連續概率模型在金融投資方案里的應用

曹明緯 吳 迪 周文韜

（河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京210000）

1 問題重述

某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：

1）準備用數額為1000 萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。 它必須根據歷史數據估計在下一個周期（如1 天）內的損失的數額超過10 萬元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少。

2）如果要求在一個周期內的損失超過10 萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少。

下面是該公司在過去一年255 個交易日的日收益額（單位為萬元）的統計數據，假定每天結算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元：

表1

要求：

1）參考以上數據，建立模型來解決前述的兩個問題；

2）討論二周期情形（如今后兩天內）上述兩個問題的答案；

3）陳述上述兩個問題的一般形式（即初始投資額為M，限定損失額為L，置信度為1-α,T 個周期）及其解決方案。

2 模型假設

1）認為一個周期是一天，兩個周期是連續兩天；

2）連續模型中，收益額精確到元，認為是連續的；

3）每一個周期服從獨立正態分布；

4）兩周周期內連續兩天的每一天的收益額服從獨立同分布；

5）利用經過檢驗的樣本均值和樣本方差估計值作為總體均值和總體方差；

6）投資額與收益額認為是正比例關系。

3 模型建立

3.1 連續概率模型

3.1.1 樣本分析

將題目中所給的數據進行分析， 得出這些數據大致符合正態分布，然后運用matlab 對樣本分布進行正態性檢驗（如圖2 所示）：

圖2

從上圖可以看出得出的結果近似一次線性函數， 基本符合正態分布的要求。

為了更加準確地證實樣本分布性質，下面運用t-檢驗對樣本進行驗證：

對于假設H0：μ＝μ0；H1：μ≠μ0，構造[3]：

由P{T＜tα(n-1)}＝α，可得拒絕域T＜tα(n-1)，查表、計算，比較大小即得結論。

在確定了數據符合正態分布這一結論后，下一步我們將對數據進行參數估計。 由MATLAB 計算得到， 均值μ 為7.5569， 標準差δ 為9.7977，均值的95%的置信區間為[6.3486，8.7652]，標準差的95%的置信區間為[9.0148,10.7308]。

另外，我們要在方差未知的情況下，對均值7.5699 的采取進行假設檢驗，于是調用matlab 中的ttest 函數[1]，我們得到：

（1）布爾變量h＝0，表示接受原假設，H0：＝7.5699 成立；

（2）95%的置信區間為[6.3486,8.76522]；

（3）Sig 的值為1 大于0.05，所以接受假設，即不存在顯著差異。根據假設檢驗的結果，我們可以確定的取用均值7.5569。

3.1.2 問題1

1）準備用數額為1000 萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。 它必須根據歷史數據估計在下一個周期（如1 天）內的損失的數額超過10 萬元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少。

樣本分布函數[3]：

利用得到的正態分布模型， 由MATLAB 可以得到一天損失數額超過十萬元的概率為:

95%的置信度保證損失的數額：

2）如果要求在一個周期內的損失超過10 萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少?

根據經驗，投資額越大，一周期內損失額越大，收益額也越大，所以可以認為投資額與損失額成正比例關系：

求得投資額M1為1168.3744（萬元）。

3.1.3 問題2

1）對于兩個周期情況下，因為每一天收益額都是獨立服從正態分布，可以記作X，Y。 收益額Z＝X＋Y。 因為：

得μ＝15.1138 δ2＝191.9899，δ＝13.8560，Z～N(μ,δ2)

利用得到的正態分布模型， 由MATLAB 可以得到兩天損失數額超過十萬元的概率為：

95%的置信度保證損失的數額：

求得M2為1302.5413（萬元）

3.1.4 問題3

T 個周期情況：因為X1,…,XT相互獨立且服從正態分布，Xi～N(μ,δ2)設投資收益額

樣本分布函數[3]：

1）已知損失金額為L，其超過損失金額L 概率為：P(X＜-L)＝F(-L)

2）已知損失超過損失金額L 概率為Y，通過列方程F(M′)＝Y 求解，得出M′的值，再通過關系式求出M 的值。

4 模型分析

本文建立連續分布模型，解決了提出的問題。 但是模型存在一些優缺點，如下：

1）在計算單個周期的情況下計算不是特別復雜，但是在兩個周期情況下，利用列舉的方法會帶來計算復雜的情況，只能借助于編程計算。也就失去了不需要復雜計算的優點，對于更多周期的情況，實用性更差。

2）連續正態分布的應用很好地解決了本文提出的問題，并且精度很高，借助于MATLAB 計算不是特別復雜，可以說連續性模型優于離散型模型。

3）本例還可以借助蒙特卡洛法，通過生成服從該正態分布的隨機數來估算概率值和限定損失額。

［1］卓金武.MATLAB 在數學建模中的應用[M].北京：北京航空航天大學出版社,2011.

［2］趙靜,但琦.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社,2008.

［3］夏樂天.概率論與數理統計[M].南京：河海大學出版社,2011.