有效解決不規則多面體外接球問題的策略

周迎富

(福建省晉江市子江中學　362261)

一、直三棱柱及其補形體

直三棱柱外接球的球心在上下底面外心連線的中點處；常考查三類問題：底面分別是銳角、直角、鈍角三角形.直三棱錐可補形成直三棱柱，其外接球球心與對應的直三棱柱相同.

例1(2009全國Ⅰ卷理科) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____.

題源變式可變為直三棱錐A1-ABC，側棱AA1⊥底面ABC，∠CAB=60°或90°或120°，求外接球表面積；

二、直四棱柱及其補形體

在實際解題中，通常還考查正方體、長方體及其補形體的外接球問題，常見的有四類幾何體可通過補形成正方體、長方體，來便捷地確定它們的球心和半徑.

第①類直角四面體(三條側棱或三個側面兩兩垂直)、直角三棱柱；

第②類四個面都是直角三角形的四面體；

第③類等腰四面體(三組對棱分別相等，AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c).

設補形后的長方體長寬高分別為x,y,z，則：

x2+y2=a2，z2+y2=b2，x2+z2=c2

第④類正四面體(各面都是正三角形，設棱長為a)

三、特殊組合型斜三棱錐

在命題中，還有一類考查對象是由等邊、等腰、直角三角形構成特殊二面角組合的斜三棱錐，這類斜三棱錐外接球問題的解決步驟是：①通過計算確定三棱錐各個面的特征；②確定特殊三角形的外心；③分別過兩個特殊三角形的外心作所在平面的垂線，即得直徑所在直線，兩直徑交點即為球心.

1.直角三角形組合成的三棱錐

解析法一過Rt△PAB，Rt△ABC的外心分別作垂線，交于點O，點O即球心，AC即直徑，故答案：3π.

法三通過驗證，易得該三棱錐是以AP或BC為高的直三棱錐，可補形成對應的直三棱柱來求解.

法四通過計算，存在共斜邊的兩個直角三角形△PAC、△BAC，則斜邊AC即外接球直徑.

2.等邊+直角三角形組合成特殊二面角的三棱錐

3.等腰+直角三角形組合成特殊二面角的三棱錐

定理得：

外接球的表面積S=18π.

四、其他不規則三棱錐的外接球問題

對于沒有存在特殊三角形組合的情況，先確定球心，后利用球心到頂點的距離等于半徑、或球心與某個面外心的連線垂直于該面等性質求解.

例5(2017福建質檢理數)空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一個球面上，E,F分別是AB，CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于____.

綜上幾種類型，解決與球的外接問題重點是確定球心位置和半徑，關鍵是抓住球心到多面體頂點的距離等于半徑.掌握好基本的作圖能力和平面幾何基本知識，發揮好空間想象力，借助于數形結合進行轉化,那么問題即可得解.