數學教學中如何對待學生學習中的錯誤

李奇

數學學科是一門邏輯性、推理性很強，概念十分抽象的學科，學生在學習過程中，隨著學習內容的不斷增多，不僅給學生的心理帶來一定壓力，而且使學生在學習中存在一定的“認知錯誤”等現象.因此，學習錯誤是學生在學習過程中出現的正常而普遍的現象.但令人遺憾的是我們不少教師對學生學習中的錯誤的處理十分草率、置之不理、想方設法遮掩、叫別的學生重新作答、直接告之答案、埋怨批評學生等等，這樣既錯失了教學良機，又挫傷了學生學習數學的積極性.那么在高中數學教學中我們應該如何對待學生學習中的錯誤呢？筆者認為可以從以下幾方面探討.

一、樹立正確的錯誤觀，營造一個輕松民主的學習氛圍

當前課堂教學中，有些教師認為學生在學習中出現學習錯誤是自己教學的敗筆，往往加以躲避，不允許學生犯錯，其實這是一種舍本逐末的教學行為.心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻. ”所以出錯是學生學習過程中必然經歷的一個階段，是學生的權利.當學生在數學學習中出現錯誤時，教師應該寬容地對待，要本著以人為本的教育觀，尊重、理解、正確對待出錯的學生，盡可能地去發現學生出錯的合理性，營造出一個寬松民主的課堂氣氛.在民主的氣氛中學習，學生思維活躍，敢說、敢做、敢問，勇于大膽創新，以健康向上的情感態度投入學習，體會到學習的樂趣.

二、巧妙、合理地將學習中的錯誤資源作為一種有效的教學資源

教材是實現課程目標，實施教學的重要資源，但不是唯一的資源，而更多的教學資源則是在課堂教學中產生的.其中，課堂教學中的學習錯誤，就是一種不可忽視的隱性課程資源.葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中提到：“學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源.”教師應該用資源的眼光來看待學生學習中的錯誤，將錯誤作為一種有效的教學資源，正確地、巧妙地加以利用.

1.嘗試錯誤

讓錯誤成為學生學習新知的切入點，激發學生的學習興趣.學習錯誤是一種來源于學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料，它是一種發生在學生身邊、學生自己創造出來的寶貴的教學資源，教學時又回到學生的學習活動中，可激發學生的探究興趣，喚起學生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的單調增區間.錯解為將“π3-12x”直接代入y=sinx的單調增區間，從而導致錯誤.而y=12sin（12x-π2）卻可以直接代入y=sinx的單調增區間，答案正確.這是為什么呢？錯誤引發了學生們對以上問題思考，極大地調動了學生的探討熱情.

2.剖析錯誤

引發學生認知沖突，培養學生的自主探究的能力.錯誤是引發認知沖突的重要資源，認知沖突的產生，使學生達到“憤悱”的心理狀態，迫使學生產生解決這一沖突的需要，從而激發學生的求知欲和探索心向.因此，認知沖突是教學和學習的最佳契機.如在教學解答“把一塊木條鋸成5段，每鋸一段用4分鐘，求多少分鐘可以鋸完”這道應用題時，同學們一致認為用“4×5=20（分）”來計算，于是我讓學生說說你是怎么想的.有些學生還振振有詞地說：“因為每段要4分鐘，5段就是5個4就是20分鐘啊，沒錯！老師你改錯了！”我不給予否定或肯定的回答，而是笑著說：“真是這樣嗎？”我啟發學生獨立思考，讓他們可以動手操作，進行探究，尋找答案.結果有的拿木條折，有的用粉筆折，有的畫圖分析，通過各種形式探究活動，學生知道“把一塊木條鋸成5段，實際上只需要鋸4次，所花時間是4個4分鐘”.由此可見，充分挖掘錯誤中的潛在的智力因素，創設探究情境，引導學生用不同方法審視問題，能在糾正錯誤的同時，深化對知識的理解和掌握，培養學生的自主探究意識.試問如果當時老師直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、將學習錯誤化解教學中的疑難點

課堂上學生的質疑問難，不可等閑視之.這是學生從自身經歷出發，在解決問題、建構新知中必然會產生的矛盾落差.教師要做的，不是簡單地、“跳躍式”地繞過這塊“絆腳石”，而是要將錯就錯，引導學生針對這一錯誤，巧妙地化解疑難.在三角函數中，有部分學生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny誤認為是sin（x +y）=sin x +siny.在這種情況下，教師不要直接指出學生的錯誤，而是讓有疑問的同學自己驗證一下，給x，y取兩個特殊角代入上面兩個式子.顯然學生很容易判斷出哪個式子正確，哪個式子錯誤.明白了這一點，也就化解了這塊知識的疑難點.

四、利用錯誤，提高學生的反思能力

建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提.利用學生錯誤資源，引發這種“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，對已形成的認識從另一個角度，以另一種方式進行再思考，以求得新的深入認識，這既有利于問題的解決，又培養了學生的反思能力.總之，合理去對待學生在學習中出現的錯誤，并巧妙地利用好錯誤這一教學資源，為學生的全面發展服務.有一句話說得好：“沒有遺憾，那不是生活.”我想說：“如果沒有錯誤，那就不是數學課堂！”

我在上課的時候常抓住學生糾錯時的閃光點，肯定學生在解題中的創新精神，肯定他們的求異思維，讓他們找回自信，體會到學習數學的樂趣.課堂教學上讓學生主動參與找錯、辨錯、改錯，既能鞏固知識又能拓展思維方法，這樣的教學既沒有對學生一棍子打死，也沒有挫傷學生學習的積極性，又能激發學生的斗志，而且學生在獲得數學理解的同時，思維能力、口頭表達能力、情感態度等多方面都得到了很好地訓練，真真切切地體會到了“做”數學的樂趣.

總之，錯誤的價值有時并不在于錯誤本身，而在于師生從中獲得新的啟迪，學生的“出錯”是機遇，是挑戰，更是教育智慧的折射.教師不僅應該知道學生過去的差錯，而且應當醫治學生現在的差錯、預防學生未來的差錯，巧妙、有效地利用“錯誤”這一教育資源，激勵學生揚起奮飛的翅膀，展翅翱翔在知識的海洋中.endprint

數學學科是一門邏輯性、推理性很強，概念十分抽象的學科，學生在學習過程中，隨著學習內容的不斷增多，不僅給學生的心理帶來一定壓力，而且使學生在學習中存在一定的“認知錯誤”等現象.因此，學習錯誤是學生在學習過程中出現的正常而普遍的現象.但令人遺憾的是我們不少教師對學生學習中的錯誤的處理十分草率、置之不理、想方設法遮掩、叫別的學生重新作答、直接告之答案、埋怨批評學生等等，這樣既錯失了教學良機，又挫傷了學生學習數學的積極性.那么在高中數學教學中我們應該如何對待學生學習中的錯誤呢？筆者認為可以從以下幾方面探討.

一、樹立正確的錯誤觀，營造一個輕松民主的學習氛圍

當前課堂教學中，有些教師認為學生在學習中出現學習錯誤是自己教學的敗筆，往往加以躲避，不允許學生犯錯，其實這是一種舍本逐末的教學行為.心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻. ”所以出錯是學生學習過程中必然經歷的一個階段，是學生的權利.當學生在數學學習中出現錯誤時，教師應該寬容地對待，要本著以人為本的教育觀，尊重、理解、正確對待出錯的學生，盡可能地去發現學生出錯的合理性，營造出一個寬松民主的課堂氣氛.在民主的氣氛中學習，學生思維活躍，敢說、敢做、敢問，勇于大膽創新，以健康向上的情感態度投入學習，體會到學習的樂趣.

二、巧妙、合理地將學習中的錯誤資源作為一種有效的教學資源

教材是實現課程目標，實施教學的重要資源，但不是唯一的資源，而更多的教學資源則是在課堂教學中產生的.其中，課堂教學中的學習錯誤，就是一種不可忽視的隱性課程資源.葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中提到：“學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源.”教師應該用資源的眼光來看待學生學習中的錯誤，將錯誤作為一種有效的教學資源，正確地、巧妙地加以利用.

1.嘗試錯誤

讓錯誤成為學生學習新知的切入點，激發學生的學習興趣.學習錯誤是一種來源于學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料，它是一種發生在學生身邊、學生自己創造出來的寶貴的教學資源，教學時又回到學生的學習活動中，可激發學生的探究興趣，喚起學生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的單調增區間.錯解為將“π3-12x”直接代入y=sinx的單調增區間，從而導致錯誤.而y=12sin（12x-π2）卻可以直接代入y=sinx的單調增區間，答案正確.這是為什么呢？錯誤引發了學生們對以上問題思考，極大地調動了學生的探討熱情.

2.剖析錯誤

引發學生認知沖突，培養學生的自主探究的能力.錯誤是引發認知沖突的重要資源，認知沖突的產生，使學生達到“憤悱”的心理狀態，迫使學生產生解決這一沖突的需要，從而激發學生的求知欲和探索心向.因此，認知沖突是教學和學習的最佳契機.如在教學解答“把一塊木條鋸成5段，每鋸一段用4分鐘，求多少分鐘可以鋸完”這道應用題時，同學們一致認為用“4×5=20（分）”來計算，于是我讓學生說說你是怎么想的.有些學生還振振有詞地說：“因為每段要4分鐘，5段就是5個4就是20分鐘啊，沒錯！老師你改錯了！”我不給予否定或肯定的回答，而是笑著說：“真是這樣嗎？”我啟發學生獨立思考，讓他們可以動手操作，進行探究，尋找答案.結果有的拿木條折，有的用粉筆折，有的畫圖分析，通過各種形式探究活動，學生知道“把一塊木條鋸成5段，實際上只需要鋸4次，所花時間是4個4分鐘”.由此可見，充分挖掘錯誤中的潛在的智力因素，創設探究情境，引導學生用不同方法審視問題，能在糾正錯誤的同時，深化對知識的理解和掌握，培養學生的自主探究意識.試問如果當時老師直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、將學習錯誤化解教學中的疑難點

課堂上學生的質疑問難，不可等閑視之.這是學生從自身經歷出發，在解決問題、建構新知中必然會產生的矛盾落差.教師要做的，不是簡單地、“跳躍式”地繞過這塊“絆腳石”，而是要將錯就錯，引導學生針對這一錯誤，巧妙地化解疑難.在三角函數中，有部分學生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny誤認為是sin（x +y）=sin x +siny.在這種情況下，教師不要直接指出學生的錯誤，而是讓有疑問的同學自己驗證一下，給x，y取兩個特殊角代入上面兩個式子.顯然學生很容易判斷出哪個式子正確，哪個式子錯誤.明白了這一點，也就化解了這塊知識的疑難點.

四、利用錯誤，提高學生的反思能力

建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提.利用學生錯誤資源，引發這種“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，對已形成的認識從另一個角度，以另一種方式進行再思考，以求得新的深入認識，這既有利于問題的解決，又培養了學生的反思能力.總之，合理去對待學生在學習中出現的錯誤，并巧妙地利用好錯誤這一教學資源，為學生的全面發展服務.有一句話說得好：“沒有遺憾，那不是生活.”我想說：“如果沒有錯誤，那就不是數學課堂！”

我在上課的時候常抓住學生糾錯時的閃光點，肯定學生在解題中的創新精神，肯定他們的求異思維，讓他們找回自信，體會到學習數學的樂趣.課堂教學上讓學生主動參與找錯、辨錯、改錯，既能鞏固知識又能拓展思維方法，這樣的教學既沒有對學生一棍子打死，也沒有挫傷學生學習的積極性，又能激發學生的斗志，而且學生在獲得數學理解的同時，思維能力、口頭表達能力、情感態度等多方面都得到了很好地訓練，真真切切地體會到了“做”數學的樂趣.

總之，錯誤的價值有時并不在于錯誤本身，而在于師生從中獲得新的啟迪，學生的“出錯”是機遇，是挑戰，更是教育智慧的折射.教師不僅應該知道學生過去的差錯，而且應當醫治學生現在的差錯、預防學生未來的差錯，巧妙、有效地利用“錯誤”這一教育資源，激勵學生揚起奮飛的翅膀，展翅翱翔在知識的海洋中.endprint

數學學科是一門邏輯性、推理性很強，概念十分抽象的學科，學生在學習過程中，隨著學習內容的不斷增多，不僅給學生的心理帶來一定壓力，而且使學生在學習中存在一定的“認知錯誤”等現象.因此，學習錯誤是學生在學習過程中出現的正常而普遍的現象.但令人遺憾的是我們不少教師對學生學習中的錯誤的處理十分草率、置之不理、想方設法遮掩、叫別的學生重新作答、直接告之答案、埋怨批評學生等等，這樣既錯失了教學良機，又挫傷了學生學習數學的積極性.那么在高中數學教學中我們應該如何對待學生學習中的錯誤呢？筆者認為可以從以下幾方面探討.

一、樹立正確的錯誤觀，營造一個輕松民主的學習氛圍

當前課堂教學中，有些教師認為學生在學習中出現學習錯誤是自己教學的敗筆，往往加以躲避，不允許學生犯錯，其實這是一種舍本逐末的教學行為.心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻. ”所以出錯是學生學習過程中必然經歷的一個階段，是學生的權利.當學生在數學學習中出現錯誤時，教師應該寬容地對待，要本著以人為本的教育觀，尊重、理解、正確對待出錯的學生，盡可能地去發現學生出錯的合理性，營造出一個寬松民主的課堂氣氛.在民主的氣氛中學習，學生思維活躍，敢說、敢做、敢問，勇于大膽創新，以健康向上的情感態度投入學習，體會到學習的樂趣.

二、巧妙、合理地將學習中的錯誤資源作為一種有效的教學資源

教材是實現課程目標，實施教學的重要資源，但不是唯一的資源，而更多的教學資源則是在課堂教學中產生的.其中，課堂教學中的學習錯誤，就是一種不可忽視的隱性課程資源.葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中提到：“學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源.”教師應該用資源的眼光來看待學生學習中的錯誤，將錯誤作為一種有效的教學資源，正確地、巧妙地加以利用.

1.嘗試錯誤

讓錯誤成為學生學習新知的切入點，激發學生的學習興趣.學習錯誤是一種來源于學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料，它是一種發生在學生身邊、學生自己創造出來的寶貴的教學資源，教學時又回到學生的學習活動中，可激發學生的探究興趣，喚起學生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的單調增區間.錯解為將“π3-12x”直接代入y=sinx的單調增區間，從而導致錯誤.而y=12sin（12x-π2）卻可以直接代入y=sinx的單調增區間，答案正確.這是為什么呢？錯誤引發了學生們對以上問題思考，極大地調動了學生的探討熱情.

2.剖析錯誤

引發學生認知沖突，培養學生的自主探究的能力.錯誤是引發認知沖突的重要資源，認知沖突的產生，使學生達到“憤悱”的心理狀態，迫使學生產生解決這一沖突的需要，從而激發學生的求知欲和探索心向.因此，認知沖突是教學和學習的最佳契機.如在教學解答“把一塊木條鋸成5段，每鋸一段用4分鐘，求多少分鐘可以鋸完”這道應用題時，同學們一致認為用“4×5=20（分）”來計算，于是我讓學生說說你是怎么想的.有些學生還振振有詞地說：“因為每段要4分鐘，5段就是5個4就是20分鐘啊，沒錯！老師你改錯了！”我不給予否定或肯定的回答，而是笑著說：“真是這樣嗎？”我啟發學生獨立思考，讓他們可以動手操作，進行探究，尋找答案.結果有的拿木條折，有的用粉筆折，有的畫圖分析，通過各種形式探究活動，學生知道“把一塊木條鋸成5段，實際上只需要鋸4次，所花時間是4個4分鐘”.由此可見，充分挖掘錯誤中的潛在的智力因素，創設探究情境，引導學生用不同方法審視問題，能在糾正錯誤的同時，深化對知識的理解和掌握，培養學生的自主探究意識.試問如果當時老師直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、將學習錯誤化解教學中的疑難點

課堂上學生的質疑問難，不可等閑視之.這是學生從自身經歷出發，在解決問題、建構新知中必然會產生的矛盾落差.教師要做的，不是簡單地、“跳躍式”地繞過這塊“絆腳石”，而是要將錯就錯，引導學生針對這一錯誤，巧妙地化解疑難.在三角函數中，有部分學生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny誤認為是sin（x +y）=sin x +siny.在這種情況下，教師不要直接指出學生的錯誤，而是讓有疑問的同學自己驗證一下，給x，y取兩個特殊角代入上面兩個式子.顯然學生很容易判斷出哪個式子正確，哪個式子錯誤.明白了這一點，也就化解了這塊知識的疑難點.

四、利用錯誤，提高學生的反思能力

建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提.利用學生錯誤資源，引發這種“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，對已形成的認識從另一個角度，以另一種方式進行再思考，以求得新的深入認識，這既有利于問題的解決，又培養了學生的反思能力.總之，合理去對待學生在學習中出現的錯誤，并巧妙地利用好錯誤這一教學資源，為學生的全面發展服務.有一句話說得好：“沒有遺憾，那不是生活.”我想說：“如果沒有錯誤，那就不是數學課堂！”

我在上課的時候常抓住學生糾錯時的閃光點，肯定學生在解題中的創新精神，肯定他們的求異思維，讓他們找回自信，體會到學習數學的樂趣.課堂教學上讓學生主動參與找錯、辨錯、改錯，既能鞏固知識又能拓展思維方法，這樣的教學既沒有對學生一棍子打死，也沒有挫傷學生學習的積極性，又能激發學生的斗志，而且學生在獲得數學理解的同時，思維能力、口頭表達能力、情感態度等多方面都得到了很好地訓練，真真切切地體會到了“做”數學的樂趣.

總之，錯誤的價值有時并不在于錯誤本身，而在于師生從中獲得新的啟迪，學生的“出錯”是機遇，是挑戰，更是教育智慧的折射.教師不僅應該知道學生過去的差錯，而且應當醫治學生現在的差錯、預防學生未來的差錯，巧妙、有效地利用“錯誤”這一教育資源，激勵學生揚起奮飛的翅膀，展翅翱翔在知識的海洋中.endprint