高中數(shù)學(xué)必修1中難點(diǎn)概念啟發(fā)式教學(xué)策略*

陳靜安+方麗

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式[1]。高中數(shù)學(xué)必修1處于初中到高中的過(guò)渡階段，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。其內(nèi)容包括：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），函數(shù)與方程、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)模型及其應(yīng)用。這意味著高中數(shù)學(xué)必修1絕大部分時(shí)間在討論函數(shù)及相關(guān)概念，而且三分之二的概念直接以函數(shù)為前概念或定義項(xiàng)，由此可見(jiàn)函數(shù)概念在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。

針對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與教學(xué)，有研究者將學(xué)生普遍感到難學(xué)、老師感到難教的概念稱為難點(diǎn)概念。阮曉明、王琴文等通過(guò)調(diào)查研究指出高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生教與學(xué)的十大難點(diǎn)概念，其中，師生共同認(rèn)定的難點(diǎn)概念為以下六個(gè)[2]：函數(shù)、反函數(shù)、球面距離、二面角、反正弦函數(shù)、參數(shù)方程。所以，函數(shù)概念既是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的難點(diǎn)，因此成為高一數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)。不僅如此，縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)以致大學(xué)數(shù)學(xué)，函數(shù)作為刻畫(huà)變量與運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是貫穿始終的一條主線，因此既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是分析和解決問(wèn)題的一種重要思想方法。

事實(shí)上，函數(shù)概念教學(xué)的研究一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的課題。總體看，研究者分別從函數(shù)概念的形成，函數(shù)概念的思想、演變，圖式理論、APOS理論等不同層面對(duì)函數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行了研究[3]，但尚未從函數(shù)概念教學(xué)的難點(diǎn)深入分析研究。下面結(jié)合《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，探究數(shù)學(xué)概念的啟發(fā)式教學(xué)策略，旨在為突破數(shù)學(xué)難點(diǎn)概念教學(xué)的瓶頸提供一種視角。

一、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)啟發(fā)式教學(xué)的要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在基本理念中指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)。通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、充分發(fā)揮其學(xué)習(xí)主體的作用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)概念啟發(fā)式教學(xué)策略構(gòu)建

1.創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)揮典型范例的意象表征作用

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是一種有意識(shí)的思維活動(dòng)，具有高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)密性要求，需要學(xué)生較強(qiáng)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)的驅(qū)使與推動(dòng)，才能堅(jiān)持下來(lái)和達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。由于先入為主的心理機(jī)制，概念教學(xué)中第一個(gè)或第一組恰當(dāng)例子的引入常常具有意象表征的作用。如高一映射概念的教學(xué)，有人通過(guò)一組貼近學(xué)生生活的實(shí)例來(lái)引人映射的概念，其一是給學(xué)生指定座位（一對(duì)一的樣本），其二是給住校生安排宿舍（多對(duì)應(yīng)一的樣本），由此啟發(fā)學(xué)生對(duì)映射本質(zhì)屬性的分析、抽象與概括，引領(lǐng)學(xué)生能動(dòng)、自然地建構(gòu)映射概念。這種來(lái)自學(xué)生熟悉的生活實(shí)際、易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣動(dòng)機(jī)的典型范例，對(duì)抽象的概念教學(xué)既意義清晰又簡(jiǎn)潔明了，具有事半功倍之效。所以，概念教學(xué)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)和引入貼近學(xué)生實(shí)際、簡(jiǎn)潔明了、典型的樣本范例，以引發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、抓住學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而高效引領(lǐng)學(xué)生對(duì)它所表征的抽象概念的認(rèn)知、理解和掌握。事實(shí)上，隨著學(xué)段的升高，數(shù)學(xué)概念變得越來(lái)越抽象，理解也越來(lái)越困難，如果教學(xué)中對(duì)這類(lèi)范例的積極意義認(rèn)識(shí)不足，不善于運(yùn)用范例來(lái)進(jìn)行概念教學(xué)，或輕視范例的這種意象表征作用，只關(guān)注概念的形式化定義與分析，不僅會(huì)極大地增加學(xué)生概念認(rèn)知、理解和記憶的難度，而且會(huì)削弱學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

2.憶舊迎新、分步設(shè)問(wèn)，搭建思維的腳手架

根據(jù)概念定義的規(guī)則，定義由定義項(xiàng)、被定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三要素構(gòu)成。其中，定義項(xiàng)必須是已被定義過(guò)的概念。換言之，新概念的獲得是在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，并依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的相關(guān)概念、通過(guò)新舊概念之間發(fā)生聯(lián)系而實(shí)現(xiàn)。所以，概念教學(xué)中，教師要透徹理解所教概念的本質(zhì)和來(lái)龍去脈，按照概念建構(gòu)與發(fā)展的邏輯遞進(jìn)軌跡，從學(xué)生的認(rèn)知水平及規(guī)律出發(fā)，先復(fù)習(xí)定義項(xiàng)中涉及的已有概念、后導(dǎo)入新課;之后進(jìn)行分層次、有梯度的分步設(shè)問(wèn)與遞進(jìn)啟發(fā)，以幫助學(xué)生弄清概念的來(lái)龍去脈及新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。“尤其是核心概念的教學(xué)，常常需要教師‘不惜力、不惜時(shí)，費(fèi)一番周折”[5]，切忌照本宣科、生搬硬套的“空降式”教學(xué)。例如高中函數(shù)概念教學(xué)，為突破教學(xué)中的上述難點(diǎn)，幫助學(xué)生理解再次學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性，弄清高初中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，在復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，依據(jù)高中函數(shù)概念建構(gòu)依賴于初中函數(shù)概念、自變量因變量等已有概念，可創(chuàng)設(shè)如下分層次、遞進(jìn)式的問(wèn)題串，為新知識(shí)的建構(gòu)搭建思維的腳手架：（1）我們生活的世界充滿著變化，還記得初中數(shù)學(xué)刻畫(huà)變化的知識(shí)是什么？你能舉幾個(gè)例子嗎？（2）判斷它們是不是函數(shù)的依據(jù)是什么？初中函數(shù)概念是怎么說(shuō)的？它涉及幾個(gè)變量？它們的變量所屬的集合有哪些異同點(diǎn)？（3）y=1是函數(shù)嗎？

3.時(shí)間等待、適時(shí)點(diǎn)撥，先辨析本質(zhì)屬性后建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)。而本質(zhì)屬性的概括基于學(xué)生的認(rèn)知，體現(xiàn)了由具體到抽象的升華，這既是概念教學(xué)的重點(diǎn)，往往也是概念教學(xué)的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，概念教學(xué)應(yīng)力求返璞歸真，使學(xué)生自然地實(shí)現(xiàn)概念的形成[5]。換言之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)盡可能從具體實(shí)例出發(fā)，而不是從抽象定義開(kāi)始。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)也啟示我們，本質(zhì)屬性的探索是應(yīng)用分析、比較、抽象、概括等思維方法，對(duì)所研究對(duì)象的具體實(shí)例去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼的加工和改造過(guò)程，它不是一蹴而就的，需要花一些時(shí)間。所以，在引領(lǐng)學(xué)生感悟、辨析這類(lèi)事物所獨(dú)有而其他事物所沒(méi)有的本質(zhì)特征的過(guò)程中，教師不僅要通過(guò)分層次、遞進(jìn)式的問(wèn)題串啟發(fā)學(xué)生觀察、分析、比較，還要在啟發(fā)提問(wèn)后留給學(xué)生必要的思考時(shí)間與空間，讓學(xué)生進(jìn)行辨析、抽象、概括，做必要的時(shí)間等待。

4.設(shè)計(jì)變式、鞏固運(yùn)用，例題教學(xué)先分析后解答

“舉一反三”是數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的目的之一。概念建構(gòu)后，接下來(lái)就要圍繞概念精心選擇或創(chuàng)設(shè)樣本全面的典型例題，再一次運(yùn)用和發(fā)揮典型范例的意象表征作用，啟發(fā)學(xué)生辨析、判斷、鞏固、運(yùn)用，達(dá)到變式拓展、觸類(lèi)旁通、掌握概念的目標(biāo)。尤其是要注重設(shè)計(jì)和應(yīng)用“形同質(zhì)異、形變質(zhì)同”的問(wèn)題，教學(xué)中要借助分層次、遞進(jìn)式的問(wèn)題串，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行審題、分析，啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑辨析本質(zhì)屬性，從中發(fā)展學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通、透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，實(shí)現(xiàn)概念學(xué)習(xí)由抽象到具體的第二次螺旋上升。

三、啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵是合理設(shè)置課堂提問(wèn)

啟發(fā)式教學(xué)的宗旨是激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)的欲望，發(fā)展學(xué)生自己解惑、釋疑、創(chuàng)新的能力。研究表明，實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵在于課堂教學(xué)提問(wèn)策略的應(yīng)用，分層次、問(wèn)題串式的提問(wèn)是實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)最重要而有效的教學(xué)策略。為使分層次、問(wèn)題串式的提問(wèn)具有啟發(fā)性，要注意提問(wèn)的針對(duì)性和恰當(dāng)難度，要以學(xué)生的原有知識(shí)為基礎(chǔ)、在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi);提問(wèn)要有層次和梯度，考慮大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平，使學(xué)生跳一跳、夠得著;注重在教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)，切實(shí)揭示教材或者學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的實(shí)際矛盾，形成問(wèn)題串;提問(wèn)要精心設(shè)計(jì)、表達(dá)簡(jiǎn)潔明確，避免事無(wú)巨細(xì)、無(wú)的放矢;要恰當(dāng)運(yùn)用提問(wèn)的方式，如正問(wèn)、逆問(wèn)、追問(wèn)、填空式提問(wèn)等，提高提問(wèn)的效率。總之，無(wú)論進(jìn)行哪一種類(lèi)型和方式的提問(wèn)，提問(wèn)前對(duì)于問(wèn)什么、怎樣問(wèn)、問(wèn)哪些學(xué)生一定要心中有數(shù)、精心準(zhǔn)備，切忌盲目、隨意地發(fā)問(wèn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳靜安，黃永明.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)科教學(xué).江蘇：南京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 阮曉明，王琴.高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（5）.

[3] 喬石.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)研究.陜西：陜西師范大學(xué)，2011.

[4] 歐慧謀.高中函數(shù)概念的教學(xué)策略研究——基于數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)視角.廣西：廣西師范大學(xué)，2012.

[5] 章建躍，陶維林.注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)（續(xù)）.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（7）.

【責(zé)任編輯 ?郭振玲】