透析零點問題,提升數學覺悟
——求參數范圍的函數零點問題為例

張心安

(安徽省黃山市黃山旅游管理學校　245799)

求參數范圍的函數零點問題綜合性強,始終是高中學生數學學習中的難點問題.這類問題的解決一般是首先運用構造函數或分離參數方法對問題進行轉化,再以導數為工具,數形結合去解決問題.

問題1(2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學模擬試卷)已知函數f(x)=ex+lnx—ax在(1，3)有零點，求a的取值范圍.

方法一構造函數,數形結合

分析:觀察函數f(x)特點，構造函數時注意指對分離，f(x)=0?lnx=ax—ex，則易于作出兩函數圖像，并對交點情況進行討論.

解令h(x)=ax—ex,g(x)=lnx,則h′(x)=a-ex

(1)當00且 單調遞增，h(x)與g(x)在(1，3)無交點.

(2)當e

當x∈(1,lna),h′(x)<0,h(x)單調遞減；

(3)當a≥e3,x∈(1，3),∴h′(x)>0,h(x)>h(1)>0,又h(3)=3a-e3>2e3>ln3 ,h(x)與g(x)無交點.

方法二分離參數,數形結合

方法一構造函數,數形結合

分析觀察函數f(x)特點，構造函數時注意將對數型分離，f(x)=0?k(x+2)=x2-xlnx+2,則易于作出兩函數圖像，并對交點情況進行討論.

方法二分離參數,數形結合

當x∈(1,+∞),h′(x)>0,∴h(1)=1=h(x)min,

高中學生在數學學習中,還會遇到更多類似問題,問題呈現不盡相同,因而學生解題的關鍵應是不斷提高自我的數學覺悟,體會并能應用轉化思想,正確利用導數知識,數形結合,透析問題,充分領悟數學的真諦.