從《空間幾何體的結構》課例看概念課的教學模式

洪瓊

摘 ?要：本文的主要目的是形成概念課教學的基本模式，通過具體課例《空間幾何體的結構》第一課時教學過程的翔實記錄和課例點評，展現概念課教學的四個基本環節：創設情境、提出問題;觀察、分析、歸納，形成概念;辨析延伸、鞏固內化、類比遷移;總結方法與策略. 強調自然合理地形成、精確到位地辨析概念和提煉數學思維、學習方法的重要性.

關鍵詞：概念課;教學模式;探究;歸納;辨析

2014年4月臺州市李昌官名師工作室開展了以“高中數學探究性、研究性教學”為主題的活動. 會議邀請了人民教育出版社中學數學室原主任、人教高中數學A版教材執行主編章建躍博士作關于概念課教學模式的選擇的報告，并結合課例展開研討. 本人作為工作室成員，結合以前本人開設的一堂廣受好評的公開課《空間幾何體的結構》第一課時，對概念課教學模式進行解構，供大家閱讀、評價、研討.

教學過程

1. 提供產生問題的情境與素材，激發學生探究的興趣和欲望

課前五分鐘播放一些世界經典建筑的圖片和音樂，配合幻燈片“音樂的美用耳朵來感受，幾何的美用眼睛來察覺”，“數學跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩定”.

教師：同學們， 剛才我們欣賞了一些非常著名的經典建筑. 比如我們國家的游泳館水立方、體育館鳥巢、上海的東方明珠等等，這些美妙的經典建筑給你們什么感受？

學生：美的享受.

教師：那么這些建筑美在哪里呢？

學生1：顏色、結構、形狀有規則.

教師：（展示幻燈片）這是一些平常建筑的素描設計稿，中國美院的院長這樣解釋素描：“素描就是研究空間中的立體構造.” 所以我們要學會欣賞美，探索美，創造美，就要從研究幾何學開始. 幾何學是研究現實世界物體的形狀、大小與位置關系的數學學科. 我們在初中時已經接觸過，請回憶一下.

學生2：有圓、平行四邊形、三角形等等，這些都是平面圖形.

教師：對，這就是平面幾何. 我們剛才所欣賞的建筑物是平面圖形嗎？我們研究的范圍局限在平面范圍內夠不夠？

學生2：不是平面圖形，是空間圖形，要在空間內研究.

2. 搭建問題框架，精確設計問題，使問題系列化、結構化、具體化，要在學生的最近發展區內展開. 自然合理地提出問題，明確對問題探究的思路、方法與策略.

（1）導出空間幾何體的概念

教師：以剛才的水立方為例， 如果我們只考慮它的形狀和大小， 不考慮它的顏色、組成的材料等其他因素， 那么我們抽象出來的空間圖形是什么？

學生（眾）：一個長方體.

教師：我們把只考慮物體的形狀和大小， 不考慮其他的因素抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體.空間幾何體是幾何學的重要組成部分，它在土木建筑、機械設計、航海測繪等大量實際問題中有著廣泛的應用. 本章我們從空間幾何體的整體觀察入手，研究空間幾何體的結構特征、學會以三視圖和直觀圖來描述這些結構特征的方法，了解一些簡單幾何體的表面積和體積的計算方法.

（2）運用歸納與類比探究多面體和旋轉體的概念

多媒體顯示實物圖片.

教師：觀察下面的圖片， 這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？我們把這些物體的形狀叫做什么？如何描述？

學生3：分別是圓柱、圓錐、球、圓臺. （遲疑片刻）還有棱柱、棱錐、棱臺.

教師：觀察并分析它的結構特征.？搖

（多媒體給出結構特征的現代漢語詞典解釋：各個組成部分的搭配和排列）

我們知道平面圖形的組成是點和線，那么空間幾何體的組成部分呢？

學生3：點、線、面.

教師：那么就從點、線、面入手，去分析一下結構特征.

學生3：組成圖1、2、3的主要是線段，圖4、5、6、7中有曲線.

學生4：圖1、2、3中，組成幾何體的面全都是平面圖形，其余幾何體的面不全都是由平面組成的，而且都跟圓面有關.

教師：按這樣分析，該怎么分類呢？

學生5：1、2、3一類，4、5、6、7一類.

教師：好的， 請歸納圖形1、2、3的共同特征，并給個名稱.

學生5：組成多面體的面都是平面多邊形，就叫多面體.

教師：請接著來歸納圖形4、5、6、7的共同特征.

學生5：都有曲面.

學生6：都與圓有關，如果取截面的話，能得到圓.

教師：請回憶一下用圓規畫圓的過程，一個點固定，另一個點在平面內繞著定點旋轉一周. 這些空間幾何體是否可以看成平面圖形旋轉而成呢？以圓柱為例.

學生6：圓柱可以看成長方形繞一條邊旋轉而成.

教師：那么圓錐、圓臺和球呢？

學生6：圓錐可以看成直角三角形繞一條直角邊旋轉而成，圓臺可以看成直角梯形繞直角邊旋轉而成，球可以看成圓繞直徑旋轉而成.

教師：很好. 那么同學們能根據它們的共同特征給出一個名稱嗎？并嘗試給出定義.

學生7：旋轉體. ？搖我們把由一個平面圖形繞它所在平面內的一條直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體.

教師：到目前為止，我們歸納出了兩類幾何體：多面體和旋轉體. 它們是空間幾何體的兩大基本類型. 我們接著來研究多面體.

（3）充分觀察、分析、歸納，探究棱柱的結構

多媒體放映多個棱柱、棱錐、棱臺.

教師：觀察下列多面體， 并根據它們的形狀進行合理分類，并說明理由.

學生8：圖8、9、10、11一類，圖12、13一類，圖14、15一類，一類是上下均勻的，一類是上下不均勻的，一端大一端小，還有一類有一端是一個點.

學生9：分類方式一樣，一類是上下底面相同，另一類上下底面不相同，還有一類是只有一個底面的.

教師：你們能根據不同的類別的結構特征命名嗎？

學生8：柱形、錐形、臺形.

教師：我們習慣稱平行四邊形、正方形，“形”字通常用來形容平面圖形.

學生9糾正：柱體、錐體、臺體.

教師：圓柱、圓錐、圓臺也分別是柱體、錐體、臺體，怎么區分呢？

學生9：棱柱、棱錐、棱臺.

教師：很好，“棱”字體現了多面體結構的一個特征. 我們來研究一下棱柱. （多媒體顯示多個棱柱）

你能用文字語言給棱柱下個定義嗎？請大家從棱柱結構中面的特點以及面與面的關系、棱與棱的關系找到它們的共同結構特征. （學生歸納，教師板書）

學生9：①有兩個面平行， 并且這兩個面全等. ②其他的面都是矩形. ③其他各面的交線平行且相等.

學生10：第二條應該改為其他的面都是平行四邊形. 再補充④其他各面與上下兩個面的交線平行也相等.

教師：非常好，現在這些結論都正確？

學生：正確.

教師：數學定義不僅要求科學正確，更要求簡潔. 我們看，這幾條當中哪些能體現棱柱的本質特征，哪些可以刪去呢？

學生11：第四條可以刪去，因為第二條就已經保證了.

教師：很好. 我們現在對照課本思考一下，課本定義與我們的有什么區別.

為什么課本刪去“上、下兩個面全等”？

學生12：我覺得上、下兩個面平行了，再加上條件2、3就已經能保證上下兩個面全等了，不必寫出. （部分學生恍然大悟，部分學生迷惑）

教師：沒錯，這兩位同學想法是正確的，但是要等我們學到下一章才能證明.

所以棱柱的定義可以概括為：

學生（眾）：①有兩個面互相平行，②其余各面都是平行四邊形，③每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行. 由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（教師在黑板上畫出棱柱，并寫出棱柱的表示方法）

3. 對學生探究的結論及時辨析延伸，鞏固內化，類比遷移

（1）概念辨析鞏固

多媒體繼續演示

教師：觀察下列多面體，判斷它們是不是棱柱，若不是，請說明理由.

學生13：圖16、17、18是，圖19不是，因為不滿足棱柱特征的第一條有兩個面平行，圖20不是：雖然它滿足有兩個面平行，但是不滿足第二條.

教師：很好，那么有兩個面平行，其余面都是平行四邊形的空間幾何體一定是棱柱嗎？

學生13：應該是.

教師：如果是的話，棱柱的定義就可以修改了，這樣更簡潔啊，我們看個例子.

多媒體演示

圖21

（學生恍然大悟）

教師：所以說，棱柱的三個本質特征缺一不可.

（2）概念延伸

教師：觀察這三個棱柱有什么區別呢？

學生14：側面與底面的位置關系不一樣，有的垂直，有的不垂直.

學生15：底面多邊形的邊數不一樣，有三角形、四邊形、五邊形.

教師：兩位同學說得都對，按第一位同學的分法，以側棱是否與底面垂直分為直棱柱和斜棱柱.

按第二位同學的分法，以底面多邊形的邊數分為三棱柱、四棱柱、五棱柱.

（3）概念內化

我們共同討論得到了棱柱的定義、相關的概念、表示的方法、分類. 下面我們來做幾道題：

①如圖22，過BC的截面截去長方體的一角， 截去的幾何體是不是棱柱， 余下的幾何體是不是棱柱？

圖22

學生16：截去的部分是三棱柱， 余下的部分是底面是直角梯形的一個四棱柱.

②觀察長方體，共有多少對平行平面？能作為棱柱的底面的有幾對？

學生17：三對平行平面;這三對都可以作為棱柱的底面.

③觀察圖23中的棱柱，共有多少對平行平面？能作為棱柱的底面的有幾對？

學生18：有四對平行平面，但只有上下兩個平行平面可作為棱柱的底面，其他三對平行平面都不能作為棱柱的底面，如圖24.

④棱柱的任何兩個平行平面都可以作為棱柱的底面嗎？

學生19：不是的.

教師多媒體演示圖的另一種放置方式.

（4）類比學習棱錐的定義

教師：現在我們對棱柱概念已經有了比較深刻的理解，根據我們剛才學習棱柱的過程和經驗，我們現在來研究棱錐. 現在請大家觀察棱錐，從面的角度描述一下它的幾何結構特征.

學生20：它的周圍是有公共頂點的三角形，跟頂點相對的是一個平面多邊形.

教師：描述得很好，但是“旁邊”這個說法不太準確，我們換個說法：有一個面是平面多邊形，其余面都是有一個公共頂點的三角形圍成的幾何體是棱錐.

教師：現在同學們可以給構成棱錐的面和線段進行命名.

學生21：把平面多邊形叫做底面， 其余三角形叫做側面;三角形的公共點叫做頂點，各側面的公共邊叫做側棱.

教師在黑板上畫出棱錐，寫出棱錐的表示方式.

圖25

教師：像學習棱柱一樣，大家也給棱錐進行分類.

學生22：按底面多邊形的邊數來分，可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…….

教師：觀察這個三棱錐，哪個面可以作為棱錐的底面？哪個點可以作為棱錐的頂點？

學生22：每個面都可以作為底面，與底面相對的點可作為頂點.

教師：這就是三棱錐具備的特殊性，四個面都可以作為底面，我們也把三棱錐稱作四面體.

4. 梳理知識結構與聯系，總結研究問題的方法與策略

教師：請一位同學回顧整理這堂課的內容.

學生23：我們學習了空間幾何體中的多面體、旋轉體，再從多面體轉移到別的多面體，棱柱、棱錐. 重點學習了棱柱、棱錐的定義、表示方法.

教師：很好，既然我們重點學習了定義，你能否描述一下我們學習定義的過程.

學生23：先給出很多具體事例，通過觀察比較，找出共同特征，再歸納描述成具體的語句.

教師：我們一開始就歸納準確了嗎？

學生：沒有，需要不斷修正，然后再通過具體的例子進行辨析，說明歸納出的定義是正確的.

教師：這位同學概括得非常到位. 通過這堂課我們可以感受到數學概念學習、研究的幾個步驟：①觀察、分析大量實例;②抽象、概括共同特征;③歸納總結數學概念;④正、反兩面進行辨析. 我們可以感受到數學概念的產生是自然合理的！數學定義是準確、科學和簡潔的！

作業布置：分析棱臺的結構特征，自主形成概念，并與課本相對照進行修正;制作棱柱、棱錐、棱臺的模型;了解空間幾何學發展史與現有分支情況.

課例評價

本課例評價內容來源于執教者自我反思以及工作室成員的客觀點評.

本課例是必修2立體幾何的起始課，包括“章引言”和“1.1空間幾何體的結構”兩部分，章引言滲透在具體內容中，不做單獨講解. 空間幾何體的結構第一課時，屬于概念課的教學，主要讓學生去形成空間幾何體的定義、分類，感受棱柱、棱錐的結構特征和定義形成過程.

1. 本課優點

（1）對概念形成過程濃墨色彩

概念教學的核心是概括，即將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念. 本課例設計框架符合知識演變的邏輯和學生的認知規律，從空間幾何體的概念、分類到棱柱、棱錐概念的產生，從模糊到精細，從拓撲到度量. 其次，本課特別追求概念形成要符合學生的思維展開過程和心理感受過程，在問題設置上別具匠心，每一個問題的設置都是讓學生跳一跳就能夠得到，符合學生的最近發展區，方便學生的主動建構. 課例充分體現了教的主導地位和學的主體地位. 本課探究策略設計合理、思路清楚、操作可行、探究活動真實，使學生獲得豐富的情感體驗;概念形成自然合理，概念辨析和拓展精確到位.

（2）注重學生學習方法的總結提煉

本課在內容安排上到棱錐定義為止，重心放在棱柱定義的構建上. 通過經歷對大量的具體實例進行概括歸納得到棱柱定義的過程后， 讓學生體會用聯系的觀點、類比的方法研究棱錐的定義，學生通過類比活動而獲得研究對象的內容與方法的成形，進一步清晰展現學習數學概念尤其是幾何體概念的基本思路.

作為《空間幾何體》的起始課，重要的不是介紹棱柱、棱錐等幾個相關概念，而是讓學生經歷對學習對象觀察、歸納、分析、概括、辨析的思維過程和認識數學新對象的歸納類比的基本方法，這是一個帶有“本源”性質的過程，即要使學生從中體會到認識一個數學概念的“基本套路”. 本課在最后小結環節中，除了知識總結外，讓學生主動根據學習過程描述概念獲取的思路過程，并歸納為四個步驟，對學生思維靈活遷移程度、廣度和深度及創造力等都有很大的幫助.

2. 不足之處

本課例對概念課教學的流程和模式展示上有示范意義，但由于不能算高中數學中的核心概念課，本課十分強調概念產生的自然和學生的概括歸納，但是沒有很好體現高中數學教學的深入和淺出. 因為執教者追求起始課結構的完整性和多個概念的流暢程度，導致內容結構、層次較復雜.