碳納米管的場發射特性的數值模擬

任海振 葛向紅 楊林峰

(中原工學院 物理系，河南 鄭州 450007)

0 引言

自從1991年Iijima等在英國《自然》雜志發表了關于多壁碳納米管的研究之后，碳納米就吸引了世界上很多研究小組的興趣，研究內容涵蓋了從基礎理論到科技應用前景的廣大領域[1]。由于碳納米管具有低維度使得他們擁有很多獨特的物理屬性，這使得他們具有廣泛的應用前景。在實驗室中，人們已經使用碳納米管制作出很多的原型納米器件。因此，理解這些新奇物理屬性以及他們對于納米器件的影響是必要的。

人們在實驗中已經證實了碳納米管非常適合于場發射方面的應用，這和它們的一些獨特的物理性質有關，如小尺度，高縱橫比，高溫穩定性，良好的導電性以及結構強度等。人們已經利用碳納米管優越的場發射屬性做出了一些原型器件，這些器件包括X射線管[2]，掃描X射線源[3]，平面顯示器等[4-6]。使用碳納米管的器件之所以具有優秀的發射特性，是由于碳納米管具有很低的功函數和在其表面形成的高局域電場，通過隧道效應電子可以比較容易穿過勢壘而逸出表面，形成場發射電子。

目前，人們已經可以在襯底上以指定的高度、半徑、間距等生長碳納米管。但是人們還沒有完全理解電子發射的精確過程。關于電子發射過程更深一步理解的研究主要集中在實驗和數值模擬上[7,8]。長期以來人們認為當臨近的發射體的間距大于他們高度的兩倍時，場屏蔽效應是可以忽略不計的[9]。本文中我們通過對一個理想的無限長一維碳納米管陣列進行了二維的數值模擬，并探討了碳納米管的幾何結構對于其場發射性能的影響。

1 模型與方法

在本文中我們通過使用有限元方法(FEM)對拉普拉斯方程求解來實現對碳納米管的二維數值模擬，使用這種方法使得我們可以得到碳納米管表面任意一點的電勢和電場。圖1給出了一維碳納米管陣列的示意圖。在我們的計算模型中，碳納米管被處理為良導體。排成一列的碳納米管具有統一的高度h和半徑r，其尖端被處理成球形，碳納米管被放置在接地的陰極上，陽極和陰極的距離為D。碳納米管之間的距離是均勻的，間距用d表示。

在計算中我們取碳納米管的高度為1μm，半徑為2nm；這些參數和前人的工作相同[10]，以便于進行比較。理論分析表明電場在碳納米管的尖端附近比較集中，這種電場增強效應和碳納米管的尖端幾何結構有關，通常用場增強因子β來定量表示。碳納米管的半徑越小，場增強因子越大；反之亦然。

2 計算結果與分析

我們使用了一個簡單的二維模型計算了一個包含3個碳納米管的陣列，碳納米管之間的距離為0.5μm，均勻分布在一條直線上。圖2中給出了計算得到相應的的電場分布。圖中的實線表示等勢線，背景中的表面圖代表電場強度的大小。陽極距離碳納米管發射極較遠，因此它對電場分布的影響較小，并且可以認為對各個碳納米管發射極效果相同。我們的計算結果顯示，居于中心的碳納米管附近的電場要比外邊兩個碳納米管的電場弱，這點可以用靜電場的屏蔽效應解釋。在圖2中我們可以清楚的看到電場的屏蔽效應是很明顯的。Nilsson等人通過二維數值模擬研究了碳納米管的點場屏蔽效應，得出的結論是當碳納米管之間的距離是其高度的兩倍時，總的電場屏蔽效應最小，碳納米管的場發射表現最優[10]。Smith等人做的三維模擬結果認為二維模擬低估了電場屏蔽效應，最優的間距應該是高度的3倍[11]。

圖1 一維碳納米管陣列的示意圖，碳納米管的高度為h，半徑為r，碳納米管放置在接地的陰極上，陽極和陰極的距離為D

圖2 計算得到的電場分布，實線表示電場等勢線，表面圖則表示電場強度的大小

為了得到電場屏蔽效應和碳納米管間距的關系，我們使用有限元方法結合周期性邊界條件對一維碳納米管陣列進行了數值模擬。在我們的計算中，碳納米管間距的變化范圍為0.1μm到6μm，相應于d/h取值范圍為0.1到6，碳納米管高度固定為1μm。我們把計算得到的碳納米管陣列的電場分布中碳納米管尖端表面正上方一點的電場記為局域電場強度EL。我們還計算了在相同條件下，可以得到單個碳納米管尖端表面正上方的電場強度EI。電場屏蔽的百分比就定義為η=（EI-EL）/EI。在圖3中我們畫出了屏蔽百分比隨d/h的變化關系。從圖中可以看到屏蔽效應隨d/h的增加而減小。在d/h等于2時，電場屏蔽百分比為4.3%。當d/h增加到3時，電場屏蔽百分比減小到1.1%，這意味著陣列中的碳納米管的場發射效率已達到了其最優表現的99%。當d/h進一步增加到4的時候，屏蔽百分比減小到0.2%。因此，當碳納米管陣列的間距大于碳納米管高度的3倍時，我們認為電場屏蔽效應可以忽略不計。

圖3 電場屏蔽百分比隨d/h的變化關系

為了得到最大的場發射電流密度，我們必須考慮電場屏蔽效應的影響。減小碳納米管的間距從而可以增加單位面積上的發射極的個數，這是增大場發射電流密度的簡單有效方法。但是減小碳納米管的間距會引起屏蔽效應的增強，從而降低場發射電流密度。因此，需要找到一個最優的間距，使得場發射電流密度最大。Fowler和Nordheim首先推導出了場致電子發射的定量方程：

對于一維無限長碳納米管，我們計算了場發射電流密度隨d/h的變化關系，計算結果如圖4所示。從圖中我們可以看到，隨著碳納米管間距的變大電流密度急速增加。碳納米管間距變大也就是其排列由緊密變為稀疏。當碳納米管的間距接近其高度的三倍時，場發射電流密度達到最大值。間距超過高度的三倍時，電流密度開始緩慢下降。這種變化趨勢可以作如下解釋，當碳納米管間距較大時，碳納米管排列稀疏，單位長度上的發射極比較少，因而電流密度不大；而當碳納米管間距比較小時，碳納米管排列緊密，單位長度上發射極多，但是發射極受到臨近碳納米管的電場屏蔽效應的影響大，因而場發射電流密度也小。根據上面對屏蔽百分比的計算我們知道，在碳納米管間距大于高度的三倍時，可以認為屏蔽效應忽略不計。因此，我們可以看到在圖4中，當d/h＞3時，場發射電流密度隨d/h近似線性減小。因此，在一個一維的碳納米管陣列構成的場發射器件中，最有效的排列就是碳納米管的間距為其高度的3倍，此時場發射電流密度最大，臨近的碳納米管的屏蔽效應產生的電場強度降低僅為1.1%。

圖4 計算得到的碳納米管的場發射電流密度隨d/h的變化關系

3 結論

我們對一維碳納米管陣列進行了數值模擬，并研究了不同間距下電場屏蔽的影響。我們發現當碳納米管之間的距離大于其高度的3倍時，電場屏蔽效應就可以忽略不計。我們的計算結果表明當碳納米管的間距等于其高度的3倍時，碳納米管陣列的場發射電流密度最大，器件的表現最優。

［1］Sumio I 1991 Nature35456[J].

［2］Sugie H,Tanemura M,Filip V,Iwat K,Takahashi K and Okuyama F 2001 Appl.Phys.Lett.782578[J].

［3］Zhang J,Yang G,Cheng Y,Gao B,Qiu Q,Lee Y Z,Lu J P and Zhou O 2005 Appl.Phys.Lett.86184104[J].

［4］Semet V,Binh V,Vincent P,Guillot D,Teo K,Chhowalla M,Amaratunga G,Milne W,Legagneux P,andPribat D 2002 Appl.Phys.Lett.81343[J].

［5］Minoux E,Groening O,Teo K,Dalal S,Gangloff L,Schnell J,Hudanski L,Bu I,Vincent P,Legagneux P,Amaratunga G,and Milne W 2005 Nano Lett.52135[J].

［6］CrociM,ArfaouiI,St?ckliT,Chatelain A and Bonard J-M 2004 Microelectron.J.35329[J].

［7］de Heer W A,Chatelain A and Ugarte D 1995 Science2701179[J].

［8］Smith R,Cox D and Silva S 2005 Appl.Phys.Lett.87103112[J].

［9］Bonard J-M,Salvetat J-P,St?ckli T,Forró L and Ch^atelain A 1999 Appl.Phys.A:Mater.Sci.Process.69245[J].

［10］Nilsson L,Groening O,Emmenegger C,Kuettel O,Schaller E,Schlapbach L,Kind H,Bonard J-M and KernK 2000 Appl.Phys.Lett.762071[J].

［11］Smith R and Siliva S 2009 Appl.Phys.Lett.94133104[J].