是巧合，還是規(guī)律？

陳心紅

一、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)

筆者在講解蘇教版選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》1.1.1《平均變化率》一節(jié)例3時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的現(xiàn)象：函數(shù)f（x）在4個(gè)不同區(qū)間上所得的平均變化率剛好和其對(duì)應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)的和相等.當(dāng)時(shí)一個(gè)奇怪的想法在腦海里閃現(xiàn)：怎么這么巧啊！課堂上筆者沒(méi)來(lái)得及多往深處去想.

在做書本練習(xí)第4題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題的函數(shù)和例3的一樣，只是區(qū)間復(fù)雜了一些，當(dāng)時(shí)也沒(méi)有多想，剛好作為當(dāng)堂檢測(cè)及時(shí)鞏固一下所學(xué)知識(shí).本以為學(xué)生應(yīng)該很快算出結(jié)果，可算了好長(zhǎng)時(shí)間才算出結(jié)果，有的學(xué)生還把結(jié)果算錯(cuò)了，有的學(xué)生甚至沒(méi)算出來(lái).筆者當(dāng)時(shí)冒出一個(gè)想法：這題的函數(shù)f（x）在4個(gè)不同區(qū)間上所得的平均變化率不會(huì)剛好也和其對(duì)應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)的和相等吧？如果真是這樣，那也太巧了吧！當(dāng)學(xué)生把結(jié)果報(bào)出來(lái)時(shí)我真的很吃驚.筆者禁不住想，這是巧合，還是有什么規(guī)律？這巧合得讓人感覺(jué)不是巧合.筆者引導(dǎo)學(xué)生：從該題的結(jié)果中能否發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了函數(shù)f（x）在區(qū)間上所得的平均變化率剛好和其對(duì)應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)的和相等.筆者緊接著問(wèn)學(xué)生：這是巧合，還是必然？請(qǐng)同學(xué)們課下研究.

筆者課下立即研究.現(xiàn)將這兩題先呈現(xiàn)如下：

二、問(wèn)題的分析

筆者先嘗試著考慮更一般的問(wèn)題模型：

三、問(wèn)題的深化

筆者不禁考慮更一般的情況，能否把函數(shù)由此推廣到關(guān)于變量x的n次方整式函數(shù)中呢？即對(duì)形如

下面證明此結(jié)論：

由平均變化率的公式可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[s，t]上的平均變化率為

這樣借助n次方差公式就可以用求和公式表示所有次方數(shù)為非負(fù)整數(shù)的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)在區(qū)間[s，t]上的平均變化率.

參考文獻(xiàn)：

[1]張彬.必然還是偶然[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010，10.

[2]單墫主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)（選修2—2）[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[3]單墫主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)（選修2—3）[M].南京：江蘇教育出版社，2013.