彈道導彈彈道面轉移變換規劃方法

王繼平，王安民，魏詩卉，張憲偉

（1.第二炮兵裝備研究院，北京100085；2.中國人民解放軍96271部隊，河南 洛陽471000）

傳統的彈道導彈飛行過程分為助推段、中段和再入段，助推段動力系統各子級連續工作，即使有間隔，也只是間隔幾s時間，中段和再入段合稱被動段，被動段在地球引力作用下沿拋物線軌跡慣性飛行，占整個飛行彈道的90%左右，整個飛行彈道近似在發射點、目標點、地心構成的彈道面內［1］。可見，傳統彈道導彈存在以下缺陷：①中段慣性飛行時間長、彈道高，易被導彈防御系統探測、跟蹤和攔截。以傳統彈道為基礎的中段變軌機動能力有限，只能實現有限范圍內的機動，突防能力有限；②傳統彈道導彈一般通過改變飛行程序角來調整發動機能量分配，從而控制彈道高低，實現射程遠近的調節。因而，在總體結構和彈頭特性一定的情況下，存在最大射程與最小射程的限制。

為此，基于衛星軌道面轉移思想［2］，提出了一種彈道導彈彈道面轉移的策略，通過彈道轉移變換規劃可獲得合適的再入速度、再入傾角和中段慣性飛行時間，實現最大射程范圍內的任意射程控制，可有效克服上述缺陷。

傳統彈道導彈的飛行通常在一個彈道面內進行制導控制，由于導彈發動機能量是固定的，能夠提供的速度大致確定，即關機點速度大小確定，通常先通過射程和關機點速度，根據橢圓彈道理論確定關機點彈道傾角，然后以關機點彈道傾角為約束設計助推段的飛行程序，從而調整發動機能量分配［1，3］。而對于彈道面轉移飛行導彈，除各彈道面內通過飛行程序設計分配能量外，還要同時設計彈道面轉移變換來分配能量。此時導彈各級發動機能量的分配除了要確定各彈道面內關機點彈道傾角外，還需確定各彈道面導彈的射程角和彈道面變換夾角，采用傳統的方法無法實現。由于彈道面轉移飛行導彈轉移飛行在大氣層外，與助推－滑翔導彈相比，不需考慮大氣的氣動影響和熱燒蝕，因而助推－滑翔導彈的彈道優化方法也不適應彈道面轉移變換的規劃與設計［4］。本文基于橢圓彈道理論［1］，采用優化方法對彈道面轉移變換進行規劃，確定各彈道面彈道參數和彈道面變換夾角，為Ⅱ級、Ⅲ級助推段飛行程序即轉移飛行程序設計［2］提供基準，簡化了整條彈道優化。

1 彈道面轉移變換規劃思想

以三級固體發動機導彈為例，如圖1所示，是導彈兩次變彈道面飛行的一條彈道，各級發動機非連續點火，具有3個助推段和3個轉級飛行段，Ⅱ級、Ⅲ級發動機在大氣層外為導彈變彈道面飛行提供動力。圖中，ΔA為初始彈道面與傳統彈道面的夾角，Λ為彈道面變換夾角。

圖1 三級發動機導彈飛行彈道面轉移示意圖

如圖2所示，設各級發動機動力能提供的速度分別為v1、v2、v3。它們由下式近似確定：

式中：Is1、Is2、Is3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級真空比沖；m01、m02、m03分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級點火質量；mk1、mk2、mk3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級熄火質量；ks1、ks2、ks3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級速度損耗系數經驗值。ks1為考慮Ⅰ級飛行出大氣層前氣動力和引力造成的速度損失，ks2是考慮Ⅱ級助推段引力假定為恒值造成的速度損失，ks3是考慮Ⅲ級助推段引力假定為恒值造成的速度損失，ks1相比ks2、ks3較大。

為了方便各彈道面發動機能量的規劃，假設Ⅱ級和Ⅲ級助推段提供的速度大小瞬間完成，即有下式成立：

式中：rc1為第一彈道面彈道終點地心矢；rk2為第二彈道面彈道關機點地心矢；rc2為第二彈道面彈道終點地心矢；rk3為第三彈道面彈道關機點地心矢。

圖2 彈道面變換夾角和各彈道面彈道參數示意圖

假設第一彈道面與第二彈道面夾角為Λ2，第二彈道面與第三彈道面夾角為Λ3。第一彈道面彈道Ⅰ級助推出大氣層時的速度大小為vk1，傾角為Θk1，地心距為rk1，橢圓彈道面起始點K1處與正北方向夾角為ΛA，射程角為βc1；第二彈道面彈道關機點速度大小為vk2，傾角為Θk2，地心距為rk2，橢圓彈道面起始點K2處與正北方向夾角為ΛB，由Λ2確定，射程角為βc2；第三彈道面彈道關機點速度大小為vk3，傾角為Θk3，地心距為rk3，橢圓彈道面起始點K3處與正北方向夾角為ΛC，可由Λ3確定，射程角為βc3。

若已知Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3、Λ3、βc3，可采用橢圓彈道理論計算各彈道面彈道參數。在給定發射點與目標點的情況下，只要確定參數Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3，Λ3、βc3，使其滿足各級發動機能量運用要求，就可以設計出一條變彈道面飛行彈道。但上述參數均是未知量，受各級發動機能量和突防要求、射程等約束，求解這些參數的問題是一個優化問題，采用優化方法對其進行確定。

2 彈道面轉移變換規劃模型

2.1 第一彈道面彈道參數計算

1）由發射點求K1點參數。

先計算彈道傾角為Θk1時，大層外飛行最大射程角βc1max。橢圓彈道能量參數為［1］

式中：fM為地球引力常數；vk1＝v1。

橢圓彈道偏心率為

橢圓長半軸為

半通徑為

則：

式中：ˉR為地球平均半徑；Hc1為第一彈道面彈道終點高程，為保證Ⅱ級助推段飛行在大氣層外，Hc1取為120km；rk1取為80km。

然后，估算由發射點到K1點的射程角［1］：

式中：kL為射程比例系數，kL＝0.1～0.28，根據彈道高低選取適應的值。

從而，由下式可計算出K1點的經、緯度和方位角：

式中：ω為地球自轉角速度，tk1為K1點導彈飛行時間，λsk1、φsk1為K1點經、緯度，λs0、φs0為經、緯度，ψ0為K1點彈道面與正北方向夾角，即方位角。

2）彈道終點參數計算。

①首先，由導彈自由段射程角βc1求彈道終點地心矢徑rc1。

當Θk1≥0時，有：

當Θk1＜0時，有：

②求彈道終點速度vc1。

③求彈道終點傾角Θc1。

當Θk1≥0時，有：

當βc1≥ββ時，Θc1≤0；當βc1＜ββ時，Θc1＞0。

當Θk＜0時，有：

④求自由段飛行時間tc1。

當Θk1≥0時，

式中：

當ββ≥βc時，令β1＝－β1，進行計算。

當Θk＜0時，令ββ＝－ββ，進行計算。

⑤彈道終點經緯度λsc1、φsc1計算。

⑥彈道終點處與正北方向夾角ψ1。

2.2 第二彈道面彈道參數計算

Ⅱ級助推段是恒定推力的持續作用，為了方便各彈道面發動機能量的規劃，假設Ⅱ級助推段提供的速度大小瞬間完成，即第一彈道面彈道終點地心距rc1與第二彈道面關機點地心距rk2相等，那么，重力持續作用方向可假定為朝第一彈道面彈道終點地心方向，設Ⅱ級助推段重力造成的速度損失為δvgc1，δvgc1＝gc1tg2，tg2為二級發動機工作時間。以此假設為前提對第二彈道面彈道參數進行計算。

1）第二彈道面關機點K2處方位角ΛB計算。

2）關機點速度計算。

第一彈道面彈道終點速度和位置在慣性地心大地直角坐標系Osxsyszs下的分量由下式計算：

式中：tc＝tk1＋tc1。

δvgc1在慣性地心大地直角坐標系下的分量由下式計算：

式中：tc＝tk1＋tc1。

設第二彈道面彈道關機點速度在慣性地心大地直 角 坐 標 系Osxsyszs下 的 分 量 為vk2，xs、vk2，ys、vk2，zs，則有如下關系式成立：

令：

則：

式中：

令：

通過Matlab符號方程求解可得：

3）彈道終點參數計算。

彈道終點參數計算同2.1節。

2.3 優化目標函數計算

假設v1、v2耗完，要打到目標，第三彈道面彈道采用閉路迭代求關機點需要速度，再與第二彈道面彈道終點參數配合計算Ⅲ級發動機應提供的速度v3p。

關機點需要速度迭代計算方法如下［5］：

式中：j為迭代次數；下標k3代表第三彈道面關機點；下標c代表第三彈道面橢圓彈道落點，見圖2；為導彈關機點K3與第三彈道面彈道落點的絕對經度差；為發射點與關機點K3的絕對經度差；λoc為發射點與第三彈道面橢圓彈道落點的經度差；tc3為第三彈道面橢圓彈道飛行時間；φsk3為導彈關機點K3地心緯度；φc為第三彈道面橢圓彈道落點地心緯度；βc3，j為第三彈道面橢圓彈道射程角；Θk3為關機點K3處彈道傾角；rk3為關機點K3處地心距；rc為第三彈道面橢圓彈道落點地心距；p3，j為第三彈道面橢圓彈道半通徑；e3，j為第三彈道面橢圓彈道偏心率。

給定tc3初值進行需要速度迭代，當｜p3，j＋1－p3，j｜＜ε＝1.0時，結束迭代，可求得需要速度大小vR：

第三彈道面關機點K3處與正北方向夾角為

需要速度在慣性直角坐標系下的分量為

式中：tc＝tk1＋tc1＋tc2。

第二彈道面彈道終點速度在慣性直角坐標系下的分量為

設Ⅲ級助推段重力造成的速度損失為δvgc2，在慣性地心大地直角坐標系下的分量為δvgc2，xs、δvgc2，ys、δvgc2，zs，δvgc2＝gc2tg3，tg3為三級發動 機 工 作時間。

需要速度增量為

以Δv＝v3p－v3最小為優化目標，當｜Δv｜＜ε且Δv＜0時，停止搜索，ε是一小量正數。Δv＜0表明能量滿足要求，導彈能打到目標；｜Δv｜＜ε表示導彈發動機能量充分應用。

3 彈道面轉移變換優化

彈道面轉移變換的優化問題是：給定發射點與目標點，在搜索空間約束下，以發動機能量充分應用為優化目標，優選的參數有7個：Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3。其中給定Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2，根據2.2節方法能求得第二彈道面彈道終點參數，Θk3為第三彈道面彈道關機點需要速度迭代提供傾角，βc3可由2.3節的需要速度迭代確定，Λ3由需要速度方向確定，Λ3＝Λc＋（π－ψ2），ψ2為第二彈道面彈道終點處與正北方向的夾角，根據需要速度方向算出。

彈道面轉移變換優化方法可以采用各種優化計算方法，本文采用隨機方向法［6］，經驗證也能達到很好的搜索效果。搜索空間根據突防、制導等要求確定。

4 仿真算例

4.1 仿真條件

給定發射點經度105°，緯度30°；目標點經度210°，緯度30°，射程約9 600km。假設導彈有四級發動機，一、二級發動機考慮空氣動力和重力損失后能提供的總速度大小為5 800m／s，三級發動機能提供的速度大小為3 900m／s，工作時間約為60s，四級發動機能提供的速度大小為3 000m／s，工作時間約為60s。實施兩次彈道面轉移變換，一、二級發動機連續點火工作，為初始彈道面飛行提供動力；第一次彈道面轉移由三級發動機提供動力；第二次彈道面轉移由四級發動機提供動力。

搜索空間假設：ΛA搜索范圍為70°～90°，Λ2搜索范圍為160°～180°，Θk1搜索范圍為20°～30°，Θk2搜索范圍為0°～40°，Θk3搜索范圍為20°～40°；βc1和βc2的搜索范圍選?。菏紫雀鶕╧1和Θk2確定自由段（大氣層外）飛行最大射程βc1max和βc2max，設βc1＝l1βc1max，βc2＝l2βc2max，l1范圍選取為0.8～0.99，l2范圍選取為0.5～0.99。

隨機方向法調優矢量參數A初值選為0.2，當A＜1×10－8時，若滿足－5＜Δv＜0，停止計算，否則A選為0.2，重新選擇初值計算。

4.2 仿真結果

通過隨機方向法進行優化計算，得到彈道面轉移變換規劃結果如表1所示。

表1 兩次彈道面轉移變換規劃結果

從上表可以看出，在給定的搜索空間內，采用彈道面轉移規劃模型可以規劃各彈道面參數，驗證了模型的正確性。采用隨機方向法優化計算，經統計搜索次數為1 532次，搜索時間約790ms，可見規劃模型的計算量不大，驗證了隨機方向法的有效性。

傳統彈道發射點方位角約56°，最佳彈道傾角約23°，慣性飛行時間約1 904s，比彈道面轉移變換彈道每段慣性飛行時間長得多，易被預測和攔截，不利于突防。

5 結束語

彈道導彈彈道面轉移變換，可以是一級發動機提供動力，也可以是多級發動機連續工作提供動力，可以進行一次或多次彈道面轉移，規劃前提是要確定搜索空間，搜索空間根據需求如突防要求等確定。文中假設的搜索空間只為驗證規劃方法的正確性，沒有通過需求給出。另外，在搜索前首先要確定導彈發動機的能量是否充足，否則搜索不出結果，傳統彈道是最省能量彈道，按傳統彈道的耗能來確定是否有多余的能量用于彈道面轉移變換，后續在此方面加強研究，同時進一步進行轉移飛行程序的設計研究。

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