高斯函數的應用及其推廣

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

摘 要：給出了高斯函數的定義、性質、函數圖象的特征，討論了其應用，并將其做了推廣.

關鍵詞： 高斯函數、廣義高斯函數

一、高斯函數 的一些性質

高斯函數 ，在數論中是一種極為重要的函數， 但它的運用卻并不僅限于在數論中， 在數學的許多分支及其它學科領域中有廣泛的應用， 這些應用均顯示了該函數的優越性. 本文主要從高斯函數的定義出發類比討論了廣義高斯函數的一些基本性質及其有關的積分問題，并給了一些關于廣義高斯函數的例子.

定義1 表示不超過 的最大整數， 則函數 稱為高斯函數.

我們記 稱為 小數部分， .

由高斯函數的定義立刻可以得到如下簡單的性質:

定理1 設 ，我們有

(1) . (2) 若 則 .(3) .

(4) (5) .(6) 或 . (7) .

下面再來討論高斯函數 的圖像及 的圖像和性質.

對于函數 ，如何做出它的圖像呢?我們先來分析一下高斯函數 的圖像的基本性質和特征.

(1)由 的性質知 的圖形在 的圖形的下方.

(2) 由 的性質知 的圖像是一組階高為1的平行于 軸的平行線段，這組平行線段呈階梯形.

可見函數 是一個不減(非單調) 的非周期的函數，其圖像如下(a)

(a)

定理2 設 ，則 是一有界、周期為1的非單調函數，其圖像如(b).

(b)

(二)高斯函數的拓廣

下面討論廣義高斯函數的問題

定義2 假定函數 為定義在區間I上的連續函數，我們用記號 表示不大于 的最大整數，叫做廣義高斯函數，其中 為自變量， 為基函數.

若 = ，則廣義高斯函數 便寫成高斯函數 了，可見高斯函數為廣義高斯函數的特例.如果假定 ， 為閉區間I上的連續函數，則有關高斯函數的性質就可以推廣到廣義高斯函數中來.

以下再來討論一下廣義高斯函數的圖像，首先來分析一下 的圖像的特征.

(1)由函數 的性質 ，所以廣義高斯函數 的圖像在基函數

圖像的下方.

(2)由函數 的定義知 的圖像是一組階高為1的平行線段.

例3作出基函數為 的廣義高斯函數的圖像.

某些廣義高斯函數的積分問題及有關的其他問題

高斯函數 的積分

對于高斯函數 的積分，由定義知高斯函數是一個具有第一類間斷點的函數，只要在積分區間上有有限個這類間斷點，則根據定積分的可積性知函數 在積分區間上可積.

例4求積分 ( 為有限的自然數).

利用以上積分的結果很容易得到 的積分，即

例5求積分 .

有關高斯函數的應用是比較多的，以上關于高斯函數和廣義高斯函數的討論只是一個開始，如果進一步對其進行討論，會得到一些更好的結論.

參考文獻

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[4] 錢吉林.數學分析題解精粹.崇文書局，2003.