從2017年高考試題談近似與估算思想的應(yīng)用

許冬保　朱文惠

(江西省九江市第一中學(xué)　332000；江西省九江市濂溪區(qū)第一中學(xué)　332000)

一、近似與估算思想概述

在研究近似計(jì)算的時(shí)候，常常會聯(lián)想起“估算”(或“估測”)．雖然估算確實(shí)也是一種近似，但嚴(yán)格說來，估算與近似計(jì)算并不完全相同．近似計(jì)算是一種數(shù)學(xué)方法，側(cè)重?cái)?shù)的處理；而估算往往對應(yīng)某物理量的估算，其中涉及到相關(guān)的物理原理或物理模型，是基于物理原理或物理模型視角下的一種數(shù)學(xué)近似運(yùn)算，側(cè)重對所求物理量的數(shù)量級或物理量的取值范圍，進(jìn)行大致推算的一種近似方法，其特點(diǎn)是在“理”不在“數(shù)”．靈活應(yīng)用物理知識對具體問題進(jìn)行合理的估算，是學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能的重要體現(xiàn)．在高考命題中，近年來對有關(guān)物理量的估算試題呈上升趨勢．

對于物理量的估算，如果從估算所經(jīng)歷的過程及最后結(jié)果的意義上進(jìn)行考量，它與數(shù)學(xué)上的近似計(jì)算緊密關(guān)聯(lián)．基于此，本文以2017年高考試題為例，從數(shù)學(xué)與物理相互滲透、融合的角度探討近似與估算思想在物理學(xué)上的應(yīng)用．

二、近似與估算思想在物理解題中的應(yīng)用

1．均勻介質(zhì)模型與傳播距離的估算

例1(浙江選考題)4月的江南，草長鶯飛，桃紅柳綠，雨水連綿．伴隨溫柔的雨勢時(shí)常出現(xiàn)瓢潑大雨，雷電交加的景象，在某次閃電過后約2秒小明聽到雷聲，則雷電生成處離小明的距離約為 ().

A. 6×102m B. 6×104m C. 6×106m D. 6×108m

解析雷聲按機(jī)械波速率傳播，假定聲波在均勻介質(zhì)中勻速率傳播，取聲波的波速為340m/s．小明在某次閃電過后約2秒聽到雷聲，則雷電生成處離小明的距離約為x=vt=340×2m=680m．選項(xiàng)A正確．

點(diǎn)評實(shí)際上雷聲在空氣中的傳播速率是變化的，并非勻速率傳播．在常溫下，取空氣中的聲速為340 m/s，該聲速的值是一個(gè)常數(shù)，應(yīng)該記住，上述估算是按理想情形考慮的．由于雷電往往交織在一起，容易誤判雷聲的速率等于光速，而錯(cuò)選答案D．

2．分子模型與密度的估算

例2(江蘇物理題)科學(xué)家可以運(yùn)用無規(guī)則運(yùn)動的規(guī)律來研究生物蛋白分子．資料顯示，某種蛋白的摩爾質(zhì)量為66 kg/mol，其分子可視為半徑為3×10-9m的球，已知阿伏伽德羅常數(shù)為6.0×1023mol-1．請估算該蛋白的密度．(計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

3．勻變速運(yùn)動模型與平拋位移的估算

例3(海南物理卷)已知地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑約為月球半徑的4倍．若在月球和地球表面同樣高度處，以相同的初速度水平拋出物體，拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的水平距離分別為s月和s地，則s月:s地約為().

A．9:4B．6:1 C．3:2D．1:1

點(diǎn)評該題涉及2個(gè)理想化物理模型，即忽略天體自轉(zhuǎn)因素的影響；地球上的平拋運(yùn)動不計(jì)阻力因素的影響，且認(rèn)為重力加速度保持不變．因此，無論在地球上還是月球上，水平拋出的物體均做勻變速運(yùn)動．

4．質(zhì)能方程與核能的估算

A．3.7MeVB．3.3MeV C．2.7MeVD．0.93MeV

解析由核反應(yīng)方程，知反應(yīng)前后的質(zhì)量虧Δm=2.0136u+2.0136u-3.0150u-1.0087u，Δm=0.0035u．由愛因斯坦質(zhì)能方程知，在氘核聚變反應(yīng)中釋放的核能為ΔE=Δmc2=0.035×931MeV．即ΔE=3.2585MeV≈3.3MeV．選項(xiàng)B正確．

點(diǎn)評愛因斯坦質(zhì)能方程是核能估算的依據(jù)，最后結(jié)果保留2位有效數(shù)字，是一種數(shù)學(xué)近似．

5．光子論與分子電離能的估算

例5(北京理綜卷)2017年年初，我國研制的“大連光源”——極紫外自由電子激光裝置，發(fā)出了波長在100 nm(1 nm=10-9m)附近連續(xù)可調(diào)的世界上最強(qiáng)的極紫外激光脈沖．大連光源因其光子的能量大、密度高，可在能源利用、光刻技術(shù)、霧霾治理等領(lǐng)域的研究中發(fā)揮重要作用．

一個(gè)處于極紫外波段的光子所具有的能量可以電離一個(gè)分子，但又不會把分子打碎．據(jù)此判斷，能夠電離一個(gè)分子的能量約為(取普朗克常量h=6.6×10-34J·s，真空光速c=3×108m/s)().

A．10-21J B．10-18JC．10-15JD．10-12J

點(diǎn)評根據(jù)題意可知光子的能量足以電離一個(gè)分子，因此該光子的能量應(yīng)比該分子的電離能大，同時(shí)又不能把分子打碎，因此兩者能量具有相同的數(shù)量級．該題分子電離能的估算，實(shí)際上是在能量守恒條件下的一種數(shù)量級的估算．

6．電子束能量與物體動能的估算

(上海市學(xué)業(yè)水平等級性考試)從大型加速器射出的電子束總能量約為500GeV(1GeV=1.6×10-10J)，此能量最接近().

A.一只爬行的蝸牛的動能B．一個(gè)奔跑的孩子的動能

C．一輛行駛的轎車的動能D．一架飛行的客機(jī)的動能

解析電子束總能量約為500GeV，相當(dāng)于8.0×10-8J的能量．一只爬行的蝸牛的質(zhì)量約為15～25g，速度約為1.5～5mm/s，則其動能約為 2×10-8～3×10-7J；孩子的質(zhì)量取20kg，速度取1m/s，則動能為10J；轎車的質(zhì)量取1500kg，速度取15m/s，則其動能約為2×105J；飛行的客機(jī)的質(zhì)量取50t，速度取300m/s，則其動能為2×109J．比較可知，正確選項(xiàng)是A．

點(diǎn)評關(guān)于蝸牛的質(zhì)量及速度在初中物理學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)接觸了，因此，一只爬行的蝸牛的動能的估算并不困難．而對于一個(gè)奔跑的孩子的動能的估算，涉及2個(gè)數(shù)據(jù)，即孩子的質(zhì)量20～40kg及運(yùn)動速率1～3m/s，則動能范圍約為10～180J，這與電子束總能量相差較大，選項(xiàng)C、D遠(yuǎn)超出孩子的動能，顯然參考答案不正確．由此可推理知，選項(xiàng)A是最佳選擇．對于蝸牛、孩子、轎車、客機(jī)動能的估算，只要能夠判定其動能與電子束總能量相差較大就可以通過剔除法予以選擇．解決本題的關(guān)鍵是能夠確定孩子動能的大致范圍．