微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的重要應(yīng)用

朱葉青

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 信息工程學(xué)院應(yīng)用物理系，江蘇 泰州225300）

0 引言

大學(xué)物理是理工科大學(xué)面向一、二年級(jí)開(kāi)出的，融合了力、熱、光、電和原子物理等基本領(lǐng)域的一門(mén)重要的必修基礎(chǔ)課，比起中學(xué)物理來(lái)說(shuō)，大學(xué)物理更加接近于“現(xiàn)實(shí)狀態(tài)”，所研究的運(yùn)動(dòng)為加速度時(shí)刻發(fā)生變化的變速運(yùn)動(dòng)，功為變力所做的功，各種類型帶電體在空間各個(gè)不同點(diǎn)形成的電場(chǎng)在變，磁場(chǎng)也一直在變化等等，此時(shí)中學(xué)物理所形成的處理“恒定”問(wèn)題的技能已不再適用，必須建立一套適用于處理“動(dòng)態(tài)”物理問(wèn)題的新的方法，即微積分的方法.

微積分是指把復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行時(shí)空上的有限次分割，在有限小的范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理，然后讓分割無(wú)限地進(jìn)行下去，局部范圍無(wú)限變小，則近似處理也就會(huì)越來(lái)越精確，這樣在理論上得到的結(jié)果。微分是指在理論分析時(shí)，把分割過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去，局部范圍便會(huì)無(wú)限小，積分是指把無(wú)限小個(gè)微分元求和[1]，微積分是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)分支. 從大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)的發(fā)展史中可以看出兩者相互聯(lián)系，相互促進(jìn)，物理學(xué)提供相應(yīng)的“現(xiàn)實(shí)模型”，高等數(shù)學(xué)提供“抽象的解決方法”，所以高等數(shù)學(xué)是大學(xué)物理課程的必備基礎(chǔ)與工具.

1 微積分在大學(xué)物理中的重要應(yīng)用

下面主要從大學(xué)物理中力學(xué)和電磁學(xué)兩部分的幾道例題分析一下微積分的重要應(yīng)用：

例題1 跳水運(yùn)動(dòng)員沿鉛直方向入水， 接觸水面時(shí)速率為v0，入水后地球?qū)λ奈退母⊥凶饔孟嗟窒?僅受水的阻礙而減速，自水面向下取Oy 軸，其加速度為ay=-，vy為速度，k 為常量，求入水后運(yùn)動(dòng)員速度隨時(shí)間的變化[2].

解：將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員沿著鉛直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)速度vy隨著時(shí)間t 變化，即vy=vy（t），在時(shí)間間隔Δt 內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度增量為Δvy=vy2-vy1，當(dāng)Δt→0 時(shí)，此時(shí)加速度就趨于一個(gè)極限值，即瞬時(shí)加速度（也稱加速度）ay，

設(shè)入水時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，當(dāng)t=0 時(shí)vy=v0，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中t 時(shí)刻的速度為v，將上式兩側(cè)分別以vy和t 為積分變量，以和k 為被積函數(shù)，則有

圖1

上面例題是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)典型例題，解題思路是先運(yùn)用數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念，即通過(guò)求平均變化率的極限來(lái)得到瞬時(shí)加速度，列出重要的數(shù)學(xué)表達(dá)式， 把數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)巧妙地應(yīng)用到物理學(xué)當(dāng)中去，接下來(lái)通過(guò)給定的初始條件進(jìn)行定積分，即對(duì)微元進(jìn)行求和，最終算出結(jié)果，把看似復(fù)雜的變速問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單化.

例題2 如圖1 所示，圓盤(pán)的質(zhì)量為m、半徑為R，求以O(shè) 為中心，將半徑為R/2 的部分挖去，剩余部分對(duì)OO 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[3].

解：因?yàn)閳A盤(pán)上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，所以求解此題可以用兩種方法：一是由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式來(lái)計(jì)算，即把圓盤(pán)分成許多細(xì)圓環(huán)帶，其中半徑為r，寬度為dr 的環(huán)帶質(zhì)量為二是補(bǔ)償法，可將剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量看成是原大圓盤(pán)和挖去的小圓盤(pán)對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值.

比較方法一和方法二，明顯可見(jiàn)方法一的便利之處，求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)捷，從方法一可看出微積分知識(shí)和簡(jiǎn)單物理模型的密切結(jié)合， 不僅能使學(xué)生更加深入地理解基本物理理論知識(shí)，而且能夠使學(xué)生開(kāi)闊思路，觸類旁通，這也是物理教學(xué)比較重要的一方面.

例題3 設(shè)半徑為R 的帶正電薄圓盤(pán)的電荷面密度為σ，并以角速度ω 繞通過(guò)盤(pán)心垂直盤(pán)面的軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)， 求圓盤(pán)中心處的磁感強(qiáng)度[3].

圖2

解：方法一：利用畢奧薩-伐爾定律得到的圓電流在圓心處的磁感強(qiáng)度值為B=μ0I/2R 求解，其中I 為圓電流，R 為圓電流半徑.首先采用微分知識(shí)將圓盤(pán)分成許多細(xì)圓環(huán)帶，其中半徑為r，寬度為dr 的環(huán)帶的電荷為dq=σ2πrdr，因圓盤(pán)以角速度ω 繞軸O 旋轉(zhuǎn)，則此轉(zhuǎn)動(dòng)圓環(huán)帶相當(dāng)?shù)膱A電流為：

根據(jù)以上關(guān)系得圓盤(pán)上細(xì)圓環(huán)帶在盤(pán)心處磁感強(qiáng)度值為：

代入初始條件進(jìn)行定積分，可得整個(gè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)盤(pán)心處磁感強(qiáng)度值為：

已知圓盤(pán)帶正電，故磁感強(qiáng)度的方向垂直紙面指向外側(cè).

方法二： 根據(jù)畢奧-薩法爾定律求得的運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度求解.首先采用的微分方法同方法一，得dq=σ2πrdr，因?yàn)榻橇亢途€量存在關(guān)系v=rω，所以有：

此式方法一已得到，故利用積分知識(shí)同樣得到方法一的結(jié)果.

以上例題主要體現(xiàn)了微積分在電磁學(xué)方面的重要應(yīng)用，雖然從不同微量之間的關(guān)系去探討問(wèn)題，最終都得到了精確的解，由此可見(jiàn)微積分的奇妙之處，只要選擇合適的微元，找好相應(yīng)的方法，就可以完美地實(shí)現(xiàn)物理模型的由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、由變量到恒量、由未知到已知的轉(zhuǎn)變.

2 結(jié)語(yǔ)

微積分作為高等數(shù)學(xué)中一個(gè)比較重要的分支，在大學(xué)物理教學(xué)中起著舉足輕重的作用，它不僅是教學(xué)工具的應(yīng)用，也是一種思維方法的應(yīng)用，教師在教學(xué)過(guò)程中要巧妙地將微積分融入到大學(xué)物理教學(xué)中去，恰當(dāng)?shù)厝『梦⒃治龊迷^(guò)程和元貢獻(xiàn)，確定好積分上下限，最終可以解決許多復(fù)雜的物理問(wèn)題， 使得學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)物理的信心，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

［1］黎定國(guó).大學(xué)物理中微積分的思想方法淺談[J].大學(xué)物理，2005,24（12）:52－54.

［2］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1997.

［3］馬文蔚.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.