幾何命題的直接證法解析

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的一門重要課程，它的基礎(chǔ)知識(shí)不僅在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，也是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ).但是對(duì)于不少初中生來(lái)說(shuō)，平面幾何也是一門難度較大的學(xué)科，要系統(tǒng)地掌握平面幾何命題的證明方法并非易事.

我們知道，要證明某個(gè)命題成立，可以從原命題的條件出發(fā)，根據(jù)教材中給定的定義、公理、定理、法則，通過(guò)一系列的推理，一直推到所要證明的結(jié)論為止.幾何學(xué)中多數(shù)的命題都是采用這種方法證明的，這種證明命題的方法就是直接證法.我們?cè)谒伎既绾巫C明某個(gè)命題的過(guò)程中，依據(jù)思考問(wèn)題的思維順逆的不同，又將直接證法分為綜合法和分析法.

1. 綜合法

綜合法是一種“執(zhí)因?qū)Ч钡姆椒ǎ囊罁?jù)是題目中的已知條件和幾何學(xué)中相關(guān)的定義和定理.因此，要想正確地證明出一個(gè)幾何命題，首先必須仔細(xì)地審清題意，充分利用題中的已知條件，同時(shí)，必須要掌握幾何學(xué)中的公理、定義、定理和法則的應(yīng)用.

綜合法是由已知條件逐步有序地推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，邏輯清晰.例如要證明命題“若A則B”，則可以由條件A出發(fā)，先推導(dǎo)出結(jié)論C，再由結(jié)論C推導(dǎo)出結(jié)論D……知道推導(dǎo)出結(jié)論B為止.其過(guò)程可簡(jiǎn)單地表示為：條件A→結(jié)論C→結(jié)論D→……→結(jié)論B.

例1 ：已知，如圖1所示，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF，求證：DE=DF.

分析：由題設(shè)AC=BC知，是等腰直角三角形，所以有∠A=∠B=45°.得結(jié)論.由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得CD=AD=BD，所以有∠DCF=45°.最后，由已知AE=CF及上面的兩個(gè)結(jié)論，只需連結(jié)CD，得到結(jié)論ΔDCF≌ΔDAE，進(jìn)而就能推斷出待證結(jié)論DE=DF.

2. 分析法

分析法是一種“由果尋因”的方法，目的性明確.與綜合法相同，它的依據(jù)是題目中的已知條件和幾何學(xué)中相關(guān)的定義和定理.因此，掌握幾何學(xué)中的公理、定義、定理和基本法則是掌握分析法的前提.

分析法由結(jié)論開(kāi)始逐步推理，邏輯性強(qiáng).例如要證明命題“若A則B”，則可以由命題的結(jié)論B出發(fā)，分析結(jié)論B成立的充分條件C，再尋找條件C成立的充分條件D……追根尋源，逐步遞推，直至歸結(jié)到題設(shè)條件A成立為止，以此來(lái)斷定命題“若A則B”是正確的.其過(guò)程可簡(jiǎn)單地表示為：結(jié)論B→條件C→條件D→……→條件A.

例2：已知，如圖2所示，AB=CD，AD=BC，AE=CF，求證：∠E=∠F.

分析：要證明結(jié)論∠E=∠F成立，只需證明，所以由三角形全等的條件，可先證明∠B=∠D和BE=DF.又因?yàn)橐阎狝E=CF，AB=CD，所以顯然有BE=DF成立，故只需證明∠B=∠D.而由已知AB=CD，AD=BC，只需要連結(jié)AC，進(jìn)而證明ΔABC≌ΔCDA即可.

值得注意的是，產(chǎn)生一個(gè)結(jié)論的條件不一定是唯一的，這就需要我們?cè)谕茖?dǎo)過(guò)程中密切注視已知條件.總之，我們?cè)谑褂梅治龇ㄗC明幾何命題的過(guò)程中，一定要做到，分析有理，推理有據(jù).

3. 綜合法與分析法的綜合運(yùn)用

綜合法與分析法是兩種不同的思維方法，其區(qū)別在于思維的順序是相反的.一般地，在證明比較簡(jiǎn)單的命題時(shí)，綜合法比分析法更簡(jiǎn)潔適用，而對(duì)于已知條件比較繁多，問(wèn)題比較復(fù)雜，我們不知要從何入手的時(shí)候，通常會(huì)采用分析法，將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一個(gè)問(wèn)題，轉(zhuǎn)換思維，效果自然會(huì)更好.

而在實(shí)際解決問(wèn)題的時(shí)候，我們通常取長(zhǎng)補(bǔ)短，首先運(yùn)用分析法來(lái)尋找待證命題與已知條件的關(guān)系，尋找解題方法，然后再運(yùn)用綜合法進(jìn)行具體證明.其推導(dǎo)過(guò)程可以如下簡(jiǎn)單地表示出來(lái)：

例3：已知，如圖3所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線，求證：KH∥BC.

分析：要證明KH∥BC，可延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AK交BC于點(diǎn)M，只需證明是的中位線即可.然而，要證是的中位線，我們只需證明AH=HN，AK=KM.

事實(shí)上，由已知BH平分∠ABC，又BH⊥AH，則有結(jié)論BA=BN，AH=HN成立.同理，由CK平分∠ACB，又CK⊥AK，則有結(jié)論CA=CM，AK=KM成立.從而，由三角形的中位線定理，可得待證結(jié)論KH∥BC.

由此可見(jiàn)，在證明幾何命題的時(shí)候，只有通過(guò)既有綜合法又有分析法的思維活動(dòng)，才能找到有效的解題途徑.也就是說(shuō)，在我們的解題思維中，要隨時(shí)把綜合法與分析法聯(lián)系起來(lái)，不要拘泥于一種方法.

最后，在用直接證法證明平面幾何命題的過(guò)程中，為了充分利用題目中的已知條件，達(dá)到解決問(wèn)題的目的，我們通常需要添加輔助線.因此，我們還要掌握根據(jù)題中已知條件作輔助線的思想和方法，以便更順利地解決問(wèn)題.