2）提問：你在畫的時候是怎樣想的？

教師小結：長+寬=周長的一半（板書）。

2. 出示：周長是10厘米的長方形（長和寬都是整數），有幾種不同的圍法？

要求：可以直接寫出長和寬各是多少，也可以畫圖表示。

（1）投影展示學生列出的情況以及兩種畫法。

（2）提問：你是怎樣想到有兩種圍法的？

教師小結：在周長不變的條件下，長方形的形狀可能會出現不同的情況，我們可以根據長、寬的和是周長的一半進行設計，這樣比較方便。

提到“策略”、“列舉法”這類概念，學生容易產生心理抵觸。但這個概念又確實需要跟小學生談清楚，怎么辦？迂回了一下，一開始用一個淺近的實踐性的題目讓學生參與，很快地調動起學生參與的熱情，果然取得較好的效果。這樣一個實踐性的題目就是一個實踐性的問題支架，通過這個實踐過程，讓學生走近列舉法，初步感知列舉法。策略因問題解決的需要而由學生自然生成，當他們以后再面臨類似問題時，策略的應用便會是自發的、能動的，是有意識的積極行為。

曾經遵循教材，安排學生擺小棒列舉，然在實際教學中不太容易操作，要求多，過程繁雜，現場不太容易控制，會占用較多的教學時間。本環節安排學生“畫出周長是6厘米的長方形和設計周長是10厘米的長方形”，通過畫圖，每位學生都能參與，且操作起來方便，很自然地引出“長方形設計的關鍵在于長+寬=周長的一半”。此外，因為數字較小，學生容易想到列舉嘗試來解決問題，這對于后面揭示課題，提出這是新的解決問題的策略，能有效地成全學生獲得成功的體驗，很容易與新學的“列舉法”建立起內在的親近感。

二、設置情境支架，組織自主探究

【課例】師：同學們，聽說大家都樂于助人。現在就有一個情況，小華跟著爸爸媽媽一起去農場參觀，他看到王大叔正在為圍羊圈的事犯愁呢？原來鄰居王大叔遇到了一個數學難題，請同學們幫幫王大叔好嗎？（課件出示例1：王大叔用18根1米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種不同的圍法？ ）

要求：動腦筋想一想，然后把可能出現的情況按一定的順序寫在你的練習本上。

（1）學生獨立思考后，完成在練習本上。

2）同桌交流各自的策略和解題答案。

（3）師展示學生列舉的四種圍法。（注意收集有序和無序兩種情況）

（4）討論：你認為哪一位同學在列舉的時候做得比較好，為什么？

教師小結：根據長與寬的和是周長的一半，我們列舉出四種不同的圍法。如果列舉的時候按照一定的順序進行，就會避免重復和遺漏。“列舉”就是我們今天要研究的解決問題的新策略。（板書：列舉）

例1體現了按順序列舉的解題策略，而學生在初次使用列舉法解題時，常常會出現無序列舉的情況。本環節通過組織學生對比討論。使學生認識到按一定的順序列舉會很好地避免重復和遺漏。以實踐加討論交流，加深有序列舉的鮮明要求。這樣的設計實際上是找到了學生認知中的難點，通過交流這個支架加以強調，邊學邊思，有效提升學習的效果。

【課例】師： 某某同學列舉得很有條理，有條理既能幫助我們理清思路，還能確保我們避免遺漏，因此是非常必要的。其實，某某同學的做法完全可以借助表格來列舉。

（5）介紹用列表的形式進行列舉。教師課件顯示正確答案，反饋矯正。

答：一共有4種不同的圍法。

（6）提問：觀察表格，王大叔會選哪一種圍法修建羊圈呢？為什么？

（7）學生同桌討論。

（8）提問：在周長不變的條件下，長方形的長、寬和面積有什么關系？

教師小結：在長方形周長不變的條件下，長和寬越接近，面積越大;長和寬相差越大，面積越小。此外， 引導學生體會畫表列舉法的優越性。（板書：畫表列舉可以做到有序、不重復、不遺漏。）

相對于上面的準備題，例1的難度系數顯然有所提高。為了讓學生不至于產生畏難心理，我有意設置一個情境，幫王大叔解決生活中的困難，由此讓學生小組合作交流，分工操作完成。這樣一個情境支架的設計，著眼于學生的心理，營造出樂于助人的氛圍，也增強了數學學習與生活之間的聯系，可謂一舉多得。事實上各小組在組長的組織下，有條不紊地進行著合作探究，成功地解決了問題。在教學中，我還有意滲透解題的方法，通過為王大叔選地，很自然地引出有關“面積”的話題，而對“在周長不變的條件下，長方形的長、寬和面積有什么關系”的思考，則有機地滲透了“通過列舉找規律”的解題意識。這從內容與形式上都在積極地指向教學目標。endprint

三、提供實踐平臺，驗證鞏固所學

【課例】師：有一個音樂鐘，每隔一段相等的時間就會發出鈴聲。已經知道上午9∶00、9∶40、10∶20和11∶00發出鈴聲，那么下面哪些時刻也會發出鈴聲？

13∶00 14∶40 15∶40 16∶00

1. 學生獨立審題。

2. 提問：11∶00后發出鈴聲的時刻是多少？為什么？要想判斷哪些時刻也會發出鈴聲，你準備怎么辦？

3. 學生同桌討論后，完成在練習本上。

4. 集體評議。

學會用表格列舉，理清解題思路，這樣的思考方法不能淺嘗輒止，需要及時的練習鞏固。教師將練習中的一個很生活化的題目及時抽調過來，讓同學們來自主解決。學生紛紛行動，并積極匯報。師生在評點發言同學的思路的同時，實際上是在對照梳理自己的解題思路，反思自己思考中的成敗與問題。適當運用所學解決現實問題，及時鞏固所學，顯然是必要的。其實這也是從認知到實踐再到認知的螺旋上升的學習過程。

四、出示問題支架，啟迪思維突圍

【課例】南京湯山溫泉推出泡溫泉、水上樂園、海盜船三個娛樂活動項目供游客玩耍，游客最少參加1個項目，最多參加3個項目。有多少種不同的選擇？

1. 組織學生討論交流，教師巡視并作適當的輔導。設置幾個問題支架——

（1）“最少參加1個項目，最多參加3個項目。”表示什么意思？

（2）如果只參加1個項目有多少種不同的選擇？參加2個項目呢？參加3個項目呢？所以一共有多少種不同的選擇呢？

（3）完成表格。

2. 學生匯報探討結果。

（1）引導學生回答探討的問題。

（2）投影展示學生所做的表格。

3. 課件出示正確答案，反饋矯正。

答：一共有7種不同的選擇。

4. 質疑1：表格所顯示的是7種還是12種不同的選擇呢？（有部分學生把表格中所有的“∨”數出是12個，誤認為12種。）

質疑2：如果分別用A、B、C代表泡溫泉、水上樂園、海盜船三個娛樂活動項目，你能用字母表示一一列舉出所有不同的選擇嗎？

5. 解疑。

解決問題的策略設置了大量的實踐性問題，編者意圖顯然是通過大量的實踐操作，以加強列舉策略的實踐，以形成習慣性的意識。對此，我有意聯系家鄉的美好風光與游樂項目編寫實際問題，既對學生進行熱愛家鄉熱愛生活的教育滲透，又是充分聯系學生的生活經驗，運用所學知識來解決現實問題。關于游樂項目的問題解決，關鍵不在于表格的列舉，而在于對這一生活問題的認知和分析。因此有意設置輔助問題支架，為學生指向引路，充分發揮問題支架的引路幫扶作用，使其逐步進入思考分析的狀態。他們一旦明晰思路，問題將引刃而解。

五、呈現思維流程支架，拓展思維寬度廣度

【課例】訂閱下面的雜志：《科學世界》《七彩文學》《數學樂園》。最少訂閱1本，最多訂閱3本。有多少種不同的訂閱方法？

1. 提問：如果你是讀者，你會訂閱哪些雜志？

2. 提問：同學們有的只訂閱1本，有的訂閱2本，還有的3本都訂閱。究竟有多少種不同的訂閱情況？你怎樣解決這個問題？

3. 全班展開討論，討論中肯定學生用簡潔的方式分三種情況來列舉。

4. 學生在練習本上自主選用不同的形式列舉。

5. 集體評議，投影展示學生的各種解題策略。

6. 指名學生到講臺上，在實物投影儀下嘗試用列表法列舉。

教師小結：列舉時無論使用什么樣的形式，要想獲得全部答案，就要全面地考慮問題，有條理地進行列舉。

學習列舉法不是目的，只是手段，解決問題才是目的。因此，在學生基本掌握列舉法之后，更重要的是在實際情境中能靈活運用。在新課結束之際布置這樣一個問題，希望學生在沒有教師指引的情況下來獨立解決問題，這顯然比課堂上有老師同學商討下解決問題增加了一點難度。對此，教師并沒有甩手，而是針對學生對現實問題現象中難以尋找到切入口的問題，出示一個思考的流程，引導學生理解題意，形成思路后放手練習，這樣會很好地提高思維的有效性。事實證明，這樣的輔助和引導是非常必要的。大多數學生能運用所學，有效地解決了這個問題。

（作者單位：南京師范大學附中江寧分校）

本欄責任編輯 李 淳endprint