數學課堂應突出數學“味”

摘要：有數學“味”的課堂不但是指能夠充分暴露知識的發生、發展和形成過程，使學生變得越來越聰慧、越來越會學的課堂，還是實現教師獲得工作快樂、學生獲得學習愉悅的課堂。本文著重從圓的周長和面積公式推導中如何突出數學“味”，進行了一定的探索，意在引導一線教師突出數學本質，從本原上進行數學教學。

關鍵詞：教學過程 思想方法 數學“味”

李大潛老師曾經說過：“如果僅僅將數學作為知識來學習，而忽略了數學思想對學生熏陶以及學生數學素質的提高，就失去了數學課程最本質的特點和要求，失去了開設數學課程的意義。”我非常贊成這種觀點，數學是思維的體操，數學思想是數學的精髓，缺乏思維含量，激不起思考的熱情，感悟不到數學的思想與方法，體會不了思考的樂趣，要使數學課堂有數學“味”，就要教給學生思想方法。

一、通過相近性類比凸顯數學“味”

數學發現通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題結論的猜想，然后再設法證明、否定或修正猜想，進而達到解決問題的目的。

所謂相近性類比，就是由兩個對象的某些相近（似）的特征，推斷它們在某些性質上也可能相近（似）的一種推理形式。這種相近性類比就是一種解決問題的想法，運用相近性類比解決問題，其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓周長之前學習了三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形的周長，這些直線型平面圖形的周長可以通過周長的定義直接求得，無需去推導與記憶周長公式，但曲線型平面圖形圓的周長計算公式的推導是非常有教育價值的。學生要弄懂什么是圓的周長不難，經過用細鐵絲圍成一個圓的操作活動，理解圓的周長并想到用繩測法測量圓周長，受繩測法的影響也可能會出現用滾動法測量圓周長，這種化曲為直的思想得以自然生成。問題是如何推導出圓的周長計算公式呢？根據以前積累的數學活動經驗，思考能否把圓的周長問題化歸為已經學習過的三角形、平行四邊形、長方形或正方形、梯形的周長問題來解決。而這幾種圖形中，只有正方形與圓有著圖形特征上的相近性，正方形“方方正正”，圓卻是“圓圓滾滾”“一中同長”，而正方形的周長等于邊長的4倍，又因為圓的周長與直徑的大小有關（直徑越大，圓也越大），所以作出類比猜想：圓的周長等于直徑的4倍。這種類比猜想的結果具有或然性，其是否正確需要進一步驗證。根據“倍”的意義不難想到用測量得到的圓周長除以圓的直徑進行驗證——解決為何想到周長除直徑，使學生知其所以然。雖然學生手中圓的大小是不同的，但每一個人計算的結果大約都是3倍左右，教師把同學們的數據整理成下面的表格，就能歸納概括出圓的周長計算公式。

■

已知圓的直徑能夠求出圓周長，給出圓的半徑求圓周長就變得很簡單了。這種教學設計，不但讓學生經歷了化曲為直、類比猜想、抽象概括的數學思想風暴，還讓學生知道用周長除直徑是怎么想到的，這種讓學生知其所以然的教學使數學學習變得更有意義，不但激發了學習興趣而且打通了知識間的聯系，發展了學生思維。

二、通過不斷化歸凸顯數學“味”

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。化歸思想方法是指在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化為已知的問題，進而達到解決問題的一種方法。

一般來說，化歸的方法有：化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀等。其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓的面積計算公式之前，學習的都是直線型平面圖形的面積，圓屬于曲線型平面圖形，雖然在學習圓的周長時有化曲為直的初步經驗，但如何把圓轉化成直線型圖形卻是一個難點。在解決這個問題時，一般來說會有兩種思路：一種是把圓割成直線型圖形，比如三角形或四邊形，但這些圖形的面積都比圓的面積小，至此好像無路可走，容易半途而廢，實際上沿著這條思路發展下去，學生就會發現割成邊數更多的平面圖形時，其面積雖然還是比圓的面積小，但更加接近圓的面積，周長也更加接近圓的周長，再引導學生思考和想象，邊數為10、100、1000或邊數更多的時候，會發現這個平面圖形的面積就越來越接近圓的面積了。如何計算這個邊數很多的平面圖形即多邊形的面積呢？把每條邊的兩個端點與圓心連接，多邊形的面積就等于這些等腰三角形面積的和，當邊數很多很多的時候，等腰三角形的底就很短，底邊上的高就接近圓的半徑R，多邊形的周長就接近圓的周長2πR，所以圓的面積等于■·2πR·R=πR2。另一種就是把圓分割后拼成平面圖形，把圓任意分割拼出的圖形是無規則的，把圓有規則地分割比如等分后拼出的圖形卻不同，分成二等份難以拼出學過的直線型平面圖形，分成四等份可以拼出一個類似于平行四邊形的圖形，分成8、16、32等份后拼出的圖形就越來越像平行四邊形了，當等分的份數很多的時候，借助電腦媒體演示或通過想象，學生會發現接近于平行四邊形或長方形，平行四邊形的底或長方形的長就是圓周長的一半，平行四邊形的高或長方形的寬就是圓的半徑R，從而圓的面積就等于這個拼成的平面圖形的面積：πR·R=πR2。

上述兩種處理方法，不但行得通，而且使數學學習因不斷深入地思考而變得更有“味”，而且在獲取知識的過程中自然地學習了化歸的思想和無限逼近即極限的思想，雖然沒有給出數學思想的名字，但并不影響學生對它的感悟和內化，數學學習經驗和思想方法的獲得是靠一點一滴積累起來的，分析問題和解決問題的能力需要逐步形成，這種潤物細無聲的滲透更能深入人心。

三、通過數學結構凸顯數學“味”

20世紀法國布爾巴基學派領袖丟爾涅奠定了現代數學的結構思想。在教育和學習活動中，關注結構、研究結構和運用結構，有利于煉就一雙見微知世界的“火眼金睛”，有利于優化思維品質，學會像科學家、發明家、藝術家一樣去觀察、思維、表達和行動，是發現科學規律及發明與創新的捷徑。一般來說，從數學結構進行思維的過程可用框圖表示如下：

■

教學是一門藝術，只要我們不斷地學習與思索，站在教育者的角度思考可不可以這么做，同時站在受教育者的角度多問幾個為什么要這么做，并在教學實踐中不斷探索和積累，就能把握數學本質，把我們的課上出數學“味”。

參考文獻

【1】鄧國強.采用新教法，走進新課程[J].廣東教學研究，2012（6）.

【2】義務教育教科書《數學》[M].北京：北京師范大學出版社.◆作者單位：（廣東省佛山市順德區教學研究室）

□責任編輯：周瑜芽endprint

摘要：有數學“味”的課堂不但是指能夠充分暴露知識的發生、發展和形成過程，使學生變得越來越聰慧、越來越會學的課堂，還是實現教師獲得工作快樂、學生獲得學習愉悅的課堂。本文著重從圓的周長和面積公式推導中如何突出數學“味”，進行了一定的探索，意在引導一線教師突出數學本質，從本原上進行數學教學。

關鍵詞：教學過程 思想方法 數學“味”

李大潛老師曾經說過：“如果僅僅將數學作為知識來學習，而忽略了數學思想對學生熏陶以及學生數學素質的提高，就失去了數學課程最本質的特點和要求，失去了開設數學課程的意義。”我非常贊成這種觀點，數學是思維的體操，數學思想是數學的精髓，缺乏思維含量，激不起思考的熱情，感悟不到數學的思想與方法，體會不了思考的樂趣，要使數學課堂有數學“味”，就要教給學生思想方法。

一、通過相近性類比凸顯數學“味”

數學發現通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題結論的猜想，然后再設法證明、否定或修正猜想，進而達到解決問題的目的。

所謂相近性類比，就是由兩個對象的某些相近（似）的特征，推斷它們在某些性質上也可能相近（似）的一種推理形式。這種相近性類比就是一種解決問題的想法，運用相近性類比解決問題，其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓周長之前學習了三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形的周長，這些直線型平面圖形的周長可以通過周長的定義直接求得，無需去推導與記憶周長公式，但曲線型平面圖形圓的周長計算公式的推導是非常有教育價值的。學生要弄懂什么是圓的周長不難，經過用細鐵絲圍成一個圓的操作活動，理解圓的周長并想到用繩測法測量圓周長，受繩測法的影響也可能會出現用滾動法測量圓周長，這種化曲為直的思想得以自然生成。問題是如何推導出圓的周長計算公式呢？根據以前積累的數學活動經驗，思考能否把圓的周長問題化歸為已經學習過的三角形、平行四邊形、長方形或正方形、梯形的周長問題來解決。而這幾種圖形中，只有正方形與圓有著圖形特征上的相近性，正方形“方方正正”，圓卻是“圓圓滾滾”“一中同長”，而正方形的周長等于邊長的4倍，又因為圓的周長與直徑的大小有關（直徑越大，圓也越大），所以作出類比猜想：圓的周長等于直徑的4倍。這種類比猜想的結果具有或然性，其是否正確需要進一步驗證。根據“倍”的意義不難想到用測量得到的圓周長除以圓的直徑進行驗證——解決為何想到周長除直徑，使學生知其所以然。雖然學生手中圓的大小是不同的，但每一個人計算的結果大約都是3倍左右，教師把同學們的數據整理成下面的表格，就能歸納概括出圓的周長計算公式。

■

已知圓的直徑能夠求出圓周長，給出圓的半徑求圓周長就變得很簡單了。這種教學設計，不但讓學生經歷了化曲為直、類比猜想、抽象概括的數學思想風暴，還讓學生知道用周長除直徑是怎么想到的，這種讓學生知其所以然的教學使數學學習變得更有意義，不但激發了學習興趣而且打通了知識間的聯系，發展了學生思維。

二、通過不斷化歸凸顯數學“味”

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。化歸思想方法是指在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化為已知的問題，進而達到解決問題的一種方法。

一般來說，化歸的方法有：化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀等。其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓的面積計算公式之前，學習的都是直線型平面圖形的面積，圓屬于曲線型平面圖形，雖然在學習圓的周長時有化曲為直的初步經驗，但如何把圓轉化成直線型圖形卻是一個難點。在解決這個問題時，一般來說會有兩種思路：一種是把圓割成直線型圖形，比如三角形或四邊形，但這些圖形的面積都比圓的面積小，至此好像無路可走，容易半途而廢，實際上沿著這條思路發展下去，學生就會發現割成邊數更多的平面圖形時，其面積雖然還是比圓的面積小，但更加接近圓的面積，周長也更加接近圓的周長，再引導學生思考和想象，邊數為10、100、1000或邊數更多的時候，會發現這個平面圖形的面積就越來越接近圓的面積了。如何計算這個邊數很多的平面圖形即多邊形的面積呢？把每條邊的兩個端點與圓心連接，多邊形的面積就等于這些等腰三角形面積的和，當邊數很多很多的時候，等腰三角形的底就很短，底邊上的高就接近圓的半徑R，多邊形的周長就接近圓的周長2πR，所以圓的面積等于■·2πR·R=πR2。另一種就是把圓分割后拼成平面圖形，把圓任意分割拼出的圖形是無規則的，把圓有規則地分割比如等分后拼出的圖形卻不同，分成二等份難以拼出學過的直線型平面圖形，分成四等份可以拼出一個類似于平行四邊形的圖形，分成8、16、32等份后拼出的圖形就越來越像平行四邊形了，當等分的份數很多的時候，借助電腦媒體演示或通過想象，學生會發現接近于平行四邊形或長方形，平行四邊形的底或長方形的長就是圓周長的一半，平行四邊形的高或長方形的寬就是圓的半徑R，從而圓的面積就等于這個拼成的平面圖形的面積：πR·R=πR2。

上述兩種處理方法，不但行得通，而且使數學學習因不斷深入地思考而變得更有“味”，而且在獲取知識的過程中自然地學習了化歸的思想和無限逼近即極限的思想，雖然沒有給出數學思想的名字，但并不影響學生對它的感悟和內化，數學學習經驗和思想方法的獲得是靠一點一滴積累起來的，分析問題和解決問題的能力需要逐步形成，這種潤物細無聲的滲透更能深入人心。

三、通過數學結構凸顯數學“味”

20世紀法國布爾巴基學派領袖丟爾涅奠定了現代數學的結構思想。在教育和學習活動中，關注結構、研究結構和運用結構，有利于煉就一雙見微知世界的“火眼金睛”，有利于優化思維品質，學會像科學家、發明家、藝術家一樣去觀察、思維、表達和行動，是發現科學規律及發明與創新的捷徑。一般來說，從數學結構進行思維的過程可用框圖表示如下：

■

教學是一門藝術，只要我們不斷地學習與思索，站在教育者的角度思考可不可以這么做，同時站在受教育者的角度多問幾個為什么要這么做，并在教學實踐中不斷探索和積累，就能把握數學本質，把我們的課上出數學“味”。

參考文獻

【1】鄧國強.采用新教法，走進新課程[J].廣東教學研究，2012（6）.

【2】義務教育教科書《數學》[M].北京：北京師范大學出版社.◆作者單位：（廣東省佛山市順德區教學研究室）

□責任編輯：周瑜芽endprint

摘要：有數學“味”的課堂不但是指能夠充分暴露知識的發生、發展和形成過程，使學生變得越來越聰慧、越來越會學的課堂，還是實現教師獲得工作快樂、學生獲得學習愉悅的課堂。本文著重從圓的周長和面積公式推導中如何突出數學“味”，進行了一定的探索，意在引導一線教師突出數學本質，從本原上進行數學教學。

關鍵詞：教學過程 思想方法 數學“味”

李大潛老師曾經說過：“如果僅僅將數學作為知識來學習，而忽略了數學思想對學生熏陶以及學生數學素質的提高，就失去了數學課程最本質的特點和要求，失去了開設數學課程的意義。”我非常贊成這種觀點，數學是思維的體操，數學思想是數學的精髓，缺乏思維含量，激不起思考的熱情，感悟不到數學的思想與方法，體會不了思考的樂趣，要使數學課堂有數學“味”，就要教給學生思想方法。

一、通過相近性類比凸顯數學“味”

數學發現通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題結論的猜想，然后再設法證明、否定或修正猜想，進而達到解決問題的目的。

所謂相近性類比，就是由兩個對象的某些相近（似）的特征，推斷它們在某些性質上也可能相近（似）的一種推理形式。這種相近性類比就是一種解決問題的想法，運用相近性類比解決問題，其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓周長之前學習了三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形的周長，這些直線型平面圖形的周長可以通過周長的定義直接求得，無需去推導與記憶周長公式，但曲線型平面圖形圓的周長計算公式的推導是非常有教育價值的。學生要弄懂什么是圓的周長不難，經過用細鐵絲圍成一個圓的操作活動，理解圓的周長并想到用繩測法測量圓周長，受繩測法的影響也可能會出現用滾動法測量圓周長，這種化曲為直的思想得以自然生成。問題是如何推導出圓的周長計算公式呢？根據以前積累的數學活動經驗，思考能否把圓的周長問題化歸為已經學習過的三角形、平行四邊形、長方形或正方形、梯形的周長問題來解決。而這幾種圖形中，只有正方形與圓有著圖形特征上的相近性，正方形“方方正正”，圓卻是“圓圓滾滾”“一中同長”，而正方形的周長等于邊長的4倍，又因為圓的周長與直徑的大小有關（直徑越大，圓也越大），所以作出類比猜想：圓的周長等于直徑的4倍。這種類比猜想的結果具有或然性，其是否正確需要進一步驗證。根據“倍”的意義不難想到用測量得到的圓周長除以圓的直徑進行驗證——解決為何想到周長除直徑，使學生知其所以然。雖然學生手中圓的大小是不同的，但每一個人計算的結果大約都是3倍左右，教師把同學們的數據整理成下面的表格，就能歸納概括出圓的周長計算公式。

■

已知圓的直徑能夠求出圓周長，給出圓的半徑求圓周長就變得很簡單了。這種教學設計，不但讓學生經歷了化曲為直、類比猜想、抽象概括的數學思想風暴，還讓學生知道用周長除直徑是怎么想到的，這種讓學生知其所以然的教學使數學學習變得更有意義，不但激發了學習興趣而且打通了知識間的聯系，發展了學生思維。

二、通過不斷化歸凸顯數學“味”

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。化歸思想方法是指在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化為已知的問題，進而達到解決問題的一種方法。

一般來說，化歸的方法有：化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀等。其基本思維過程可用框圖表示如下：

■

在學習圓的面積計算公式之前，學習的都是直線型平面圖形的面積，圓屬于曲線型平面圖形，雖然在學習圓的周長時有化曲為直的初步經驗，但如何把圓轉化成直線型圖形卻是一個難點。在解決這個問題時，一般來說會有兩種思路：一種是把圓割成直線型圖形，比如三角形或四邊形，但這些圖形的面積都比圓的面積小，至此好像無路可走，容易半途而廢，實際上沿著這條思路發展下去，學生就會發現割成邊數更多的平面圖形時，其面積雖然還是比圓的面積小，但更加接近圓的面積，周長也更加接近圓的周長，再引導學生思考和想象，邊數為10、100、1000或邊數更多的時候，會發現這個平面圖形的面積就越來越接近圓的面積了。如何計算這個邊數很多的平面圖形即多邊形的面積呢？把每條邊的兩個端點與圓心連接，多邊形的面積就等于這些等腰三角形面積的和，當邊數很多很多的時候，等腰三角形的底就很短，底邊上的高就接近圓的半徑R，多邊形的周長就接近圓的周長2πR，所以圓的面積等于■·2πR·R=πR2。另一種就是把圓分割后拼成平面圖形，把圓任意分割拼出的圖形是無規則的，把圓有規則地分割比如等分后拼出的圖形卻不同，分成二等份難以拼出學過的直線型平面圖形，分成四等份可以拼出一個類似于平行四邊形的圖形，分成8、16、32等份后拼出的圖形就越來越像平行四邊形了，當等分的份數很多的時候，借助電腦媒體演示或通過想象，學生會發現接近于平行四邊形或長方形，平行四邊形的底或長方形的長就是圓周長的一半，平行四邊形的高或長方形的寬就是圓的半徑R，從而圓的面積就等于這個拼成的平面圖形的面積：πR·R=πR2。

上述兩種處理方法，不但行得通，而且使數學學習因不斷深入地思考而變得更有“味”，而且在獲取知識的過程中自然地學習了化歸的思想和無限逼近即極限的思想，雖然沒有給出數學思想的名字，但并不影響學生對它的感悟和內化，數學學習經驗和思想方法的獲得是靠一點一滴積累起來的，分析問題和解決問題的能力需要逐步形成，這種潤物細無聲的滲透更能深入人心。

三、通過數學結構凸顯數學“味”

20世紀法國布爾巴基學派領袖丟爾涅奠定了現代數學的結構思想。在教育和學習活動中，關注結構、研究結構和運用結構，有利于煉就一雙見微知世界的“火眼金睛”，有利于優化思維品質，學會像科學家、發明家、藝術家一樣去觀察、思維、表達和行動，是發現科學規律及發明與創新的捷徑。一般來說，從數學結構進行思維的過程可用框圖表示如下：

■

教學是一門藝術，只要我們不斷地學習與思索，站在教育者的角度思考可不可以這么做，同時站在受教育者的角度多問幾個為什么要這么做，并在教學實踐中不斷探索和積累，就能把握數學本質，把我們的課上出數學“味”。

參考文獻

【1】鄧國強.采用新教法，走進新課程[J].廣東教學研究，2012（6）.

【2】義務教育教科書《數學》[M].北京：北京師范大學出版社.◆作者單位：（廣東省佛山市順德區教學研究室）

□責任編輯：周瑜芽endprint